발산 정리

divergence theorem.

1. 개요

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발산 정리(Divergence theorem) 혹은 가우스 정리(Gauss's theorem)라고도 한다. 물리학의 가우스 법칙과도 관련이 있다. 미분위상수학의 스토크스 정리의 특수한 경우이기도 한데, 대학 미적분학에서 보통 스토크스 정리라고 하면 캘빈-스토크스 정리를 뜻한다.
어떤 벡터장 $$\mathbf{F}(x_1,\,x_2,\,\cdots,\,x_n)=(f_1,\,f_2,\,\cdots,\,f_n)$$의 발산은

$$\displaystyle \mathrm{div} \,\mathbf{F} = \sum_{i=1}^n \dfrac{\partial f_i}{\partial x_i} $$

로 정의한다.

1.1. 2차원에서의 발산정리

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좌표평면의 유계인 영역 $$D$$에서 정의된 벡터장 $$F(x,\,y)$$에 대하여

$$\displaystyle \int_{\partial D} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \,\mathrm{d}s = \iint_D \mathrm{div} \,\mathbf{F} \,\mathrm{d}V $$

가 성립한다. 여기서 $$n$$은 영역 $$D$$의 경계선에 대한 단위법선벡터이다.
하지만, 영역 $$D$$가 벡터장 $$\mathbf{F}$$을 포함하지 않을 때($$\mathbf{F}$$가 $$D$$의 어딘가에서 정의되지 않을 때), 발산정리를 섣불리 사용할 수는 없다. 대표적인 예시가 각 원소 벡터장 $$\mathbf{A}(x,\,y) = \dfrac{(x,\,y)}{x^2+y^2}$$이며, 원점 $$O$$에서 벡터장이 정의되지 않는다. 이 때는 벡터장이 정의되지 않는 그 부분을 포함하는 아주 작은 영역(계산의 편의를 위해 보통 원/구를 잡는다)을 따로 설정하여 계산하는 방법을 쓴다. (이차원 가우스 정리)

1.2. 3차원에서의 발산정리

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공간 속에서 유계이고 닫힌 한 영역 $$R$$에서 정의된 일급 벡터장 $$\mathbf{F}$$에 대하여

$$\displaystyle \iint_{\partial R} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}S = \iint_R \mathrm{div} \,\mathbf{F} \,\mathrm{d}V $$

이다. 이 때 얻는 결과는 '삼차원의 한 영역을 지나는 벡터장의 flux는 그 영역에서 발산함수를 적분한 값'이란 것이다. 예를 들어 원뿔모양의 필터(곡면)가 있고, 그 필터를 지나는 물의 속도에 대한 벡터장을 알고 있을 때, 그 벡터장의 발산함수를 곡면에 따라 적분하여 얻은 값이 단위 시간당 지나가는 물의 양인 것이다.