대칭함수

'''디랙 델타 함수를 정의하는 기반이 되는 함수들 중 $\boldsymbol{y}$축 대칭함수(짝함수)들의 예시'''

1. 개요

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even and odd functions[1] · 對稱函數
함수의 개형이 대칭을 이루는 함수를 뜻한다. 크게 홀함수[2](Odd function)와 짝함수[3](Even function)로 나뉜다.

2. 정의

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함수 $y=f(x)$가 정의역의 모든 $x$에 대하여

* $f(-x)=f(x)$이면 '''짝함수'''(우함수),

* $f(-x)=-f(x)$이면 '''홀함수'''(기함수)

이다.

정수 $a$에 대해 $y=x^a$인 함수를 멱함수라고 한다. 멱함수의 경우 함수가 짝함수인지 홀함수인지의 여부를 쉽게 알 수 있다. $y=x^2$ 또는 $y=x^4$과 같이 $a$가 짝수이면 짝함수이고, $y=\dfrac1x$ 또는 $y=x^3$과 같이 $a$가 홀수이면 홀함수이다.
홀함수는 다시 $f(x)>f(-x)$인 함수와 $f(x)<f(-x)$인 함수로 나뉜다. 아래는 이 둘의 예시이다.

$f(x)>f(-x)$	$f(x)<f(-x)$

3. 특수한 대칭함수

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멱함수 이외에도, 고교 수학에서 배운 삼각함수 등을 포함한 매우 다양한 함수들이 대칭성을 가지고 있다.

3.1. 홀함수

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• [math(\mathrm{sgn}(x))]
• [math(\sin(x))]
• [math(\tan(x))]
• [math(\cot(x))]
• [math(\csc(x))]
• [math(\arcsin(x))]
• [math(\arctan(x))]
• [math(\mathrm{arccot}(x))]
• [math(\mathrm{arccsc}(x))]
• [math(\sinh(x))]
• [math(\tanh(x))]
• [math(\coth(x))]
• [math(\mathrm{csch}(x))]
• [math(\mathrm{arsinh}(x))]
• [math(\mathrm{artanh}(x))]
• [math(\mathrm{arcoth}(x))]
• [math(\mathrm{arcsch}(x))]
• [math(\mathrm{Si}(x))]
• [math(\mathrm{Shi}(x))]
• [math(S(x))]
• [math(C(x))]
• $P_{2n+1}(x)$(단, $n$은 0 이상의 짝수)
• $H_{2n+1}(x)$(단, $n$은 0 이상의 짝수)
• [math(\mathrm{erf}(x))]
• [math(\mathrm{erfi}(x))]
• [math(\mathrm{gd}(x))]
• [math(\mathrm{igd}(x))]
• [math(\mathrm{BR}(x))]
• [math(F(\phi,\,k))]
• [math(E(\phi,\,k))]

3.2. 짝함수

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• [math(c)]
• ]
• [math(\cos(x))]
• [math(\sec(x))]
• [math(\dfrac{\sin x}x)]
• [math(\cosh(x))]
• [math(\mathrm{sech}(x))]
• [math((\Re \circ \mathrm{Ci})(x))][iπ]
• [math((\Re \circ \mathrm{Chi})(x))][iπ]
• [math((\Re \circ \mathrm{Log})(x))][*iπ ]
• [math(\displaystyle e^{-x^2})]
• [math(\delta(x))]
• $P_{2n}(x)$(단, $n$은 0 이상의 짝수)
• $H_{2n}(x)$(단, $n$은 0 이상의 짝수)
• [math(\bold{1}_{\mathbb Z}(x))]
• [math(\bold{1}_{\mathbb Q}(x))]
• [math(\bold{1}_{\mathbb I}(x))]
• [math(\bold{1}_{\mathbb R}(x))]
• [math(\mathrm{tri}(x))]
• [math(\mathrm{rect}(x))]
• [math(\Psi(x))]

4. 성질

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$f(-x)=f(x)$에서 점 $(x,\,y)$가 그래프 위의 점이면 점 $(-x,\,y)$도 그래프 위의 점이기 때문에 짝함수의 그래프는 $y$축에 대하여 대칭이고, $f(-x)=-f(x)$에서 점 $(x,\,y)$가 그래프 위의 점이면 점 $(-x,\,-y)$도 그래프 위의 점이기 때문에 홀함수의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다.
수에서의 홀짝과는 특성이 다른데, 이는 다음과 같다.

