수열의 극한
1. 개요
무한 수열 $$ \{a_{n}\} $$에 대하여 $$n$$이 무한히 커지는 상황에서 $$a_{n}$$이 $$L$$에 한없이 가까워지면 $${\displaystyle \lim_{n\to\infty}}a_{n}= L $$이라 한다. 이를 수열의 극한이라고 한다.
2. 상세
엄밀하게는 수열의 극한을 $$\varepsilon - N$$ 논법[1]으로 정의한다. 수열 $$ \left(a_{n}\right) $$ 이 $$L$$로 수렴한다는 것의 정의는 다음과 같다.
여기서 $$N$$은 $$\varepsilon$$의 값이 어떤지에 따라 변할 수 있다. 그래서 $$N$$의 구체적인 값은 $$\varepsilon$$에 의존한다는 뜻에서 $$N\left(\varepsilon\right)$$과 같이 함수처럼 표현하기도 한다.임의의 양수 $$\varepsilon$$에 대하여, ' $$n\geq N$$ 이면 항상 $$\left|a_{n}-L\right|<\varepsilon$$ ' 이 성립하게 되는 자연수 $$N$$ 이 존재한다.
수열 $$ \left(a_{n}\right) $$이 $$L$$로 수렴한다는 것은, 아무리 $$\varepsilon$$을 작게 잡아도 $$n$$이 커지다 보면 어느 순간부터는 $$a_{n}$$이 구간 $$\left(L-\varepsilon,\,L+\varepsilon\right)$$ 안에만 들어있다는 것이다. 아직 무슨 뜻인지 모르겠으면, 아래 함수의 극한에서 $$\varepsilon-\delta$$ 논법을 참고하자. 설명이 잘 되어 있으니 그걸 이해하면 $$\varepsilon-N$$ 논법도 쉽게 이해할 수 있을 것이다.
예를 들어 $${\displaystyle \lim_{n\to\infty}}\displaystyle\frac{n}{2n+1}=\displaystyle\frac{1}{2}$$ 임을 보이자. 임의의 양수 $$\varepsilon>0$$에 대해, $$n$$이 충분히 커지면 $$\left|\displaystyle\frac{n}{2n+1}-\displaystyle\frac{1}{2}\right|<\varepsilon$$ 이 성립함을 보이면 충분하다. 이때 $$\left|\displaystyle\frac{n}{2n+1}-\displaystyle\frac{1}{2}\right|=\displaystyle\frac{1}{2} \left(\displaystyle\frac{1}{2n+1}\right)$$이므로 $$\displaystyle\frac{1}{2} \left(\displaystyle\frac{1}{2n+1}\right)<\varepsilon$$인 $$n$$을 찾으면 되는데, 이는 $$\displaystyle\frac{1}{4\varepsilon} - \displaystyle\frac{1}{2} < n$$과 동치이다. 그런데 아르키메데스 성질에 의해 저러한 $$n$$은 아무리 작은 $$\varepsilon$$에 대해서도 존재한다.[2] 따라서 이 $$n$$을 $$\varepsilon-N$$논법에서의 $$N$$으로 잡으면, $$n\ge N$$일 때 항상 $$\left|\displaystyle\frac{n}{2n+1}-\displaystyle\frac{1}{2}\right|=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{1}{2n+1}\right)<\varepsilon$$ 가 성립하게 되므로 $${\displaystyle \lim_{n\to\infty}}\displaystyle\frac{n}{2n+1}=\displaystyle\frac{1}{2}$$ 이다.
이 부분은 2015 개정 교육과정에서 미적분으로 넘어가 자연계 지망자(舊 이과생)만 배우는 내용이 되었다.
대학 해석학 수준이 되면 수열의 수렴성보다 엄밀한 조건으로 수열의 코시 수열 성질을 배우게 되는데, 코시 수열은 다음과 같이 정의된다.
수열 $$a_{n}$$이 존재한다고 하자. 그렇다면 이 수열이 코시 수열일 조건은 임의의 양의 실수 $$\epsilon$$에 대하여, 이에 대응하는 적당한 자연수 $$N$$가 존재하여 $$n,m > N$$을 만족하는 자연수 $$n, m$$에 대하여 다음 성질을 만족하는 수열이다.
$$d\left( a_{n}, a_{m}\right)<\epsilon$$
(단, $$d$$는 거리함수. 유클리드 공간에서는 두 수의 차의 절댓값이 된다.)
일반적인 유클리드 공간 내라면 수렴성 = 코시 수열 성질이지만, 일반 거리 공간이 되면 코시 수열 성질과 수렴성이 꼭 일치하는 건 아니다. 거리 공간이 완비성을 지니게 되면 코시 수열의 수렴성이 보장되며 반대로 말해서, 코시 수열이 수렴하게 되면, 이 코시 수열이 전제된 거리공간은 완비 거리 공간(Complete metric space)이 된다.