전자기파

電磁氣波 / Electromagnetic wave
전기장과 자기장이 공간상으로 방사되는 파동을 말한다. 일상에서 흔히 부르는 빛이라는 것은 가시광선 영역의 전자기파를 말하는 것이다.
전자기파는 전기장 혹은 자기장이 시간적으로 변하거나, 전하가 가속 운동을 하는 등의 이유로 발생되며, 특히나 후자의 경우를 '전자기파 방사'라 한다.
전자기파는 영국의 물리학자 제임스 클러크 맥스웰이 맥스웰 방정식을 유도하면서 그 존재를 예측하였고, 그 후 1887년 독일의 물리학자 하인리히 루돌프 헤르츠가 실험으로 그 존재를 밝혀내게 된다.

2. 전자기파의 여러 형태

우선 우리 눈에 보이는 빛인 가시광선도 전자기파 중 일부분이다. 전체 전자기파를 통틀어 보면 그 비중은 매우 작다. 주로 빨주노초파남보로 나누는 경향이 있으며, 빨간색에 가까울수록 파장이 길고(에너지가 낮고), 보라색에 가까울수록 파장이 짧다(에너지가 높다).
보라색보다 파장이 짧으면 자외선이 된다. 파장이 더 짧아지면 X선[1], 파장이 훨씬 더 짧아지면 일반적으로 감마선이라 부른다. 핵폭발과 연관되는 방사선이 바로 감마선. 이쪽은 확실하게 '''파장이 짧아질수록 몸에 해로워진다'''는 걸 알 수 있다.
빨간색보다 파장이 길면 적외선이 된다. 조금 길면 근적외선, 많이 길면 원적외선. 그보다 더 길면 마이크로파부터 시작해서 오만가지 종류의 전파가 된다. 바로 위에서 나오는 전자파도 이쪽 분류 중 하나.
다르게 보면 이것들 모두가 볼 수 있는 범위를 초월하는 빛이다. 혹은, 전체 전자기파 중에서 가시광선에 해당되는 파장은 인간의 눈으로도 감지할 수 있다. 정확히 말하자면, 인간의 눈으로 감지할 수 있는 전자기파를 가시광선이라 부른다. 사실 인간의 눈이 존재하는 이유가 이 범위의 전자기파를 감지하기 위해서이다.
사실 우리의 망막은 자외선 중 가시광선에 가까운 영역을 인지할 수 있다고 한다. 다만 이 영역이 수정체에 흡수되기 때문에 못 보는 것인데, 백내장 수술 도중 수정체를 적출했을 때에는 이 영역의 자외선이 보인다고 한다. 푸르스름한 흰색으로 보인다고. 거기에다 파장별로 색깔이 다르게 보이니 미세한 파장 차이까지도 감지할 수 있다!
지구의 대기는 여러 성분으로 되어 있어 우주로부터 오는 우주선 중 전자기파를 흡수하는데, 파장별로 차단하는 정도가 다르다.[2]
위 그림을 보면 가시광선, 적외선 및 초단파 ~ 극초단파 대역의 전파 정도만이 대기를 통과해서 지상에 도달하는 것을 알 수 있다. 감마선은 성층권에 막히고, 단파 대역 이하의 전파는 전리층에 막힌다.

3. 전자기파 존재의 도출

3.1. 변위 전류의 도입

앙페르 법칙 문서에서 맥스웰은 앙페르 법칙을 다음과 같이 수정했다고 논의했다.

$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H}= \mathbf{J}_{f}+\frac{\partial \mathbf{D} }{\partial t} $$

[1] 즉, 자외선보다 에너지가 높다.[2] 파장에 따른 대기의 영향은 아래 그림과 같다.
[image]

이때, 새롭게 붙은 항의 의미를 알기 위해 각 항에 적분을 취하면,

$$\displaystyle \int_{C} \mathbf{H}\boldsymbol{\cdot} d \mathbf{l}= \int_{S} \mathbf{J}_{f}\boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a}+ \int_{S} \frac{\partial \mathbf{D} }{\partial t} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a} $$

가 된다. 이때, $$S$$는 폐곡면, $$C$$는 $$S$$를 둘러싸는 폐곡선이다. 우변의 제2항은 전류를 나타내고, 합하는 것이므로 우변의 제3항 또한 전류의 차원이 돼야함을 쉽게 예측할 수 있다. 따라서 우변의 제3항

$$\displaystyle \int_{S} \frac{\partial \mathbf{D} }{\partial t} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a} \equiv I_{d} $$

로 정의하고, 이것을 '''변위 전류(Displacement current)'''라 한다.
이 변위 전류를 도입해야만 설명할 수 있는 대표적인 예가 축전기이다. 축전기는 쉽게 말하면, 회로가 끊어진 부분이나, 교류 회로에서는 전류가 흐른다. 따라서 이 변위 전류를 도입하면, 이 현상을 설명할 수 있으며, 계산적으로도 전도 전류와 변위 전류가 같다는 것을 보일 수 있다. 아래의 예제를 참고하자.

