사이클로이드

1. 개요

---

cycloid · 擺線[1]
원을 직선 위에서 굴렸을 때, 원 위의 한 정점이 그리는 자취를 말한다.

'''사이클로이드의 정의를 잘 나타내는 그림'''

2. 사이클로이드의 방정식

---

위 그림과 같이 중심이 $$\mathrm{C}$$이고, 반지름 $$r$$인 원을 고려하고, 이 원이 $$x$$축과 접하면서 굴러간다고 생각해보자. 우리는 원 위의 점 $$\mathrm{P}$$가 초기엔 원점에 있었다 가정하고, 원의 중심을 회전축으로 하여 $$\theta$$만큼 회전하여 위 그림처럼 된 경우라고 생각해보자.
유도에 앞서 점 $$\mathrm{H}$$는 점 $$\mathrm{P}$$에서 $$x$$축에 내린 수선의 발, 점 $$\mathrm{I}$$는 점 $$\mathrm{C}$$에서 $$x$$축에 내린 수선의 발, 점 $$\mathrm{K}$$는 점 $$\mathrm{P}$$에서 선분 $$\mathrm{CI}$$에 내린 수선의 발임을 밝히고 간다.
우선 점 $$\mathrm{P}$$의 $$y$$좌표부터 구해보자. 이것은

$$\displaystyle \begin{aligned} y=\overline{\mathrm{CI}}-\overline{\mathrm{CK}}&=r(1-\cos{\theta}) \end{aligned} $$

[1] 파선; 한자어식 표현. 擺는 여기서 진자를 뜻한다.

임을 알 수 있다.
$$x$$좌표는 조금 구하기 까다로우며, $$\overline{\mathrm{OI}}$$가 $$\theta$$ 만큼 회전하면서 원호가 휩쓸고간 길이임을 이해해야 한다. 그렇다면, 구하는 것은

$$\displaystyle \begin{aligned} x=\overline{\mathrm{OI}}-\overline{\mathrm{HI}}&=r(\theta-\sin{\theta}) \end{aligned} $$

으로 구해진다.
따라서 우리는 사이클로이드의 $$\theta$$에 대해 아래와 같은 매개변수 방정식을 얻는다.

$$\displaystyle \begin{aligned} x&=r(\theta-\sin{\theta}) \\ y&=r(1-\cos{\theta}) \qquad (0 \leq \theta \leq 2 \pi) \end{aligned} $$

참고적으로, 매개변수 방정식에서 $$\theta$$를 소거하게 되면, 아래와 같은 복잡한 방정식을 얻는다.

$$\displaystyle \left | 2 \pi \left [ \left ( \frac{1}{2} - \frac{x}{2 \pi r} \right ) - 1 \right ] + \frac{x}{r} \right | = \cos^{-1}{\left (1 - \frac{y}{r} \right )} - \sqrt{\frac{2y}{r} - \frac{y^2}{r^2}}$$

이를 $$xy$$평면상 닫힌 구간 $$[0,\,4\pi r]$$에서 그래프로 나타내면 아래와 같다.

위 그래프에서 확인할 수 있지만, 사이클로이드는 $$x= 2 \pi r$$를 기준으로 주기적이다. 이것은

$$\displaystyle x(\theta+2 n \pi)=x(\theta)+2 n \pi r \qquad \qquad y(\theta)=y(\theta + 2n\pi)$$

가 성립하기 때문이다. $$n$$은 정수이다.

2.1. 접선의 방정식

---

접선의 기울기는 매개변수 방정식의 미분법으로 구할 수 있다. 곧,

$$\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{dy}{d \theta}}{\displaystyle \frac{dx}{d \theta}}=\frac{\sin{\theta}}{1-\cos{\theta}} =\cot{\frac{\theta}{2}} $$ }}}
으로 구할 수 있다. 그런데 우리는

$$\displaystyle \begin{aligned} x&=r(\theta-\sin{\theta}) \\ y&=r(1-\cos{\theta}) \end{aligned} $$

위의 접선의 방정식을 구하는 것이므로

$$\displaystyle y= \cot{\frac{\theta}{2}}[x-r(\theta-\sin{\theta}) ]+r(1-\cos{\theta}) $$

가 접선의 방정식임을 알 수 있다.

