면적분
1. 개요
面積分, surface integral
벡터 미적분에 등장하는 개념. 곡면에 대한 적분이다. 3차원 공간에 어떤 스칼라장 $$f$$ 또는 벡터장 $$\mathbf{F}$$를 곡면 $$S$$ 위에서 적분하는 것. 평범한 1차원 적분을 확장한게 선적분이라면, 2차원인 이중적분을 비슷하게 확장한 것이 이 면적분이다.
2. 스칼라장의 면적분
곡면 $$S$$에서 스칼라장 $$f$$의 적분:
여기서 $$\mathrm{d}S$$는 $$S$$의 미소 면적, $$\mathbf{s}$$는 $$S$$를 $$uv$$ 평면으로 매개화한 것, $$\Sigma$$는 $$S$$에 대응되는 $$uv$$ 평면의 일부분이다. 좌변은 면적분이며, 우변은 평범한 이중적분이다.$$\displaystyle \iint_S f \,\mathrm{d}S = \iint_{\Sigma} f(\mathbf{s}(u,\,v)) \left\|\frac{\partial\mathbf{s}}{\partial u} \times \frac{\partial\mathbf{s}}{\partial v}\right\| \mathrm{d}u \,\mathrm{d}v$$
3. 벡터장의 면적분
곡면 $$S$$에서 벡터장 $$\mathbf{F}$$의 적분:
$$\mathrm{d}\mathbf{S}$$는 $$S$$의 미소 면적인 $$\mathrm{d}S$$의 크기를 가졌으면서 $$\mathrm{d}S$$와 수직인 벡터, $$\mathbf{s}$$는 $$S$$를 $$uv$$ 평면으로 매개화한 것, $$\Sigma$$는 $$S$$에 대응되는 $$uv$$평면의 일부분이다. 좌변은 면적분이며, 우변은 평범한 이중적분.$$\displaystyle \iint_S \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = \iint_{\Sigma} \mathbf{F}(\mathbf{s}(u,\,v)) \cdot \!\left(\frac{\partial\mathbf{s}}{\partial u} \times \frac{\partial\mathbf{s}}{\partial v}\right) \mathrm{d}u \,\mathrm{d}v$$
이 정의는 방향의 모호함이 있는데, 방향을 바꾸면 마이너스가 붙는다(또는 외적의 순서가 바뀐다). 따라서 면적분을 할 때는 문제를 내는 이가 방향을 잡아줘야 한다. 단, 폐곡면이라면 닫힌 공간 바깥쪽을 양의 방향으로 잡는게 일반적이다.
벡터장의 면적분은 벡터장의 선속이라고 보면 된다[1]. 예를 들어, $$\mathbf{F}$$가 물의 속력장이라면, $$S$$에 대한 면적분은 시간당 $$S$$를 통과하는 (방향성이 있는) 물의 부피다.