원(도형)

1. 개요

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Circle · 圓
기하학에 등장하는 도형의 일종으로, 수학적인 정의는 '''2차원 평면 상에서 한 정점으로부터 특정 거리만큼 떨어진 점의 집합'''이다.

'''중심이 $$\mathbf{O}$$이고, 반지름이 $$\boldsymbol{r}$$인 원'''

정다각형도 변의 수가 무한대로 발산하면 원에 가까워지지만[1][2], 원과의 정의와는 부합하지 않으므로 엄밀한 의미에서의 원으로는 간주하지 않는다.
컴퍼스라는 기구를 사용하면, 손으로도 쉽게 그릴 수 있다.
작도 시에도 굉장히 중요한 역할을 하는 도형으로, 원의 중심과 원 위의 한 점 사이의 거리가 일정하다는 사실을 이용하여, 일정한 길이의 선분을 옮길 때 사용한다.
대한민국 교육과정 상 원은 초등학교 때 부터 등장하는 도형 중 하나이며, 중학교 때는 논증 기하학적인 방법으로 원의 기하학적 특성을 파악하는 것에 초점에 맞춰져있고, 고등학교 1학년 때 원의 방정식을 배움으로써 해석 기하학적인 원을 다루게 된다.

1.1. 관련 개념

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위 그림은 원 관련 개념들을 나타낸 것이다. 원의 중심을 $$\mathrm{O}$$라 놓고, 원 위의 점 $$\mathrm{A} \sim \mathrm{F}$$에 대하여 다음과 같은 개념들이 있다.

• 호: 원 위의 두 점을 양끝으로 하는 곡선. 위 그림에서 호의 예로, 양끝점이 $$\mathrm{A}$$, $$\mathrm{B}$$로 하는 호가 있는데, 이를 호 $$\mathrm{AB}$$라 하고, 기호로는 $$\overset{\Large\frown}{\mathrm{AB}}$$로 나타낸다. 짧은 쪽을 열호, 긴 쪽을 우호라고 하는데, 특별한 언급이 없는 한 호의 기호는 열호를 나타낸다. 혹은 호 위에 점 $$\mathrm{P}$$가 있다면, $$\overset{\huge\frown}{\mathrm{APB}}$$로 명확하게 표기하기도 한다.

• 할선: 원 위의 두 점을 지나는 직선이며, 위 그림에서는 직선 $$\mathrm{EF}$$ 등이 있다.

• 현: 원 위의 두 점을 잇는 선분이며, 위 그림에서는 $$\overline{\mathrm{EF}}$$ 등이 있다. 현의 길이는 $$\operatorname{crd}{(\angle \mathrm{EOF})}$$ 등으로 나타낸다.

• 지름: 현 중에서 원의 중심을 지나는 선분이며, 위 그림에서는 $$\overline{\mathrm{AD}}$$가 있다.

• 반지름: 원의 중심으로부터 원 위의 점까지 이은 선분이며, 위 그림에서는 $$\overline{\mathrm{OB}}$$ 등이 있다. 원의 정의에 의해 원의 모든 반지름의 길이는 같다.

• 부채꼴: 위 그림에서 두 반지름 $$\overline{\mathrm{OB}}$$, $$\overline{\mathrm{OC}}$$와 $$\overset{\Large\frown}{\mathrm{BC}}$$로 이루어진 것과 같이 두 반지름과 한 호로 이루어진 도형.(위 그림에서 청색 영역) 이때, 두 반지름이 이루는 각을 $$\theta (0<\theta<2 \pi) $$[3] 라 할 때, 이 각을 부채꼴의 중심각이라 한다.

• 활꼴: 위 그림에서 $$\overset{\Large\frown}{\mathrm{FE}}$$와 현 $$\overline{\mathrm{EF}}$$로 이루어진 것과 같이 한 호와 한 현으로 둘러싸인 도형.(위 그림에서 적색 영역)

2. 방정식

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3. 원의 둘레와 넓이

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3.1. 둘레

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경험적으로 고대부터 원의 지름과 원주의 비는 일정함을 알고 있었다. 이 상수를 $$\pi$$라고 한다. 그러면 반지름 $$r$$인 원의 둘레는 다음과 같다.

$$\displaystyle l=2 \pi r $$

[1] 폴리곤 그래픽이 원을 이런 식으로 처리한다.