2.2. 곡선의 길이

---

우리는 이 문단에서 부터 한 주기($$0 \leq \theta \leq 2 \pi$$)의 곡선의 길이를 구해보고자 한다. 이것은 아래의 적분

$$\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \sqrt{\left( \frac{dx}{d \theta} \right)^{2}+\left( \frac{dy}{d \theta} \right)^{2}}\,d \theta$$

을 함으로써 구할 수 있다.

$$\displaystyle \frac{dx}{d \theta}=r (1-\cos \theta) \qquad \qquad \frac{dy}{d \theta}=r\sin{\theta}$$

따라서

$$\displaystyle \begin{aligned} \sqrt{\left( \frac{dx}{d \theta} \right)^{2}+\left( \frac{dy}{d \theta} \right)^{2}} &=r \sqrt{(1-\cos{\theta})^{2}+\sin^{2}{\theta}} \\&=r \sqrt{2-2\cos{\theta}} \\&=2r \sqrt{\sin^{2}{\frac{\theta}{2} } } \\&=2r \sin{\frac{\theta}{2}} \end{aligned}$$

참고적으로 우리가 근호를 벗길 수 있는 이유는 한 주기($$0 \leq \theta \leq 2 \pi$$)의 곡선의 길이를 구하고 있기 때문이다.
이상에서 구하는 곡선의 길이는

$$\displaystyle 2r \int_{0}^{2\pi} \sin{\frac{\theta}{2}}\,d \theta=8r$$

임을 얻는다.

2.3. 넓이

---

우리는 한 주기의 사이클로이드 곡선과 $$x$$축이 둘러싸는 넓이를 구해보자. 미소 면적은 $$y$$와 $$x$$축 상의 미소 길이 $$dx$$의 곱인

$$\displaystyle dA=y\,dx$$

로 놓을 수 있다.

$$\displaystyle dx=r(1-\cos{\theta})\,d \theta$$

임을 이용하고, 적분 구간은 $$0 \leq \theta \leq 2 \pi$$임을 이용하면,

$$\displaystyle A=r^{2}\int_{0}^{2\pi}(1-\cos{\theta})^{2} \,d \theta=3 \pi r^{2}$$

을 얻는다.

3. 사이클로이드의 변형

---

3.1. 하이포사이클로이드

---

'''하이포사이클로이드(Hypocycloid)'''는 사이클로이드의 변형의 한 종류로서, 사이클로이드가 직선 상 원을 굴렸을 때, 원 위의 한 점의 자취를 나타낸다면, 하이포사이클로이드는 어떤 원보다 작은 반지름의 원이 내접하면서 그 원의 원호 상에서 굴러갈 때, 작은 원 위의 한 점의 자취이다. 아래의 그림이 이 설명을 잘 나타내고 있다.

'''하이포사이클로이드의 정의를 잘 나타내는 그림'''

3.1.1. 곡선의 방정식

---

위 그림과 같이 큰 원의 반지름을 $$R$$, 작은 원의 반지름을 $$r$$이라 하자. 편의 상 점 $$\mathrm{P}$$는 큰 원과 양의 $$x$$에 대하여, $$x$$축과 교점인 곳에 있었다고 하자.(위의 정의 그림 참고.) 선분 $$\mathrm{QK}$$는 $$x$$축과 평행하며, 작은 원의 중심을 $$\mathrm{Q}$$라 하면, $$\overline{\mathrm{OQ}}=\overline{\mathrm{OL}}-\overline{\mathrm{QL}}=R-r$$이므로

$$\displaystyle \begin{aligned} \overline{\mathrm{OI}}&=(R-r)\cos{\theta} \\ \overline{\mathrm{IQ}}&=(R-r)\sin{\theta} \end{aligned}$$

