4.1. 위상동형사상(homeomorphism)
4.5. 거리 함수(metric function)
1. 개요
continuous function · 連續函數'''연속함수'''란
함수의 일종으로, 변수의 연속적인 변화에 따라 함숫값이 연속적으로 변하는 함수를 일컫는다. 연속함수는 일반
위상수학,
해석학 등에서 주로 사용하는 수학적 도구이다.
[1] 단, 해석학은 수치화한 연속과 연산을 병행하는 학문이기 때문에 순수한 연속성만을 다루는 경우는 적다. 특히 '''미분'''에 대해 다루려면 연속만으로는 모자라며(후술하겠지만 연속이지만 미분불가능한 함수도 있다.), 함수의 연속과 '''적분'''가능성은 필요조건 관계도 아니다. 그래서 해석학에서는 연속함수 조건을 강화하여 미분가능한 함수(Differentiable function), 균등연속함수(Uniformly continuous function), 해석함수(Analytic function)등을 사용한다.
2. 정의
2.1. 실함수의 연속
2.1.1. 고교 교육과정 하에서의 정의
'''[ 정의 ]''' 함수 $$f(x)$$가 실수 $$a$$에 대하여
* $$\displaystyle\lim_{x\to a-}f(x)=\lim_{x\to a+}f(x)=f(a)$$
이면 $$f(x)$$는 '''$$x = a$$에서 연속'''($$f(x)$$ is '''continuous at $$x = a$$''')이라고 한다. 특히, 함수 $$f(x)$$가 '''실수 전체의 집합'''에서 연속이면, $$f$$를 '''연속함수(continuous function)'''라고 한다.
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다시 말해서 어떤 점에서 좌극한, 우극한, 함숫값이 모두 존재하면서 값이 같으면 연속이라는 뜻이다.
'''[ 정의 ]''' 실수 위에서 정의된 함수 $$f: \mathbb R \to \mathbb R$$가 다음 성질을 만족시킬 때, $$f(x)$$는 '''$$x = a$$에서 연속'''($$f(x)$$ is '''continuous at $$x = a$$''')이라고 한다.
* 함수 $$f(x)$$ 가 $$x = a$$에서 잘 정의되어 있다.
* 극한 $$\lim \limits_{x \to a} f(x)$$가 존재한다.
* $$\lim \limits_{x \to a} f(x) = f(a)$$
만약 세 조건 중 단 하나라도 만족시키지 않으면, $$f(x)$$는 '''$$x = a$$에서 불연속'''($$f(x)$$ is '''discontinuous at $$x = a$$''')이라고 한다.
특히, 함수 $$f(x)$$가 모든 $$x = a \in \mathbb R$$에서 연속이면, $$f$$를 '''연속함수(continuous function)'''라고 한다.
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직관적으로, 어떤 함수가 '연속이다'라고 말하려면 함수가 끊어짐이 없이 부드럽게 그려져야 한다. 하지만 '부드럽게' 등은 전혀 수학적이지 못한 정의이므로, 고교 수준에서는
극한을 이용한 정의를 도입한다.
[ 정의 ] 실수 위에서 정의된 함수 $$f: \mathbb R \to \mathbb R$$가 다음 성질을 만족시킬 때, $$f(x)$$는 $$x = a$$에서 연속($$f(x)$$ is continuous at $$x = a$$)이라고 한다. * 임의의 실수 $$\varepsilon > 0$$에 대하여, 다음을 만족시키는 실수 $$\delta > 0$$가 존재한다. $$0<\lvert x - a \rvert < \delta \ \Rightarrow \ \lvert f(x) - f(a) \rvert < \varepsilon$$그렇지 않다면, $$f(x)$$는 $$x = a$$에서 불연속($$f(x)$$ is discontinuous at $$x = a$$)이라고 한다.특히, 함수 $$f(x)$$가 모든 $$x = a \in \mathbb R$$에서 연속이면, $$f$$를 연속함수(continuous function)라고 한다.
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위 '고교과정 하에서의 정의'에서 애매한 부분이었던
극한 관련 서술을
엡실론-델타 논법으로 보강한 정의. 보통 이과 학생들이 대학교에서 처음 배우는
미적분학에서 연속을 정의하는 방식이다.