[2] 카를 프리드리히 가우스가 묘비에 정17각형을 새겨달라는 염원이 끝내 이뤄지지 못한 이유이기도 하다. 원과 거의 차이가 없어서 17각별을 대신 새겼다고.

[3] 여기서 각은 라디안을 사용한다.

경험적인 것이 아닌 해석적으로 정확하게 인류가 곡선의 길이를 정의할 수 있게 된 것은 미적분학이 정립된 이후니 이 식을 미적분학으로 정당화할 수 있는지를 검토해보자. 일단 모든 원에서 반지름과 원주의 비는 일정하다는 것부터 증명하자. 단위원의 방정식은

$$\displaystyle x^2+y^2=r^2$$

로 나타낼 수 있고, $$y \geq 0$$ 영역만 생각하여 해당 영역의 곡선의 길이를 구해보자. 전체 원주는 이 곡선의 길이의 2배다.

$$\displaystyle y = \sqrt{r^2-x^2}$$

이때,

$$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x}{\sqrt{r^2-x^2}}$$

이므로 길이 적분에 의해 원주는 다음과 같다.

$$\displaystyle \begin{aligned} l &= 2 \int^{r}_{-r} \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \,dx \\&= 2 \int^{r}_{-r} \frac{1}{\sqrt{r^2-x^2}} \,dx \\&= 2r\int^{1}_{-1} \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \, dt \quad \left(t =\frac{x}{r}\right) \end{aligned} $$

따라서 모든 원의 원주는 반지름 $$r$$의 상수배로 표현되는 것을 알 수 있다. 따라서 반지름과 원주의 반의 비례상수인 오른쪽 식의 적분값을 원주율로 정의하자. 즉,

$$\displaystyle \pi = \int^{1}_{-1} \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \, dt$$

이로써 원주율의 값을 표현하는 정적분을 구했다. 다만, 아직 저 정적분의 값을 구하는 데까지는 이르지 못했다. 이는 원의 넓이에서 다시 의논하자.

3.2. 넓이

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중심이 원점이고, 반지름이 $$r$$인 원의 매개변수 방정식은 아래와 같다.

$$\displaystyle \left.\begin{matrix} x=r\cos{\theta} \\ y=r\sin{\theta} \end{matrix}\right\} \qquad (0 \leq \theta \leq 2 \pi) $$

이상에서 면적소는 아래와 같이 구할 수 있고,

$$\displaystyle \begin{aligned} dA &=y\,dx \\&=-r^{2} \sin^{2}{\theta}\,d \theta \end{aligned} $$

적분을 통해 상반원의 넓이에 2배를 해줌으로써 원의 넓이를 구할 수 있다:

$$\displaystyle 2\int_{\pi}^{0}-r^{2} \sin^{2}{\theta}\,d \theta =\pi r^{2} $$

여담으로, 초등학교 과정에서는 아래와 같이 원을 무수히 많고, 같은 등분으로 쪼갰을 때, 해당 등분들을 아래와 같이 붙였을 때, 만드는 도형은 가로가 원주의 반, 세로가 반지름과 같은 직사각형이 만들어진다는 것을 이용하여 원의 넓이를 증명한다. 물론 수학적으로 봤을 땐 엄밀하진 못하지만 직관적이어서 초등학교 과정에 이용된다.

아래는 이 과정을 영상으로 나타낸 것이다.