임을 얻을 수 있다. $$\angle \mathrm{KQP} \equiv \varphi $$라 놓자. 그렇다면, 우리가 찾는 점 $$\mathrm{P}$$의 $$x$$좌표와 $$y$$좌표는 각각 $$\overline{\mathrm{OH}}$$, $$\overline{\mathrm{HP}}$$이므로

$$\displaystyle \begin{aligned} x&=\overline{\mathrm{OI}}+\overline{\mathrm{JP}} \\ y&=\overline{\mathrm{IQ}}-\overline{\mathrm{QJ}} \end{aligned}$$

임을 알 수 있다. $$\mathrm{H}$$, $$\mathrm{I}$$는 각각 $$\mathrm{P}$$, $$\mathrm{Q}$$에서 $$x$$축에 내린 수선의 발이고, $$\mathrm{J}$$는 점 $$\mathrm{P}$$에서 선분 $$\mathrm{IQ}$$에 내린 수선의 발이다. 이상의 정보들을 종합하면, 우리가 찾는 점의 각각의 좌표는

$$\displaystyle \begin{aligned} x&=(R-r)\cos{\theta}+r\cos{\varphi} \\ y&=(R-r)\sin{\theta}-r\sin{\varphi} \end{aligned}$$

임을 알 수 있다. 그런데 위 상태에서 작은 원이 큰 원을 휩쓸고간 호의 길이는

$$\displaystyle r(\theta+\varphi)$$

이고, 이것은 곧 $$R \theta$$와 같아야 하므로

$$\displaystyle R \theta=r(\theta+\varphi) \,\to\, \varphi=\frac{R-r}{r}\theta$$

임을 얻는다. 즉, 하이포사이클로이드의 $$\theta$$에 대한 매개변수 방정식은

$$\displaystyle \begin{aligned} x&=(R-r)\cos{\theta}+r\cos{\left( \frac{R-r}{r}\theta \right)} \\ y&=(R-r)\sin{\theta}-r\sin{\left( \frac{R-r}{r}\theta \right)} \end{aligned}$$

$$R/r \equiv k$$라 하면,

$$\displaystyle \begin{aligned} x&=r(k-1)\cos{\theta}+r\cos{[(k-1)\theta]} \\ y&=r(k-1)\sin{\theta}-r\sin{[(k-1)\theta]} \end{aligned}$$

하이포사이클로이드의 모양은 $$k$$의 값[2]에 따라 결정된다. 다음은 몇몇 경우에 대한 하이포사이클로이드를 나타낸 것이다. 참고로 $$k$$가 4인 경우를 아스테로이드(Asteroid)라고 한다.

3.2. 에피사이클로이드

---

'''에피사이클로이드(Epicycloid)'''는 사이클로이드의 변형의 한 종류로서, 사이클로이드가 직선 상 원을 굴렸을 때, 원 위의 한 점의 자취를 나타낸다면, 에피사이클로이드는 어떤 원이 다른 원에 외접하면서 그 원의 원호 상에서 굴러갈 때, 굴러가는 원 위의 한 점의 자취이다. 아래의 그림이 이 설명을 잘 나타내고 있다.

'''에피사이클로이드의 정의를 잘 나타내는 그림'''

3.2.1. 곡선의 방정식

---

위 그림과 같이 반지름 $$R$$의 원과, 그 원에 외접하는 반지름 $$r$$의 원을 고려하자. 편의 상 점 $$\mathrm{P}$$는 반지름 $$R$$의 원과 양의 $$x$$에 대하여, $$x$$축과 교점인 곳에 있었다고 하자.(위의 정의 그림 참고.) 선분 $$\mathrm{QK}$$는 $$x$$축과 평행하며, 작은 원의 중심을 $$\mathrm{Q}$$라 하면, $$\overline{\mathrm{OQ}}=\overline{\mathrm{OL}}+\overline{\mathrm{LQ}}=R+r$$이므로

$$\displaystyle \begin{aligned} \overline{\mathrm{OI}}&=(R+r)\cos{\theta} \\ \overline{\mathrm{IQ}}&=(R+r)\sin{\theta} \end{aligned}$$