'''[ 정의 ]''' 실수의 부분집합 $$X \subset \mathbb R$$에서 정의된 함수 $$f: X \to \mathbb R$$가 주어져 있다고 하자. $$a \in X$$에 대하여
* $$a$$가 집합 $$X$$의 고립점(isolated point)이라면, 함수 $$f(x)$$는 $$x = a$$에서 연속인 것으로 '''정의'''한다.[2]
* $$a$$가 $$X$$의 극한점(limit point)이라면,
* $$\lim \limits_{x\to a} f(x) = f(a)$$일 때 $$f(x)$$는 '''$$x = a$$에서 연속'''($$f(x)$$ is '''continuous at $$x = a$$''')이라고 한다.
* $$\lim \limits_{x\to a} f(x) \neq f(a)$$일 때 $$f(x)$$는 '''$$x = a$$에서 불연속'''($$f(x)$$ is '''discontinuous at $$x = a$$''')이라고 한다.
특히, 함수 $$f(x)$$가 모든 $$x = a \in X$$에서 연속이면, $$f$$를 '''연속함수(Continuous function)'''라고 한다.
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위의 정의를 실수의 일반적인 부분집합 $$X \subset \mathbb R$$로 확장한 것이다. 주의할 점은, $$a \notin X$$일 때 함수 $$f$$는 '''정의하지 않는다고 해서 연속, 불연속을 따질 수 없는 것이 아니다'''. 예를 들어 $$\mathbb R - \left\{ 0 \right\}$$에서 정의된 함수 $$x \mapsto \dfrac 1x$$는 '''불연속함수'''이다. 입실론-델타 논법의 수식 자체를 잘못 이해해서 특정 지점에서 정의되지 않는 함수는 연속 여부 자체를 말할 수 없다고 생각하는 경우가 있는데, 델타의 정의에서 볼 수 있듯이 특정 지점의 근방에서 정의되면 그 근방의 성질로 연속 여부를 판별 할 수 있다.
2.2. 거리공간에 주어진 함수의 연속
[ 정의 ] 두 거리공간 $$(X, d_X)$$와 $$(Y, d_Y)$$ 사이에 정의된 함수 $$f: X \to Y$$가 다음 성질을 만족시킬 때, $$f$$는 $$a \in X$$에서 연속($$f$$ is continuous at $$a \in X$$)이라고 한다. * 임의의 실수 $$\varepsilon > 0$$에 대하여, 다음을 만족시키는 실수 $$\delta > 0$$가 존재한다. $$d_X(x, a) < \delta \ \Rightarrow \ d_Y(f(x), f(a)) < \varepsilon$$그렇지 않다면, $$f$$는 $$a \in X$$에서 불연속($$f$$ is discontinuous at $$a \in X$$)이라고 한다.특히, 함수 $$f$$가 모든 $$a \in X$$에서 연속이면, $$f$$를 연속함수(Continuous function)라고 한다.
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위에서 정의한 실함수의 연속성을 임의의 거리공간으로 확장한 버전. 실제로 실수 위의 거리 함수 $$d_\mathbb R(a, b) = \lvert b - a \rvert$$를 생각하면, 위 정의와
엡실론-델타 논법을 이용한 정의는 서로 충돌하지 않음을 확인할 수 있다. 일반적인 거리 함수와 거리공간의 정의는
거리 함수에 설명되어 있다. 이 정의로부터
다변수함수의 연속성을 정의할 수 있다.