3.2.1. 엄밀한 증명

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삼각치환[4]을 이용해서 증명하면 되지 않느냐며 주장하는 사람이 있는데, 그렇게 하면 문제가 생긴다. 왜냐하면, 삼각치환을 한다면 결국 삼각함수를 적분하게 되는데, 미적분학의 기본정리를 쓰지 않으려고 해도 리만 합을 구하기 힘들다는 문제에 봉착하기 때문에 미적분의 기본정리를 이용하려고 할 텐데 이러면 삼각함수의 역도함수를 구하는 방향으로 흐른다. 그렇게 되면,

$$\displaystyle \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin{\theta}}{\theta} = 1$$

[4] $$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} = \dfrac{d}{dx}\arcsin{x}$$

임을 이용할 수밖에 없는데 이 값을 구하는 과정에 $$\sin{\theta} \leq \theta \leq \tan{\theta}$$가 포함되어 있는데 이는 원의 넓이를 알아야 증명할 수 있기 때문에 순환논증이다.[5] 따라서 $$\pi$$의 값을 표현하는 정적분을 이용하여 아래와 같이 증명하자.

[증명] --- $$\pi$$의 정의에 의하여, $$\displaystyle \pi = \int^{1}_{-1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,dx$$ 이다. 이때 $${(1-x^2)}^{-1/2}$$는 $$y$$축 대칭함수(even function)이므로 $$\displaystyle \frac \pi 2 =\int^{1}_{0} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,dx$$ 이다. 이제 반지름이 $$r$$인 원의 넓이를 $$A$$라 하자. 그러면 $$\displaystyle A = 4\int^{r}_{0} \sqrt{r^2-x^2} \,dx$$ 로 표현할 수 있다.[9] 그렇다면 $$\displaystyle \sqrt{r^2-x^2} =\frac{r^2-x^2}{\sqrt{r^2-x^2}} \qquad (0 \leq x < r) $$ 이다. 한편, 미적분학의 기본정리 1에 의해 $$\displaystyle g(x)=\int^{x}_{0} \sqrt{r^2-t^2} \,dt$$ 는, $$[0,\,r]$$에서 연속이므로 $$\displaystyle \lim_{x \to r^-} g(x) = g(r) $$이므로, $$\displaystyle \begin{aligned} \int^{r}_{0} \sqrt{r^2-x^2} \,dx &=\lim_{b \to r^-} \int^{b}_{0} \sqrt{r^2-x^2} \,dx \\ &=\lim_{b \to r^-} \int^{b}_{0} \frac{r^2-x^2}{\sqrt{r^2-x^2}} \,dx \\ &=\int^{r}_{0} \frac{r^2-x^2}{\sqrt{r^2-x^2}} \,dx \end{aligned} $$ 이다. 적분의 선형성에 의해 $$\displaystyle \int^{r}_{0} \frac{r^2-x^2}{\sqrt{r^2-x^2}} \,dx=\int^{r}_{0} \frac{r^2}{\sqrt{r^2-x^2}} \,dx +\int^{r}_{0} \frac{-x^2}{\sqrt{r^2-x^2}} \,dx $$ 이때 우변의 첫째 항에서 $$x=ru$$로 치환하면, $$dx=r\,du$$이고, 적분구간은 $$[0,\,r]$$에서 $$[0,\,1]$$로 바뀐다. $$\displaystyle \int^{r}_{0} \frac{r^2}{\sqrt{r^2-x^2}} \,dx = r^2\int^{1}_{0} \frac{r}{\sqrt{r^2-(ru)^2}} \,du$$ $$\displaystyle =r^2\int^{1}_{0} \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \,du = \frac \pi 2 r^2$$ 두 번째 항의 경우 $$\displaystyle \frac{d}{\,dx} \sqrt{r^2-x^2}=\frac{-x}{\sqrt{r^2-x^2}}$$ 임을 이용하자. $$\displaystyle \int^{r}_{0} \frac{-x^2}{\sqrt{r^2-x^2}} \,dx = \int^{r}_{0} \frac{-x}{\sqrt{r^2-x^2}} \cdot x \,dx $$ 부분적분을 쓰면, $$\displaystyle \begin{aligned} \int^{r}_{0} \frac{-x}{\sqrt{r^2-x^2}} \cdot x\,dx &= \biggl[ x\sqrt{r^2-x^2} \biggl]^{r}_{0}-\int^{r}_{0} \sqrt{r^2-x^2}\,dx \end{aligned}$$ 한편, 우변의 제 1항은 0이므로 $$\displaystyle \int^{r}_{0} \frac{-x}{\sqrt{r^2-x^2}} \cdot x\,dx = -\int^{r}_{0} \sqrt{r^2-x^2}\,dx$$ 즉, $$\displaystyle \int^{r}_{0} \frac{r^2-x^2}{\sqrt{r^2-x^2}} \,dx =\frac \pi 2 r^2-\int^{r}_{0} \sqrt{r^2-x^2} \,dx $$ 이때, $$\displaystyle \int^{r}_{0} \sqrt{r^2-x^2} \,dx =\int^{r}_{0} \frac{r^2-x^2}{\sqrt{r^2-x^2}} \,dx = \frac A 4$$ 이므로, 이 식은 $$\displaystyle \frac A 4=\frac \pi 2 r^2-\frac A 4 \quad \to \quad A=\pi r^2 $$ 로 표현됨에 따라 반지름의 길이가 $$r$$인 원의 넓이는 $$\pi r^2$$임을 알 수 있다.