[2] $$k$$가 유리수라면, 닫힌 곡선이 되며, $$k$$가 무리수라면 열린 곡선으로, 결국 $$R-2r \leq \rho \leq R$$영역을 가득 메우게 된다. $$\rho$$는 원점으로 부터 임의의 점까지의 거리이다.

임을 얻을 수 있다. $$\angle \mathrm{KQP} \equiv \varphi $$라 놓자. 그렇다면, 우리가 찾는 점 $$\mathrm{P}$$의 $$x$$좌표와 $$y$$좌표는 각각 $$\overline{\mathrm{OH}}$$, $$\overline{\mathrm{HP}}$$이므로

$$\displaystyle \begin{aligned} x&=\overline{\mathrm{OI}}+\overline{\mathrm{JP}} \\ y&=\overline{\mathrm{IQ}}-\overline{\mathrm{QJ}} \end{aligned}$$

임을 알 수 있다. $$\mathrm{H}$$, $$\mathrm{I}$$는 각각 $$\mathrm{P}$$, $$\mathrm{Q}$$에서 $$x$$축에 내린 수선의 발이고, $$\mathrm{J}$$는 점 $$\mathrm{P}$$에서 선분 $$\mathrm{IQ}$$에 내린 수선의 발이다. 이상의 정보들을 종합하면, 우리가 찾는 점의 각각의 좌표는

$$\displaystyle \begin{aligned} x&=(R+r)\cos{\theta}+r\cos{\varphi} \\ y&=(R+r)\sin{\theta}-r\sin{\varphi} \end{aligned}$$

임을 알 수 있다. 그런데 위 상태에서 반지름 $$r$$ 원은 반지름 $$R$$의 원의 원호를 휩쓸고가는 길이는

$$\displaystyle r[\pi-(\theta+\varphi) ]$$

이고, 이것은 곧 $$R \theta$$와 같아야 하므로

$$\displaystyle R \theta=r[\pi-(\theta+\varphi) ] \,\to\, \varphi=\pi-\frac{R+r}{r}\theta$$

임을 얻는다. 즉, 에피사이클로이드의 $$\theta$$에 대한 매개변수 방정식은

$$\displaystyle \begin{aligned} x&=(R+r)\cos{\theta}-r\cos{\left( \frac{R+r}{r}\theta \right)} \\ y&=(R+r)\sin{\theta}-r\sin{\left( \frac{R+r}{r}\theta \right)} \end{aligned}$$

$$R/r \equiv k$$라 하면,

$$\displaystyle \begin{aligned} x&=r(k+1)\cos{\theta}-r\cos{[(k+1)\theta]} \\ y&=r(k+1)\sin{\theta}-r\sin{[(k+1)\theta]} \end{aligned}$$

에피사이클로이드의 모양은 $$k$$의 값[3]에 따라 결정된다. 다음은 몇몇 경우에 대한 에피사이클로이드를 나타낸 것이다.

참고적으로 $$k=1$$일 때는 아래와 같은 에피사이클로이드가 나온다.

바로, 심장형 곡선이라 불리는 '''카디오이드(Cardioid)'''이다.

4. 물리학적 문제

---

5. 관련 문서

---

• 수학 관련 정보
• 곡선
• 매개변수

[3] $$k$$가 유리수라면, 닫힌 곡선이 되며, $$k$$가 무리수라면 열린 곡선으로, 결국 $$R \leq \rho \leq R+2r$$영역을 가득 메우게 된다. $$\rho$$는 원점으로 부터 임의의 점까지의 거리이다.