2.3. 일반 위상공간에 주어진 함수의 연속
[ 정의 ] 두 위상공간 $$X$$와 $$Y$$ 사이에 정의된 함수 $$f: X \to Y$$가 다음 성질을 만족시킬 때, $$f$$는 $$a \in X$$에서 연속($$f$$ is continuous at $$a \in X$$)이라고 한다. * $$f(a) \in Y$$의 임의의 열린 근방(Open neighborhood) [3] f(a) \in Y를 포함하는 Y의 열린 부분집합. $$V \subset Y$$에 대하여, 다음을 만족하는 $$a \in X$$의 열린 근방 $$U \subset X$$가 존재한다. $$x \in U \ \Rightarrow \ f(x) \in V$$ [4] 동등한 표현으로 f(U) \subset V가 있다. 그렇지 않다면, $$f$$는 $$a \in X$$에서 불연속($$f$$ is discontinuous at $$a \in X$$)이라고 한다.특히, 함수 $$f$$가 모든 $$a \in X$$에서 연속이면, $$f$$를 연속함수(continuous function)라고 한다. |
일반 위상공간에는 거리와 같은 좋은 함수가 없기 때문에, 기존 정의를 대체하기 위해 '열린 근방'을 도입한 정의이다. 거리 공간에서의 정의와 다르게 보이지만 본질은 같다. 이를 확인하기 위해 실함수 $$f: \mathbb R \to \mathbb R$$에 대하여 이 정의를 살펴보자. $$f(a)$$를 포함하는 열린 근방 $$V \subset \mathbb R$$이라는 것은, $$f(a)$$를 포함하는 열린 집합을 의미한다. 이는 충분히 작은 $$\varepsilon > 0$$에 대하여
구간 $$(f(a) - \varepsilon, f(a) + \varepsilon)$$를 포함하는데, 이 구간은 $$\left\{ y \in \mathbb R \rvert \lvert y - f(a) \rvert < \varepsilon \right\}$$라고 쓸 수도 있다. 비슷하게 $$a \in X$$의 열린 근방도 적절한 $$\delta > 0$$에 대하여 $$(a - \delta, a + \delta) = \left\{ x \in \mathbb R \rvert \lvert x - a \rvert < \delta \right\}$$을 포함한다. 따라서 조건 $$f(U) \subset V$$는 다음처럼 쓸 수 있다.
$$\lvert x - a \rvert < \delta \ \Rightarrow \ \lvert f(x) - f(a) \rvert < \varepsilon$$
이는 실함수의 연속과 같은 조건이므로, 두 정의는 충돌 없이 공존할 수 있다.
한편, 일반 위상공간에서는 연속함수에 대한 다음과 같은 동치조건이 있다. 보통 문제 등을 풀 때 다음 조건을 증명하여 연속성을 보인다.
'''[ 정의 ]''' 두 위상공간 $$X$$와 $$Y$$ 사이에 정의된 함수 $$f: X \to Y$$가 다음 성질을 만족시킬 때, $$f$$는 '''연속함수(Continuous function)'''라고 한다.
* 임의의 열린 부분집합 $$V \subset Y$$에 대하여, $$f^{-1}(V)$$는 $$X$$의 열린 부분집합이다.
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이 정의 역시 기존 정의들과 전혀 충돌하지 않는다. 또한 연속의 정의 중 가장 간결하여, 현대 수학에서는 위 정의를 일반적인 연속함수의 정의로 받아들인다. 이 정의는 거리를 비롯한 다양한 개념들이 추상화된 채 포함되어 있는데, 이 때문에 실공간 $$\mathbb R$$과 같이 잘 알던 공간에서 성립하던 직관적인 성질들은 더 이상 성립하지 않는 경우가 많다.
예를 들어 보통 위상이 주어진 $$\mathbb R$$에서, 하한 위상(lower limit topology)이 주어진 $$\mathbb R_l$$로의 항등함수 $$f: \mathbb R \to \mathbb R_l, f(x) = x$$가 있다. 직관적으로는 이 함수가 당연히 연속함수지만, 실제로 이 함수는 '''연속함수가 아니다'''. 왜냐하면 하한 위상공간에서는 [math([a, b))] 따위가 모두 열린 집합인데, 이 반열린구간의 역상 [math(f^{-1}([a, b)) = [a, b))]는 실수 집합 $$\mathbb R$$의 열린 집합이 아니기 때문이다.
[5] 일반적으로 이 함수는 정의역의 모든 점에 대하여 불연속인 완전 불연속 함수(Totally discontinuous function)이다.
역으로, 이산 위상(discrete topology)가 주어진 $$\mathbb R_d$$에서 보통 위상이 주어진 $$\mathbb R$$로의
디리클레 함수 $$g: \mathbb R_d \to \mathbb R$$은
$$g(x) = \begin{cases} 1, & \mathsf{if}\ x \in \mathbb Q \\ 0, & \mathsf{if}\ x \in \mathbb R - \mathbb Q \end{cases}$$
라 쓸 수 있다. 이는 완전 불연속 함수처럼 보이지만, 이산 위상공간에서는 임의의 집합이 열린 집합이므로 $$g$$는 '''연속함수이다'''.
