부채꼴

1. 국어사전에서의 정의

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국어대사전에서는 '''부채꼴(Fan Shape)'''을

'''쥘부채를 폈을 때 처럼 생긴 모양'''

으로 정의하고 있다.#

2. 기하학에서의 정의

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위 그림과 같이 반지름의 길이가 $r$이고, 중심이 $\mathrm{O}$인 원을 고려했을 때, 두 반지름과 한 호를 둘러싸는 도형을 '''부채꼴(Circular sector)'''이라 한다. 위 그림에서 회색 영역에 해당하는 도형이다.
이때, 두 반지름 사이의 각을 $\theta$라 할 때, 그 각을 부채꼴의 중심각이라 하며, 일반적으로 $0 \leq \theta \leq 2\pi$를 가진다. 특별히 $\theta=\pi$일 때의 도형을 '''반원''', $\theta=2\pi$일때의 도형을 '''원'''이라 한다.

2.1. 둘레

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라디안의 정의로 인해 중심각이 $\theta$이고, 반지름의 길이가 $r$인 부채꼴의 호의 길이 $l$는

$\displaystyle l=r \theta$

이다. $\theta$는 호도법으로 정의된 각이므로 이것을 육십분법으로 고쳐 $\theta$와 $x^{\circ}$가 같은 각일 때

$\displaystyle \pi r \times \frac{x}{180}$

으로 쓸 수 있다.
둘레 $L$는 호의 길이에 반지름을 두 번 더하면 되므로

$\displaystyle \begin{aligned} L&=r( \theta+2) \\&= r \left( \frac{\pi x}{180}+2 \right) \end{aligned}$

임을 알 수 있다.

2.2. 넓이

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이는 중심각이 $\theta=2\pi$일 때, 즉, 원의 넓이가 $\pi r^{2}$임을 이용하면 된다. 중심각이 $\theta$이고, 반지름의 길이가 $r$인 부채꼴의 넓이를 $S$라 놓으면, 다음이 성립한다.

$\displaystyle 2\pi\,:\, \pi r^{2}=\theta \,:\,S$

이를 정리하면,

$\displaystyle S=\frac{1}{2}r^{2} \theta$

$\theta$는 호도법으로 정의된 각이므로 이것을 육십분법으로 고쳐 $\theta$와 $x^{\circ}$가 같은 각일 때

$\displaystyle S=\pi r^{2} \times \frac{x}{360}$

으로 쓸 수 있다.
위 문단에서 호의 길이와 연관해서 다음을 얻을 수 있다.

$\displaystyle S=\frac{1}{2}rl$