3.1.1. 관련 예제

'''[문제]'''

진공에서 면적 $$A$$인 두 금속판이 $$d$$ 만큼 떨어져 있다. 이 두 극판에 전압 $$V(t)=V_{0}\sin{\omega t}$$을 걸었을 때, 전도 전류와 변위 전류를 각각 구하시오.(단, 모서리 효과는 무시한다.)

[풀이 보기]: -
극판에 모이는 전하는

$$ \displaystyle q(t)=\frac{\varepsilon_{0} AV_{0}}{d}\sin{\omega t} $$
이므로 전도 전류는

$$ \displaystyle I_{c}=\frac{dq}{dt}=\frac{\varepsilon_{0} AV_{0} \omega}{d}\cos{\omega t} $$
가 된다. 다음으로 변위 전류를 구하자. 극판 내부의 전기 변위장은 쉽게

$$ \displaystyle D=\frac{\varepsilon_{0} V_{0}}{d}\sin{\omega t} $$
임을 구할 수 있으며, 극판 사이에서 전기 변위 선속은

$$ \displaystyle DA=\frac{\varepsilon_{0} A V_{0}}{d}\sin{\omega t} $$
이므로 변위 전류는 아래와 같이 결정된다.

$$ \displaystyle I_{d}=\frac{d}{dt}(DA)=\frac{\varepsilon_{0} AV_{0} \omega}{d}\cos{\omega t} $$
따라서 $$I_{c}=I_{d}$$인 것을 이 예제에서 확인할 수 있다.

3.2. 수학적 도출

거시적으로 관측되는 전자기장의 방정식은 매질 내에서 아래와 같이 나열할 수 있음을 안다. 자세한 내용은 맥스웰 방정식 문서를 참조하자.

$$\displaystyle \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E}&= \frac{ \rho_{f}}{\varepsilon} \\ \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{B}&=0 \\ \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}&=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\ \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B}&= \mu \mathbf{J}_{f}+\mu \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \end{aligned}$$

이때, 외부 전하 밀도와 전류는 존재하지 않고, 매질 내에 생겨나는 전류는 옴의 법칙에 의해 생성되는 전류 밀도 $$\mathbf{J}_{f}=\sigma_{c} \mathbf{E} $$로만 생성된다고 가정하자. 그렇게 되면 마지막 항을

$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B}= \mu \sigma_{c} \mathbf{E}+\mu \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} $$

로 쓸 수 있다. 먼저,

$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} $$

에 주목하자. $$\mathbf{B}$$를 소거하기 위해 각 항에 회전 연산을 취하면,

$$\displaystyle \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E})&=-\frac{\partial }{\partial t}(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B}) \\ &=-\frac{\partial }{\partial t} \left( \mu \sigma_{c} \mathbf{E}+\mu \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right) \\ &=-\mu \sigma_{c} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}-\mu \varepsilon \frac{\partial^{2} \mathbf{E}}{\partial t^{2}} \end{aligned} $$

이때, 좌변은 벡터 해석학적으로,

$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E})=\boldsymbol{\nabla} (\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E})-\nabla^{2}\mathbf{E} $$

으로 쓸 수 있고, 외부 전하 밀도 $$\rho_{f}=0$$인 상황을 가정하므로 우변의 제1항은 없어진다. 따라서 결과를 종합하면,

$$\displaystyle \nabla^{2}\mathbf{E}=\mu \varepsilon \frac{\partial^{2} \mathbf{E}}{\partial t^{2}}+\mu \sigma_{c} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} $$

가 된다. 다음으로 자기장에 대한 항

$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B}= \mu \sigma_{c} \mathbf{E}+\mu \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} $$

에서 $$\mathbf{E}$$를 소거하기 위해 양변에 회전 연산을 취하자.

$$\displaystyle \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B})&= \mu \sigma_{c} (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E})+\mu \varepsilon \frac{\partial }{\partial t} (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}) \\ &= -\mu \sigma_{c} \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}-\mu \varepsilon \frac{\partial^{2} \mathbf{B}}{\partial t^{2}} \end{aligned} $$

마찬가지로 좌변은

$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B})=\boldsymbol{\nabla} (\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{B})-\nabla^{2}\mathbf{B} $$

으로 쓸 수 있고, 이상의 결과를 종합하면,

$$\displaystyle \nabla^{2}\mathbf{B}=\mu \varepsilon \frac{\partial^{2} \mathbf{B}}{\partial t^{2}}+\mu \sigma_{c} \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} $$

따라서 전기장과 자기장에 대해,

$$ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \nabla^{2}\mathbf{E}=\mu \varepsilon \frac{\partial^{2} \mathbf{E}}{\partial t^{2}}+\mu \sigma_{c} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\\ \\ \displaystyle \nabla^{2}\mathbf{B}=\mu \varepsilon \frac{\partial^{2} \mathbf{B}}{\partial t^{2}}+\mu \sigma_{c} \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\end{array}\right. $$