3. 성질
연속함수는 수학, 특히
해석학과
위상수학의 아이콘과도 같은 중요한 개념이다. 아래와 같이 상당히 좋은 성질들을 가지고 있기 때문에, 다양한 분야에서 연속함수를 사용한다.
3.1. 기본 성질
'''[ 명제 ]''' 함수 $$f, g, h: \mathbb R \to \mathbb R$$가 $$f, g$$는 $$x = x_0$$에서, $$h$$는 $$x = f(x_0)$$에서 연속일 때,
* 함수 $$kf: \mathbb R \to \mathbb R$$[6] 여기서 k \in \mathbb R는 임의의 상수이며, (kf)(x) = kf(x)이다. 여기서 (f \pm g)(x) = f(x) \pm g(x)이다. 여기서 (fg)(x) = f(x) \cdot g(x)이다.
* $$g(x_0) \neq 0$$일 때, 함수 $$\dfrac fg: \mathbb R \to \mathbb R$$는 $$x = x_0$$에서 연속.[9] 여기서 \Bigl(\dfrac fg \Bigr)(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}(g(x) \neq 0)이다.
* 함수 $$h \circ f: \mathbb R \to \mathbb R$$가 $$x_0$$에서 연속.[10] 여기서 (h \circ f)(x) = h(f(x))이다. 이 성질은 실함수가 아닌 일반 위상공간에 정의된 함수에서도 성립한다.
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위 성질들은 고등학교 과정에서도 배우는 연속함수의 기본적인 성질이다. 합성함수의 연속성을 제외한 나머지 성질들은 고교 과정의
극한 정의를 이용하여 증명 가능하다. 한편, 합성함수의 연속성 증명은 고교 과정에서는 생략한 채 넘어간다.
'''[ 명제 ]''' 함수 $$f: X \to Y$$가 $$x_0 \in X$$에서 연속, $$g: Y \to Z$$가 $$f(x_0) \in Y$$에서 연속일 때 $$g \circ f: X \to Z$$ 또한 $$x_0 \in X$$에서 연속이다.
- [ 증명 ]
$$(g \circ f)(x_0) \in Z$$의 열린 근방 $$W \subset Z$$가 주어져 있다고 하자. 함수 $$g$$가 $$f(x_0)$$에서 연속이므로, $$f(x_0) \in Y$$의 열린 근방 $$V \subset Y$$가 존재하여
$$g(V) \subset W$$
이게 할 수 있다. 또, 함수 $$f$$가 $$x_0$$에서 연속이므로 $$f(U) \subset V$$인 $$x_0$$의 열린 근방 $$U \subset X$$를 택할 수 있다. 따라서
$$(g \circ f)(U) \subset g(V) \subset W \subset Z$$
이다. 즉, $$g \circ f$$는 $$x_0$$에서 연속이다.□
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3.2. 위상적 성질
'''[ 명제 ]''' 함수 $$f: X \to Y$$가 연속함수이면,
* $$C \subset X$$가 옹골집합(compact set) $$\ \Rightarrow \ f(C) \subset Y$$도 옹골집합.[11] 이 사실로부터 컴팩트성(중에도 특히 점렬 컴팩트성)이 왜 그런 식으로 정의되는지 유추할 수 있다. 컴팩트성을 이용하지 않고 일변수함수의 최대·최소 정리를 증명하려면, 닫힌 집합 [a, b]에서의 볼차노-바이어슈트라스 정리를 이용하는 것이 핵심이다. 그런데 이 정리는 점렬 컴팩트성으로부터 나오며, 이를 일반화하여 컴팩트성이 정의가 된다. 실제로 거리공간에서는 점렬 컴팩트성과 컴팩트성이 동치.
* $$C \subset X$$가 연결 집합(connected set) $$\ \Rightarrow \ f(C) \subset Y$$도 연결 집합.
- [ 증명 ]
- $$\left\{ V_\alpha \right\}$$가 $$f(C) \subset Y$$의 열린 덮개라면, $$\left\{ f^{-1}(V_\alpha) \right\}$$는 $$C \subset X$$의 열린 덮개가 된다. $$C$$가 옹골집합이므로, $$C$$의 유한 부분덮개 $$\left\{ f^{-1}(V_i) \right\}$$가 존재한다. 그러므로 $$\left\{ V_i \right\}$$는 $$f(C) \subset Y$$의 유한 부분덮개이고, 따라서 $$f(C) \subset Y$$는 옹골집합.