이렇게 함으로써 원주율 정적분을 계산하지 않고도 원의 넓이와 원주의 관계를 증명할 수 있다.

4. 원과 접선

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4.1. 성질

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• 원의 반지름과 접선은 항상 수직으로 만난다.

• 원 외부의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같다.

즉, 위 그림의 원 외부의 한 점 $$\mathrm{P}$$에서 그은 두 접선 $$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$$, $$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$$에 대하여, 그 접선의 길이 $$\overline{\mathrm{PA}}=\overline{\mathrm{PB}}$$가 성립한다.[6]

4.1.1. 사각형의 내접원

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위 그림과 같이 원이 사각형 $$\mathrm{ABCD}$$에 내접하는 상황을 고려해보자. 이때, 사각형의 각변은 원의 접선이되고, 이때 원 위에 생성되는 접점을 $$\mathrm{P} \sim \mathrm{S}$$이라 하자. 원 밖의 한 점에서 접선을 그었을 때, 접선의 길이는 같으므로 $$\overline{\mathrm{AP}}=\overline{\mathrm{AS}}$$, $$\overline{\mathrm{BP}}=\overline{\mathrm{BQ}}$$, $$\overline{\mathrm{CQ}}=\overline{\mathrm{CR}}$$, $$\overline{\mathrm{DR}}=\overline{\mathrm{DS}}$$이 성립한다. 이 성질을 이용하면, 다음의 결과

$$\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}+ \overline{\mathrm{CD}}=\overline{\mathrm{AD}}+ \overline{\mathrm{BC}}$$

[5] 삼각함수의 정의를 다르게 한 경우(e.g. $$\sin x = ({e^{ix} - e^{-ix}})/{2i}$$)는 괜찮다.

[6] 두 삼각형 $$\bigtriangleup \mathrm{POA}$$, $$\bigtriangleup \mathrm{POB}$$로 부터 $$\angle \mathrm{OAP}=\angle \mathrm{OBP}=\pi/2$$, $$\overline{\mathrm{PO}}$$는 공통, $$\overline{\mathrm{OA}}=\overline{\mathrm{OB}}$$(반지름)이므로 $$\bigtriangleup \mathrm{POA} \equiv \bigtriangleup \mathrm{POB}$$ ($$\mathrm{RHS}$$ 합동)임을 이용하면 쉽게 증명할 수 있다.

를 얻는데, 이는 원이 사각형에 내접할 경우, 사각형의 마주보고 있는 두 변의 길이의 합은 일정하다는 것을 얻는다.

