뷔퐁의 바늘
1. 개요
L'aiguille de Buffon
프랑스의 수학자 조르주루이 르클레르 드 뷔퐁(Georges Louis Leclerc, Comte de Buffon)이 제시한 문제. 원주율의 값을 기하학적 확률로 계산하는 방법이다.
2. 상세
[image]
한 평면 위에 $$d$$만큼의 간격으로 평행선을 그린 다음 길이가 $$l$$(단, $$d \geq l$$)인 바늘을 던졌을 때, 바늘이 선에 닿는 사건 $$A$$의 확률은
로 표현된다. 즉, 선에 닿을 확률과 그렇지 않을 확률에 [math(\pi)]가 포함되므로 $$\pi$$의 값을 구할 수 있다.
큰 수의 법칙에 따라 $$n$$번 바늘을 던져 $$r$$번 닿았다면, 사건이 일어나는 상대도수는 수학적 확률에 수렴하므로
$$\dfrac{r}{n} \approx \dfrac{2l}{d \pi}\quad\rightarrow\quad\pi \approx \dfrac{2 nl }{rd}$$
곧 시행 횟수와 닿은 횟수의 비로 구해진다. 다만, 이 방법은 수렴이 매우 느려서 뷔퐁의 바늘로 $$\pi$$의 값을 구하는 것은 현실적으로 불가능하다. $$\pi$$의 근사분수 $${355}/{133}$$만큼 오차를 줄이려고 해도 '''240조 번 이상''' 던져야 하기 때문이다.
3. 증명
이 문제상황은 그림과 같이 두 수평면 사이만 고려해도 문제가 없다.
[image]
위의 그림과 같이 길이가 $$l$$인 바늘의 중심을 $$\rm C$$라 하고, 바늘의 한 끝을 $$\rm A$$라 하자. 또, 평행선과 평행한 직선 $$\rm BC$$를 고려하고 $$\rm A$$에서 해당 직선에 내린 수선의 발을 $$\rm B$$라 하자. 이때, 바늘이 평행선과 $$\theta$$(단, $$0 \leq \theta \leq \pi$$)의 각을 이룰 때, 점 $$\rm C$$에서 가장 가까운 평행선에 내린 수선의 발을 $$\rm H$$라 하자.
이때, $$0 \leq \overline{\rm CH} \leq d/2$$이고, 바늘이 수평선에 닿으려면 $$\overline{\rm CH} \leq \overline{\rm AB}$$여야 한다. 한편,
이에 이 사건은 $$\overline{\rm CH}=x$$라 놓으면 전체 영역
$$\displaystyle S=\left \{(\theta, \,x) \biggl. \biggr| 0\leq \theta \leq \pi, \, 0 \leq x \leq \frac{d}{2} \right \} $$
$$\displaystyle D=\left \{(\theta, \, x) \biggl. \biggr| 0\leq \theta \leq \pi, \, 0 \leq x \leq \frac{l}{2}\sin{\theta} \right \} $$
에서 일어난다 볼 수 있으므로 그 확률은 두 영역의 넓이의 비 $$D/S$$, 즉 아래와 같다.
$$\displaystyle \begin{aligned} {\rm P}(A)&=\frac{\displaystyle \int_{0}^{\pi } \frac{l}{2}\sin{\theta} \, {\rm d} \theta }{\dfrac{d}{2} \times \pi} \\ &=\dfrac{2l}{d \pi} \end{aligned} $$