- (대우) $$f(C) \subset Y$$가 연결 집합이 아님 $$\ \Rightarrow \ C \subset X$$가 연결 집합이 아님.
두 열린 집합 $$A, B$$가 $$f(C) \subset Y$$를 분할(separate)한다면, 역시 두 열린 집합 $$f^{-1}(A), f^{-1}(B)$$가 $$C \subset X$$를 분할한다.□
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특히, 위의 첫 번째, 두 번째 성질은 각각
최대·최소 정리,
중간값 정리의 일반화이다.
[ 정리 ] 함수 $$f: \mathbb R \to \mathbb R$$가 $$x = c$$에서 연속이라고 하자. 수열 $$\left\{ x_n \right\}$$이 실수 $$c \in \mathbb R$$로 수렴할 때, $${\lim \limits_{n \to \infty}} f(x_n) = f \left({\lim \limits_{n \to \infty}} x_n \right) = f(c)$$이 성립한다. 말로 풀어 쓰면, 수열 $$\left\{ f(x_n) \right\}$$은 극한 $$f(c)$$을 가진다. - [ 증명 ]
함수 $$f$$가 $$x = c$$에서 연속이므로, 임의의 $$\varepsilon>0$$에 대해
$$\lvert x - c \rvert < \delta \ \Rightarrow \ \lvert f(x) - f(c) \rvert < \varepsilon$$
이게 하는 $$\delta > 0$$을 잡을 수 있다. 또한, 수열 $$\left\{ x_n \right\}$$의 극한이 $$c$$이므로
$$n > N \ \Rightarrow \ \lvert x_n - c \rvert < \delta$$
를 만족시키는 자연수 $$N \in \mathbb N$$이 존재한다. 두 사실을 결합하면 $$n > N \ \Rightarrow \ \lvert f(x) - f(c) \rvert < \varepsilon$$을 얻고 이는 수열 $$\left\{ f(x_n) \right\}$$이 극한 $$f(c)$$을 가진다는 말과 같다.□
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위 정리는 고등학교 과정에서 암암리에 증명 없이 쓰이곤 한다. 고등학교 과정에서는 거의 대부분 연속함수만 등장하기 때문에 사용에는 무리가 없다. 당연히 $$f$$가 $$x = c$$에서 불연속이면 이 정리를 적용할 수 없다. 이 정리를 혼동하여 발생하는 대표적 오해가
[math(0.999 \cdots = 1)]과 관련된 것이다. 위 정리에서 $$f$$가
최대 정수 함수 $$\lfloor\ \cdot \ \rfloor$$이고, 수열 $$\left\{ x_n \right\}$$이 $$x_n = 1 - 10^{-n}$$인 경우를 생각해 보자. 이 때 $$\left\{ x_n \right\}$$은 $$c = 1$$로 수렴하지만,
$${\lim \limits_{n \to \infty}} f(x_n) = \lfloor 0.999 \cdots \rfloor = 0 \ne 1 = \lfloor 1\rfloor = f(c)$$
임을 알 수 있다. 정리가 성립하지 않는 이유는 최대 정수 함수 $$f$$는 $$x = 1$$에서 불연속이기 때문.
[12] 일반적으로, 최대 정수 함수는 모든 정수점에서 불연속이다.
그러나 최대 정수 함수의 불연속성을 고려하지 않은 채, 위 정리를 그대로 적용할 수 있는 것으로 오해하여 $$0.999 \cdots \neq 1$$이 아닌가 하는 '''오류'''를 범하게 되는 것이다.
4. 관련 함수들
연속이거나 연속은 아니지만 연속함수와 비슷한 개념들. 이 개념들은 특정 공간이나 함수의 성질들을 이해하기 위해 만들어졌으며, 보통 학부
위상수학 시간에 배울 수 있다. 아래 단락에서, $$X$$와 $$Y$$는 주어진 위상공간을 나타낸다.
4.1. 위상동형사상(homeomorphism)
'''[ 정의 ]''' 위상동형사상(homeomorphism)
함수 $$f: X \to Y$$가 다음 성질을 만족시키면 $$f$$을 '''위상동형사상(homeomorphism)'''이라고 부른다.