4.2. 접선의 방정식

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4.2.1. 원 위의 한 점에서 접선의 방정식

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중심이 원점이고, 반지름이 $$r$$인 원을 고려하자. 이 점 위에서 접선의 기울기는 음함수의 미분으로 구할 수 있다.

$$\displaystyle 2x+2y \frac{dy}{dx}=0 \, \to \, \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y} $$

이때, 만약 원 위의 점 $$(x_{1}, \, y_{1})$$을 고려하고, 이 점 위에서 접선을 구한다면, 접선의 기울기는

$$\displaystyle 2x+2y \frac{dy}{dx}=0 \, \to \, \frac{dy}{dx}=-\frac{x_{1}}{y_{1}} $$

따라서 우리는 구하는 접선을 다음과 같이 놓을 수 있다.

$$\displaystyle y-y_{1}=-\frac{x_{1}}{y_{1}}(x-x_{1}) $$

이 방정식을 다시 쓰면,

$$\displaystyle xx_{1}+yy_{1}=x_{1}^{2}+y_{1}^{2} $$

그런데, $$(x_{1}, \, y_{1})$$이 원 위의 점이므로 우변은 반지름의 제곱이다. 즉,

$$\displaystyle xx_{1}+yy_{1}=r^{2} $$

만약, 원의 중심이 원점에서 $$(a,\,b)$$로 이동했을 때, 그 원 위의 점 $$(x_{2},\,y_{2})$$ 위의 접선의 방정식을 구한다면, $$x \to x-a$$, $$y \to y-b$$이므로

$$\displaystyle (x-a)(x_{2}-a)+(y-b)(y_{2}-b)=r^{2} $$

가 된다.

4.2.2. 특정한 기울기의 접선의 방정식

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이번 문단에서는 특정한 기울기의 접선의 방정식을 찾고자 한다. 만약 우리가 중심이 원점이고, 반지름의 길이가 $$r$$인 원 위에 대해 기울기가 $$m$$인 접선을 찾는다면, 해당 직선은

$$\displaystyle y-mx+n=0 $$

의 형태가 될 것이다. 그런데, 이 직선은 원점으로 부터 $$r$$만큼 떨어져있으므로 다음이 성립한다.

$$\displaystyle \frac{|n|}{\sqrt{m^{2}+1}}=r \, \to \, n=\pm r\sqrt{m^{2}+1} $$

이상에서 우리가 구하는 접선은

$$\displaystyle y=mx\pm r\sqrt{m^{2}+1} $$

임을 얻는다. 만약, 원의 중심이 원점에서 $$(a,\,b)$$로 이동한다면, $$x \to x-a$$, $$y \to y-b$$이므로

$$\displaystyle y=m(x-a)\pm r\sqrt{m^{2}+1}+b $$

가 된다.

5. 두 원의 위치 관계

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반지름이 각각 $$r$$, $$r'$$(단, $$r \geq r'$$)이고, 원의 중심이 각각 $$\mathrm{O}$$, $$\mathrm{O'}$$인 원을 고려하자. 이 두 원의 위치 관계는 아래와 같이 총 6개 존재한다. 이때, $$d$$는 두 원의 중심 사이의 거리 $$\overline{\mathrm{OO'}}$$이다.

• 만나지 않는 경우
  • 외부에서 만나지 않음
    • $$r+r'

• 내부에 포함
  • $$r-r'>d$$인 경우

• 동심원[7]
  • $$d=0$$인 경우

• 접하는 경우(한 점에서만 만나는 경우)
  • 외접
    • $$r+r'=d$$인 경우

• 내접
  • $$r-r'=d$$인 경우

• 두 점에서 만나는 경우
  • $$r-r'

5.1. 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식

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좌표평면 위에서 두 원 $$x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$$과 $$x^{2}+y^{2}+A'x+B'y+C'=0$$을 고려해보자. 이 두 원의 교점을 $$(\alpha,\,\beta)$$라 놓으면, 교점에서

$$\displaystyle \begin{aligned} \alpha^{2}+\beta^{2}+A\alpha+B\beta+C&=0 \\ \alpha^{2}+\beta^{2}+A'\alpha+B'\beta+C'&=0 \end{aligned} $$