• 홀함수×홀함수=짝함수, 홀함수÷홀함수=짝함수
• 홀함수×짝함수=홀함수, 홀함수÷짝함수=홀함수, 짝함수÷홀함수=홀함수
• 짝함수×짝함수=짝함수, 짝함수÷짝함수=짝함수

홀함수를 $a$가 홀수인 멱함수에, 짝함수를 $a$가 짝수인 멱함수에 대응시키면 지수법칙에 따라 위의 곱하기(×)가 홀수(*)짝수 연산의 더하기(+)에, 나누기(÷)가 홀수(*)짝수 연산의 빼기(-)에 대응하는 것이라 생각하면 이해하기 쉽다.
합성함수의 경우, 홀함수$\circ$짝함수이든 짝함수$\circ$홀함수이든 무조건 짝함수가 된다. 그런데, 홀함수끼리 합성하면 홀함수가 된다. 함수의 합성을 일종의 곱셈으로 이해하면, 짝수를 임의의 자연수에 곱하면 짝수가 되고, 홀수 곱하기 홀수는 홀수가 되는 점에 대응시켜보면 쉽게 이해할 수 있다.
정의역이 $x=0$에 대해 좌우대칭인 임의의 함수를 아래와 같이 짝함수와 홀함수의 합으로 유일하게 나타낼 수 있다.

$f(x)=\dfrac{f(x)+f(-x)}{2}+\dfrac{f(x)-f(-x)}{2}$

4.1. 미적분

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홀함수를 미분하면 짝함수가 되고, 짝함수를 미분하면 홀함수가 된다. 부정적분의 경우 홀함수를 적분하면 짝함수가 되지만, 반대로 짝함수를 적분하는 경우에는 적분상수의 존재 때문에 반드시 홀함수가 되리라는 보장이 없다. 단, $y$축 위의 한 점에 대하여 $y$절편을 $C$($C$: 적분상수)로 갖는, $(0, C)$ 좌표에 점대칭인 그래프를 갖는다.

4.1.1. 정적분

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대칭함수의 성질을 가장 잘 활용하는 곳은 다름 아닌 정적분인데, 이는 함수의 그래프가 대칭인 특성상 적분식이 간단해지기 때문이다.
적분구간 $[-a,\,a]$ (단, $a>0$)에 대해서 다음이 성립한다.

• 홀함수 : $\displaystyle \int_{-a}^a f(x) \,\mathrm{d}x = 0$
• 짝함수 : $\displaystyle \int_{-a}^a f(x) \,\mathrm{d}x = 2 \int_0^a f(x) \,\mathrm{d}x = 2 \int_{-a}^0 f(x) \,\mathrm{d}x$

홀함수는 특성상 정적분 값은 0이 된다.[4][5] 그래서 정적분이 넓이를 구하기 위한 것이라면 절댓값을 취해 홀함수 부분은 0으로 날려버리고 짝함수 부분만 남긴 다음 위 대칭을 이용해 적분하면 편하다.

4.2. 역함수

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• 홀함수의 역함수는 직선 $y=x$를 중심으로 선대칭을 한 홀함수가 된다.
• 짝함수의 역함수는 $x$축을 기준으로 선대칭을 이루는 음함수가 된다.

[1] Symmetric Function이라는 것도 있기는 하지만 이것은 각 변수의 자리를 바꿔도 성립하는 다변수함수라는 다른 뜻이다.

[2] 과거엔 기함수(奇函數)

[3] 과거엔 우함수(偶函數)

[iπ] A B $x < 0$ 범위에서는 $i\pi$가 더해지므로 짝함수로 만드려면 실수부를 취해야 한다.

[4] 그래서 홀함수의 $(-\infty, \infty)$ 구간열 적분을 구하는 것은 거의 금기 수준이다.

[5] 단, 디리클레 함수는 홀함수가 아님에도 대칭 정적분 값이 0이다.