* $$f: X \to Y$$는 전단사 연속함수
* 역사상 $$f^{-1}: Y \to X$$ 또한 연속함수
이런 함수 $$f$$가 존재할 때, 두 공간 $$X$$와 $$Y$$는 '''위상동형(homeomorphic)'''하다고 말하며 기호로는 $$X \approx Y$$[13] 표기는 교재별, 사람별로 전부 다르므로 문맥에 맞게 사용하는 것이 좋다.
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위상동형사상 $$f: X \to Y$$가 존재하면, 두 위상공간 $$X$$와 $$Y$$는 '''모든 위상적 성질
[14] 집합의 열림, 닫힘 및 and, or 등으로 표현되는 성질
을 공유'''한다. 그러므로 이런 위상동형사상의 활용 가능성은 무궁무진한데, 실제로 어떤 복잡한 공간 $$Y$$의 성질을 위상동형사상 $$f: X \to Y$$를 이용하여 $$X$$의 성질로 옮겨서 다루고는 한다. 위상공간, 위상동형사상의 관계는
대수학에서의
군,
동형사상(isomorphism)의 관계와 같다.
4.2. 열린 사상(open map)
'''[ 정의 ]''' 열린 사상(Open map)
함수 $$f: X \to Y$$가 다음 성질을 만족시키면 $$f$$을 '''열린 사상(open map)'''이라고 부른다.
* $$O \subset X$$가 열린집합 $$\ \Rightarrow \ f(O) \subset Y$$가 열린집합
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언뜻 보면 연속사상과 그다지 달라 보이지 않지만, 연속이 아님에도 열린 사상이 되는 함수들이 존재한다. 대표적으로 $$ f: \mathbb R \to \mathbb R_l $$인 항등함수는 연속이 아니지만 열린 사상이다.
4.3. 닫힌 사상(closed map)
'''[ 정의 ]''' 닫힌 사상(Closed map)
함수 $$f: X \to Y$$가 다음 성질을 만족시키면 $$f$$을 '''닫힌 사상(closed map)'''이라고 부른다.
* $$C \subset X$$가 닫힌집합 $$\ \Rightarrow \ f(C) \subset Y$$가 닫힌집합
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이 또한 열린 사상과 마찬가지로 연속이 아님에도 열린 사상이 되는 함수가 존재한다. $$f: \mathbb R \to \mathbb R_l $$인 항등함수는 열린 사상인 동시에 닫힌 사상이다. 또 닫힌 사상이지만 열린 사상이 아닌 함수, 열린 사상이지만 닫힌 사상이 아닌 함수 등도 다 존재한다.
4.4. 상사상(quotient map)
'''[ 정의 ]''' 상사상(quotient map)
함수 $$p: X \to Y$$가 다음 성질을 만족시키면 $$p$$를 '''상사상(quotient map)''', 또는 '''몫사상'''이라 한다.
* $$p: X \to Y$$는 전사 연속함수
* $$O \subset Y$$가 열린 집합 $$\ \Leftrightarrow \ p^{-1}(O) \subset X$$가 열린 집합
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언뜻 보면 연속과 정의가 달라보이지 않으나, 연속은 위 필요충분조건에서 $$\Rightarrow$$ 방향만 성립할 때를 말함에 주의하자. 일반적인 연속사상은 애매한 집합들의 역상이 열린집합인 것도 허용하지만, 상사상은 그런 경우도 없을 때만 가능하다. 이 개념은
대수적 위상수학을 공부하면 흔하게 접할 수 있는데, 예를 들어 두 위상공간 $$A, B$$의 쐐기 합(wedge sum) $$A \vee B$$는 두 공간에서 한 점 $$a \in A$$, $$b \in B$$를 골라 두 점을 붙인 공간으로 정의된다. 이 공간에 사상 $$p: A \sqcup B \to A \vee B$$을
$$p(x) = \begin{cases} x, & \mathsf{if}\ x \neq a, b\\ c, & \mathsf{if}\ x = a, b \end{cases}$$
로 정의하면, ($$c \in A \vee B$$는 두 공간을 붙인 점.) 이는 $$A \vee B$$로부터 자연스럽게 유도된 상사상(induced quotient map)이 된다.