[7] 두 원의 중심이 같은 원

이 성립한다. 다음과 같은 도형

$$\displaystyle (x^{2}+y^{2}+Ax+By+C)+k(x^{2}+y^{2}+A'x+B'y+C')=0 $$ (단, $$k \neq -1$$)

을 고려해보도록 하자. 이 도형은 이차항의 계수가 모두 같으므로 좌표평면 상 원을 기술한다고 볼 수 있다. 이 도형에 두 원의 교점을 대입하면,

$$\displaystyle (\alpha^{2}+\beta^{2}+A\alpha+B\beta+C)+k(\alpha^{2}+\beta^{2}+A'\alpha+B'\beta+C')=0 $$

이고, 이는 임의의 $$k$$의 값에 관계 없이 항상 성립한다. 즉, 위 도형은 $$k$$의 값에 관계 없이 항상 두 원의 교점을 지남을 알 수 있다.
참고적으로 $$k=-1$$일 때는 이차항이 상쇄되기 때문에 위 도형은 직선이 되므로 이를 제외해야 한다.

5.2. 공통현의 방정식

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공통현이란 두 원의 두 교점을 지나는 직선이다. 이는

$$\displaystyle (x^{2}+y^{2}+Ax+By+C)+k(x^{2}+y^{2}+A'x+B'y+C')=0 $$

의 도형이 좌표평면 위에 두 원 $$x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$$과 $$x^{2}+y^{2}+A'x+B'y+C'=0$$의 교점을 지나는 도형임을 생각하면

$$\displaystyle (x^{2}+y^{2}+Ax+By+C)-(x^{2}+y^{2}+A'x+B'y+C')=0 $$

으로 구해짐을 쉽게 알 수 있다. 이를 정리하면,

$$\displaystyle (A-A')x+(B-B')y+C-C'=0 $$

으로 쓸 수 있다.

6. 기타 성질

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6.1. 원과 직선의 관계

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우리는 임의의 직선

$$\displaystyle y-mx-n=0 $$

이 원

$$\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2} $$

과 어떤 관계에 있는지 조사해보고자 한다. 이것은 다음의 순서를 따른다.

1. '''우선 직선의 방정식을 한 변수에 대하여 정리하라.''' 1. 1'''에서 정리한 직선을 원의 방정식에 대입하고, 적절히 이항하여, 이차 방정식을 만든다.''' 1. 2'''에서 나온 이차방정식에 판별식을 적용한다.'''

3의 과정에서 판별식의 부호에 따라 다음을 얻는다:

• 판별식의 부호가 양이다 : 원과 직선은 두 점에서 만난다.
• 판별식이 0이다 : 원과 직선은 접한다.(즉, 원과 직선은 한 점에서 만난다.)
• 판별식의 부호가 음이다 : 원과 직선은 만나지 않는다.

아래의 그림을 참조하라:

6.2. 현의 수직이등분선

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위의 그림과 같이 현 $$\mathrm{AB}$$를 고려하고, 원의 중심 $$\mathrm{C}$$에서 현에 내린 수선의 발을 $$\mathrm{H}$$라 하자. 우리는 현과 원이 만나는 두 점에 반지름을 긋자 그렇다면, 삼각형 $$\mathrm{CAH}$$와 삼각형 $$\mathrm{CHB}$$의 직각 삼각형이 나타난다.
이때, 선분 $$\mathrm{CH}$$는 공통이고, 선분 $$\mathrm{CA}$$, 선분 $$\mathrm{CB}$$는 반지름이므로 길이는 같다. 따라서 삼각형 $$\mathrm{CAH}$$와 삼각형 $$\mathrm{CHB}$$는 $$\mathrm{RHS}$$합동이므로 다음이 성립한다.

$$\displaystyle \overline{\mathrm{AH}}=\overline{\mathrm{HB}} $$

이상에서 다음을 얻는다.

