삼각 적분 함수
1. 설명
'''삼각 적분 함수(Trigonometric integrals)'''는 특수함수의 하나로, 각각 $$\mathrm{Si}(x)$$, $$\mathrm{Ci}(x)$$로 표기하며, 정의는 다음과 같다.
$$\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{Si}(x) &\equiv \int_{0}^{x}\frac{\sin{t}}{t}\,\mathrm{d}t \\ \mathrm{Ci}(x) &\equiv -\int_{x}^{\infty}\frac{\cos{t}}{t}\,\mathrm{d}t \end{aligned}$$[1]
[1] 그래프 그려주는 프로그램 중 하나인 Desmos에서는 무한대를 입력할 수 없어서 이렇게는 불가능하지만, 대신 $$ \displaystyle \mathrm{Ci}(x)=\int_{0}^{x}\frac{\cos{t}-1}{t}\,\mathrm{d}t+\ln{x}-\int_{0}^{1}\ln{\left[\ln{\left(\frac{1}{t} \right)} \right]}\,\mathrm{d}t$$로 입력할 수 있다. 요즘은 infty라 쓰면 $$\infty$$가 입력된다.
[image]
위 그래프에서 보듯 $$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \mathrm{Si}(x) = {\pi}/{2} $$, $$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \mathrm{Ci}(x) = 0$$이다.
2. 특징
특이하게도 sine, cosine만 적분이 정의되고 그 외의 삼각함수는 적분이 정의되지 않으며, 원본 함수와는 달리 $${\mathrm{Si}(x)}/{\mathrm{Ci}(x)}$$를 한다고 탄젠트 적분 함수를 만들 수 있는 것도 아니다.
사인곡선에서 유도되는 함수인 만큼 파동이나 전기적 신호를 다루는 학문에서 널리 쓰인다.
둘 다 대칭함수이다. $$\mathrm{Si}(x)$$는 홀함수, 실수부를 취한 $$\Re(\mathrm{Ci}(x))$$는 짝함수이다.[2]
양수 범위에서 $${\rm Si}(x)$$는 $$x=\pi$$에서, $${\rm Ci}(x)$$는 $$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$$에서 최댓값을 갖는다.
2.1. 윌브레이엄-기브스 상수
Wilbraham-Gibbs Constant
위에서 언급한 $${\rm Si}(x)$$의 최댓값인 $${\rm Si}(\pi)$$는 따로 윌브레이엄-기브스 상수라는 이름이 붙어 있다. 약 $$1.851937$$ 정도의 값으로, 푸리에 급수의 부산물 중 하나이다. 헨리 윌브레이엄과 조시아 윌러드 깁스가 발견했다.
저 윌브레이엄-기브스 상수에 $$\displaystyle \frac{2}{\pi}$$를 곱하면 '기브스 상수'[3]라는 또 다른 상수가 된다.
3. 관련 문서
[2] 실수부를 취하지 않을 경우 $$x<0$$ 범위에서 $$\mathrm{Ci}(x)=\Re(\mathrm{Ci}(x))+i\pi$$이므로 짝함수가 아니다.[3] 약 $$1.178980$$