4.5. 거리 함수(metric function)
'''[ 정의 ]''' 거리 함수(metric function)
함수 $$d_X: X \times X \to \mathbb R$$가 다음 조건을 만족시키면, $$d_X$$를 공간 $$X$$의 '''거리(metric)'''이라 한다.[15] 노름(수학)의 정의와 비교하여 보자. 이렇게 거리 함수가 주어진 X를 '''거리공간(metric space)''' 혹은 '''거리화 가능 공간(metrizable space)'''이라고 부른다.
임의의 $$x, y, z \in X$$에 대하여,
* $$d_X(x, y) \geq 0$$ (nonnegative)
* $$x = y \ \Leftrightarrow \ d_X(x, y) = 0$$ (identity of indiscernibles)
* $$d_X(x, y) = d_X(y, x)$$ (symmetry)
* $$d_X(x, z) \leq d_X(x, y) + d_X(y, z)$$ (triangle inequality)
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정의를 보면 알 수 있듯이 우리가 이미 알고 있는 '두 점 사이의 거리'는 거리 함수가 된다. 실제로 실수 공간 $$\mathbb R$$에 주어진 거리 $$d_\mathbb R(x, y) = \lvert x - y \rvert$$, 좌표 평면 $$\mathbb R^2$$에 정의된 거리 $$d_{\mathbb R^2}((x_1, x_2), (y_1, y_2)) = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2}$$는 위 정의를 모두 만족한다. 거리 함수는 그 자체로도 $$X \times X$$ 위에 정의된 연속함수일 뿐만 아니라, 함수의 연속성 증명을 더 간단하게 만들어 준다.
'''[ 명제 ]''' 거리 함수의 연속
임의의 거리 함수 $$d_X: X \times X \to \mathbb R$$는 곱 위상(product topology)이 주어진 $$X \times X$$ 위의 연속함수이다.
- [ 증명 ]
한 점 $$(x, y) \in X \times X$$을 고정하고, $$d_X(x, y) \in \mathbb R$$을 포함하는 열린집합 $$V \subset \mathbb R$$을 생각하자. $$\mathbb R$$에도 거리가 주어져 있으므로, $$\varepsilon > 0$$를 잘 선택하여 $$B_\mathbb R(d_X(x, y), \varepsilon) \subset V$$이게 할 수 있다. 이제, $$(x, y) \in X \times X$$의 열린 근방 $$U \subset X \times X$$를 다음과 같이 정의하자.
$$U := B_X \left(x, \dfrac \varepsilon 2 \right) \times B_X \left(y, \dfrac \varepsilon 2 \right) \subset V$$
그렇다면 삼각부등식에 의해, $$(x', y') \in U$$일 때
$$d_X(x', y') \leq d_X(x', x) + d_X(x, y) + d_X(y, y') < d_X(x, y) + \varepsilon$$
$$d_X(x', y') \geq d_X(x, y) - d_X(x, x') - d_X(y', y) > d_X(x, y) - \varepsilon$$
이므로 $$d_X(x', y') \in B_\mathbb R(d_X(x, y), \varepsilon) \subset V$$. 따라서 $$d_X(U) \subset V$$임을 알 수 있고, $$d_X$$가 연속이 된다.□
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4.6. 경로(path)
'''[ 정의 ]''' 경로(path), 닫힌 곡선(loop)
정의역이 구간 $$I = [0, 1]$$인 연속함수 $$f: I \to X$$를 $$X$$의 '''경로(path)'''라고 부른다.
* 이 때 $$f(0)$$를 경로의 '''시작점(Initial point)''', $$f(1)$$을 경로의 '''끝점(terminal point)'''라고 한다.
특히 시작점과 끝점이 일치하는, 즉 $$f(0) = f(1)$$인 경로를 '''닫힌 곡선[16](loop)'''이라고 한다.
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쉽게 말해서, 경로란 위상공간 안에서 실수의 구간과 비슷한 대상을 의미한다. 이는
연결 공간의 하위 분류인
경로 연결 공간을 정의할 때 필요하다. 실제로 연결공간과 경로연결공간은 같은 개념이 아니며, $$\mathbb R^2$$만 되어도
연결 공간이지만 경로 연결 공간은 아닌 공간이 존재한다. 한편 경로는
대수적 위상수학에서
호모토피 이론의 주인공이기도 하다.