'''원의 중심에서 현에 내린 수선의 발은 현을 수직이등분한다.'''

위의 결과로 부터 현의 길이를 구하는 공식을 유도할 수 있는데, 반지름을 $$r$$이라 하면,

$$\displaystyle \overline{\mathrm{AH}}=r\sin{\left( \frac{\angle \mathrm{ACB}}{2} \right)} $$

따라서 $$\displaystyle \overline{\mathrm{AH}}=\overline{\mathrm{HB}} $$이므로 현의 길이는

$$\displaystyle 2r\sin{\left( \frac{\angle \mathrm{ACB}}{2} \right)} $$

임을 알 수 있다. $$\angle \mathrm{ACB} \equiv \alpha$$라 쓰고, 이것이 곧 현과 만나는 두 점과 원의 중심점 사이의 사잇각이라하면,

$$\displaystyle 2r\sin{\left( \frac{\alpha}{2} \right)} = r\,\mathrm{crd}\,\alpha $$

으로 쓸 수 있다.

6.3. 삼각형과 원

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• 외심
• 내심
• 방심

6.4. 사각형과 원

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• 원이 사각형에 내접할 경우, 사각형의 마주보고 있는 두 변의 길이의 합은 일정하다.[역]
• 원에 내접하는 사각형의 마주보는 내각의 크기는 $$\pi$$가 된다.[A][역]
• 원에 내접하는 사각형의 한 외각의 크기와 내대각의 크기는 같다.[A][역]

6.5. 원주각

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6.6. 사인 법칙

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6.7. 등주 곡선

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• 원은 길이가 같은 폐곡선들 중 가장 큰 넓이를 갖는다. 반대로 넓이가 같은 폐곡선들 중 가장 짧은 둘레를 갖는다.

7. 확장

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원의 정의를 확장해서, $$n$$차원 공간에서 한 점으로부터 특정 거리만큼 떨어진 점들의 집합 $$S^{n-1}:=\left\{x\in\mathbb{R}^n:\left\Vert x\right\Vert=1\right\}$$을 $$n$$차원 원이라고 부른다. 간단한 예시를 들자면 구(Sphere)는 2차원 원[8]으로 $$S^{2}$$이고, 1차원 원은 특정한 점으로부터 특정 거리만큼 떨어진 두 개의 점으로 정의된다. 4차원 이상인 경우 $$n$$차원 원을 그냥 '원'이라고 불러도 보통은 문맥상 의미가 통하지만, 3차원 공간인 경우 반드시 '구'라고 불러야 3차원 원을 지칭한다.
2차원 원 $$S^{1}$$은 흔히 생각하는 그 원으로, $$\mathbb{C}$$의 부분집합으로 생각할 수 있다($$S^{1}$$의 원소 $$\left(x,\,y\right)$$를 $$\mathbb{C}$$의 $$x+yi$$에 대응시키면 된다. 복소평면을 생각하면 아주 당연한 대응이다). 이렇게 생각하면, $$S^{1}$$ 자체는 하나의 가환군이된다.
대수적 위상수학에서 기본군을 계산하는 가장 간단한 예가, $$S^{1}$$으로 $$\pi_{1}(S^{1})=\mathbb{Z}$$이다.

8. 기타

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• 원을 잘 그리면 변태라는 우스갯소리가 있다.

• 원은 타원의 특수한 경우로 간주할 수 있다. 타원의 정의는 '평면 상의 두 정점으로부터 거리의 합이 일정한 점들의 집합'인데, 이 때 기준이 되는 두 정점의 위치가 동일한 경우 원이 된다.

9. 관련 문서

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• 수학 관련 정보
• 기하학
• 도형
• 구(도형): 원의 2차원 확장
• 초구#s-2: 원의 $$n$$차원 확장
• 푸앵카레 원반: 원에 쌍곡 공간을 사영한 것

[역] A B C 역 성립

[A] A B 원주각 문서 참조.

[8] 도형 자체는 3차원이지만 거리가 2개이기 때문에 2차원 원이다.