스넬의 법칙
1. 개요
'''스넬의 법칙'''[1](Snell's law)
어떤 파동이 속도가 다른 두 매질을 만나 꺾이는 현상을 말한다. 연속방정식으로는 다음과 같다.
$$ n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2 = ... $$
다음이 성립한다.
$$ \displaystyle n_{12} = {v_1 \over v_2} = {\lambda_1 \over \lambda_2} = {\sin \theta_1 \over \sin \theta_2} = {n_2 \over n_1}$$
여기서 $$ v $$은 그 매질에서의 파장의 속도, $$ n $$ 은 굴절률, $$ \lambda $$ 는 파장, $$ \theta $$는 입사/굴절 되는 각이다. 여기서 굴절률은 빛이라면 $$ n = {c_0 \over v} $$ 가 된다.
2. 빛(전자기파)에 대한 증명
스넬의 법칙은 등방성을 가지는 매질에 대하여 파동이 갖는 일반적인 성질이다. 이 문단에서는 특히 빛(전자기파)에 대하여 스넬의 법칙을 고려해 보도록 하자.
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위와 같은 서로 다른 매질간의 경계를 생각하자.
만일 단일파장을 갖는 파동(monochromatic wave)이면서 평면파(plane wave)인 파동 입사되었다고 가정하자. 또한 이 빛은 횡파이다.
맥스웰 방정식을 읽고 온 위키러들이라면 빛은 일종의 파동으로 전기장과 자기장의 연속적인 진동으로 이해할 수 있음을 안다.
맥스웰 방정식으로부터 유도되는 파동방정식은
$$ \displaystyle (\nabla ^2 - \mu\epsilon {\partial \over \partial t}^2)(\vec{E}, \vec{B}) = 0$$
의 꼴이고 위의 가정에 의하면 위 식은 다시 $$ \displaystyle (-k^2 + \mu\epsilon \omega^2)(\vec{E}, \vec{B}) = 0$$ 로 쓰이므로
파수벡터의 크기와 진동수 간의 관계는
$$ \displaystyle k = \sqrt{\mu\epsilon}\omega$$
따라서 입사되는 빛은 가정한 조건 하에서 아래의 전기장과 자기장에 대한 식으로 표현된다.
먼저 전기장에 대하여 다음의 식으로 쓸 수있고
$$ \displaystyle \vec{E}(\vec{r}, t) = \vec{E}_{0}e^{i \vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t} $$
자기장에 대한 식은 맥스웰 방정식중 패러데이 법칙 $$ \displaystyle \nabla \times \vec{E} + {\partial \over \partial t} \vec{B} = 0 $$ 로부터$$ \displaystyle i\vec{k} \times \vec{E} - i\omega \vec{B} = 0 $$ 임을 얻고
$$ \displaystyle k\hat{k} \times \vec{E} - \omega \vec{B} = 0 $$ 에서 파수와 진동수 관계식을 넣으면
$$ \displaystyle \vec{B} = \sqrt{\mu\epsilon}\hat{k} \times \vec{E} $$임을 얻는다.
마찬가지로, 입사된 이후에 굴절되는 파동과 반사되는 파동 모두에 대하여
$$ \displaystyle \vec{E}_1(\vec{r}, t) = \vec{E}_{1,0}e^{i \vec{k}_1 \cdot \vec{r} - \omega t} $$
$$ \displaystyle \vec{B}_1 = \sqrt{\mu_1\epsilon_1}\hat{k}_1 \times \vec{E}_1 $$
$$ \displaystyle \vec{E_1'}(\vec{r}, t) = \vec{E_{1,0}'}e^{i \vec{k_1'} \cdot \vec{r} - \omega t} $$
$$ \displaystyle \vec{B_1'} = \sqrt{\mu_1\epsilon_1}\hat{k_1'} \times \vec{E_1'} $$
$$ \displaystyle \vec{E}_2(\vec{r}, t) = \vec{E}_{2,0}e^{i \vec{k}_2 \cdot \vec{r} - \omega t} $$
$$ \displaystyle \vec{B}_2 = \sqrt{\mu_2\epsilon_2}\hat{k}_2 \times \vec{E}_2 $$
이제 경계면을 임의로 $$ z=0 $$인 좌표계를 잡으면 해당 경계면에서 파동은 연속적이어야 한다.
그말인즉슨, 위 식의 전기장과 자기장에서 시간과 공간에 따라 변화하는 항인 $$ e^{i \vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t} $$ 가 z=0일때 모두 같아진다는 뜻이다.
$$ [\vec{k_1} \cdot \vec{r} ]_{z=0} = [\vec{k_1}' \cdot \vec{r} ]_{z=0}=[\vec{k_2} \cdot \vec{r} ]_{z=0} $$
$$ k_1 \sin{\theta_1} = k_1' \sin{\theta_1'} = k_2 \sin{\theta_2} $$
여기서 $$ k_1 = k_1 $$인데 왜냐하면 입사한 파동과 반사된 파동은 같은 매질($$ \mu, \epsilon$$이 서로 같다)에서 진행하고 있고 진동수 $$ \omega$$는 고정이기 때문이다.
또한 $$ \displaystyle k = \sqrt{\mu\epsilon} \omega $$
$$ \displaystyle k c = \sqrt{\mu\epsilon \over \mu_0\epsilon_0} \omega $$
즉,$$ \displaystyle n = {c\over v} = \sqrt{\mu\epsilon \over \mu_0\epsilon_0} = {k c\over \omega} $$
따라서 $$ n_1 \sin{\theta_1} = n_1 \sin{\theta_1'} = n_2 \sin{\theta_2} $$로부터
입사각과 반사각이 항상 같음$$ \theta_1 = \theta_1'$$과
스넬의 법칙 $$ n_1 \sin{\theta_1} = n_2 \sin{\theta_2} $$ 이 유도된다.
3. 응용
사이클로이드가 최단강하곡선이라는 것을 증명할 때 베르누이 요한이 "빛이 밀도가 점점 증가하는 물질의 연속적인 층을 통과할 때 만드는 곡선을 찾아라" 라는 문제로 바꾸어 스넬의 법칙을 응용할 수 있다.
스넬의 법칙을 응용하여 n1>n2 일때, 굴절각을 90도로 설정하고 풀면 전반사가 최초로 일어나는 순간의 각인 임계각을 구할 수 있다.
4. 기타
[1] 네덜란드의 천문학자 스넬리우스의 이름을 따왔다.