망원급수

 


Telescoping series
1. 개요
2. 상세
3. 예시
4. 기타


1. 개요

망원급수란 급수에서 이웃한 항들이 서로 상쇄되면서 몇 개의 항만 남고 전부 사라지는 것을 말한다. 급수를 망원급수의 형태로 바꾸면 그 합을 간단히 계산할 수 있다.

2. 상세

수열 $$\left\{a_n\right\}$$이 있다고 하자. 그러면 다음이 성립한다.
$$\displaystyle \sum_{n=1}^N \left(a_n - a_{n+1}\right) = a_1 - a_{N+1}$$
여기서 $$\left\{a_n\right\}$$이 특정값 $$L$$로 수렴한다면 다음과 같이 급수가 계산된다.
$$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n - a_{n+1}\right) = a_1 - L$$

3. 예시

  • $$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} = \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) = \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^N \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) = \lim_{N\to\infty} \left(1 - \frac{1}{N+1} \right) =1$$
  • $$\displaystyle \sum_{n=1}^N \sin\left(n\right) =\frac{1}{2 \sin \frac{1}{2}} \sum_{n=1}^N \left\{\cos\left(\frac{2n-1}{2}\right) -\cos\left(\frac{2n+1}{2}\right)\right\}=\frac{1}{2} \csc\frac{1}{2} \left\{\cos\frac{1}{2} -\cos\left(\frac{2N+1}{2}\right)\right\}$$

4. 기타

유명한 급수 중 그란디 급수라는 것이 있는데, 어떤 망원급수를 취하느냐에 따라 값이 달라진다. 자세한 내용은 문서 참조.

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