4.7. 수축(retract)
'''[ 정의 ]''' 수축(retract)
위상공간 $$X$$와 그 부분공간 $$A \subset X$$에 대하여, 연속함수 $$r: X \to A$$를 '''수축(retract)'''이라고 부른다. '''공간 $$A$$가 $$X$$의 수축이다($$A$$ is a retract of $$X$$)''', '''공간 $$X$$는 $$A$$ 위로 수축한다($$X$$ retracts onto $$A$$)'''와 같은 표현도 사용한다.
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수축은 특수한 형태의 연속함수로,
대수적 위상수학에서
기본군을 공부하다 보면 수도 없이 만나게 된다.
변형수축과도 연관이 있는 함수의 종류이다.
'''[ 정의 ]''' 매끄러운 함수(Smooth function)
함수 $$f: X \to Y$$가 무한 번 미분 가능하며, 임의의 정수 $$n \geq 0$$에 대하여 $$f$$의 $$n$$계 도함수 $$f^{(n)}$$이 모두 연속일 때[17] 이상의 조건을 기호로 f \in \mathcal C^\infty라 표시한다.
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미분가능성은 연속성의 충분조건이므로, 매끄러운 함수는 당연히 연속함수가 된다. 매끄러운 함수는
미분 기하학처럼 연속 이상의 강력한 조건을 사용하는 학문에서 자주 등장하는 대상이다.
행동 양상이 특이한 함수들. 보통 학부 해석학 첫 학기에 배우게 되며, 기존 수학적 직관을 깨부수는 다양한 함수들을 만나보게 된다. 대표적으로 '''모든 점에서 연속이지만 모든 점에서 미분 불가능한 함수'''가 있다.
5. 고등학교 시험
고등학교 시험에서는 '''불연속점이 있는 함수에 다른 함수를 곱했더니 그 점에서 연속이 되는 상황'''을 많이 출제한다.
함수 $$f(x)$$가 $$x=f_1, \,f_2,\, \cdots$$에서, $$g(x)$$가 $$x=g_1,\, g_2,\, \cdots$$에서 불연속일 때, $$f(x)g(x)$$가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 다음을 만족시켜야 한다.
$$f(g_1)=f(g_2)=\cdots=g(f_1)=g(f_2)=\cdots=0$$
쉽게 말해서 한 함수의 불연속점의 $$x$$좌표를 다른 함수에 대입하면 0이 되는 경우, 두 함수를 곱한 제3의 함수는 실수 전체의 집합에서 연속이다. 이유는 다음과 같다.
우선, $$f(x)$$가 $$x=a$$에서 불연속이라는 것은 $$x=a$$에서의 좌극한, 우극한, 함숫값이 일치하지 않는다는 뜻이다. 그런데 여기에 다른 함수 $$g(x)$$를 곱했더니 $$x=a$$에서 연속이 되려면, $$g(a)=0$$이어야 $$f(x)g(x)$$의 $$x=a$$에서의 좌극한, 우극한, 함숫값이 모두 0이 되어 일치하게 된다. 0이 아니면 안 된다. 요컨대, '''서로 다른 수들에 어떤 수를 각각 곱한 결과가 모두 같다는 것은, 그 곱한 수가 0이라는 뜻이다.'''
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'''2020학년도 6월 고3 나형 15번'''
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- [풀이 보기]
$$\displaystyle\lim_{x\to 0-}f(x)=3,\;\lim_{x\to 0+}f(x)=2$$
이므로 $$f(x)$$는 $$x=0$$에서만 불연속이다. 따라서, $$f(x)g(x)$$가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 $$\boldsymbol{g(0)=0}$$'''이어야 한다.''' $$g(x)$$에 나오는 식 $$2x$$와 $$2x-1$$ 중 $$g(0)=0$$이 되는 경우는 $$2x$$이므로, 아래 그림에 따라 $$\boldsymbol{a>0}$$이다.
[image]$$\displaystyle\lim_{x\to a-}g(x)=2a,\;\lim_{x\to a+}g(x)=2a-1$$
이므로 $$g(x)$$는 $$x=a$$에서만 불연속이다. 따라서, $$f(x)g(x)$$가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 $$\boldsymbol{f(a)=0}$$'''이어야 한다.'''
그러면 $$f(a)=-2a+2\;(\because a>0)$$이고
$$-2a+2=0 \; \to \; a=1$$