의 편미분 방정식을 얻는다. 이때, 매질이 전도성 물질이 아니라고 가정($$\sigma_{c}=0$$)하면, 이 편미분 방정식이 기술하는 것은 명확해지고,

$$ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \nabla^{2}\mathbf{E}=\mu \varepsilon \frac{\partial^{2} \mathbf{E}}{\partial t^{2}}\\ \\ \displaystyle \nabla^{2}\mathbf{B}=\mu \varepsilon \frac{\partial^{2} \mathbf{B}}{\partial t^{2}}\end{array}\right. $$

직교 좌표계라 생각하면, 위 방정식은

$$\displaystyle \nabla^{2}V_{i}=\mu \varepsilon \frac{\partial^{2} V_{i}}{\partial t^{2}} \qquad (i=x,\,y,\,z) $$

의 형태가 되고, 이것은 전파 속력이 $$v$$인 명백한 파동 방정식

$$\displaystyle \nabla^{2}f=\frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}} $$

의 형태가 됨을 알 수 있다. '''따라서 전도성 매질 내가 아닌 이상 전기장과 자기장이 공간 상으로 파동 형태로 방사될 수 있음'''을 위에서 유도한 방정식으로 부터 추측할 수 있다. 만약 그것이 사실이라면, 전파 속도는

$$\displaystyle v^{2}=\frac{1}{\mu \varepsilon} \, \rightarrow \, v=\frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}} $$

이고, 특히 이것이 진공이라면,

$$\displaystyle c \equiv \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0} }}=299,792,458\,\textrm{m/s} $$

가 되게 된다. 이때, $$\varepsilon=\kappa_{e} \varepsilon_{0}$$, $$\mu=\kappa_{m} \mu_{0}$$의 감수율 형태로 표현할 수 있고, 매질 내에서의 전파 속도는

$$\displaystyle \begin{aligned} v&=\frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}} \\ &=\frac{1}{\sqrt{\kappa_{e} \kappa_{m} }}\frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0} }} \\ &=\frac{c}{\sqrt{\kappa_{e} \kappa_{m} }} \end{aligned} $$

이때,

$$\displaystyle \frac{c}{v}=\sqrt{\kappa_{e} \kappa_{m}} $$

로 쓸 수 있는데, 전자기파 중에는 빛 또한 포함되고, 광학에서는 좌변을 굴절률이라 칭한다. 따라서 두 감수율은 굴절률과 관계됨을 알 수 있다.

3.3. 평면 전자기파의 방사 형태

윗 문단에서 전기장과 자기장이 공간 상을 파동 형태로 방사될 수 있음을 추측했다. 그러면 자동적으로 그것이 사실이라면, "전자기파는 어떤 형태로 방사되는가?"에 대한 의문이 자동으로 나올 것이다. 이 문단에서는 그 물음을 해결해보자. 윗문단에서 전기장 혹은 자기장이 공간 상으로 방사될 때, 다음과 같은 편미분 방정식으로 기술 된다고 했다.

$$\displaystyle \nabla^{2} \mathbf{V}=\mu \varepsilon \frac{\partial^{2} \mathbf{V}}{\partial t^{2}} $$

위 방정식의 해는 평면파(plane wave)라 하며, 다음과 같이 기술될 수 있다.

$$\displaystyle \mathbf{V}(\mathbf{r},\,t)=\mathbf{V}(\hat{\mathbf{k}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r}-vt) $$

이때, $$\hat{\mathbf{k}}$$는 파의 진행 방향을 나타내는 단위 벡터이다. 이때, 다음과 같이 쓰자.

$$\displaystyle \hat{\mathbf{k}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r}-vt \equiv \xi $$

외부 전하 밀도가 없고, 자기홀극은 존재하지 않으므로 전기장, 자기장은 다음을 만족한다.

$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{V}=0 $$

따라서 이것은,

$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{V}=\sum_{i} \frac{\partial V_{i}}{\partial x_{i}} =\sum_{i} \frac{\partial V_{i}}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial x_{i}} $$

이때,

$$\displaystyle \frac{\partial \xi}{\partial x_{i}}=\frac{\partial }{\partial x_{i}}\sum_{i} ( \hat{k_{i}}x_{i}-vt)=\sum_{i} \hat{k_{i}} $$

따라서

$$\displaystyle \sum_{i} \frac{\partial V_{i}}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial x_{i}}=\sum_{i} \hat{k_{i}} \frac{\partial V_{i}}{\partial \xi} = \frac{\partial}{\partial \xi}(\hat{\mathbf{k}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{V}) $$

이상에서

$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{V}= \frac{\partial}{\partial \xi}(\hat{\mathbf{k}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{V})=0 $$

따라서 일반적인 상황에서

$$\displaystyle \hat{\mathbf{k}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{V}=0 $$

이 돼야 함을 얻는다. 이에 전자기파의 방사 형태가

$$\displaystyle \hat{\mathbf{k}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E}=0 \qquad \qquad \hat{\mathbf{k}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{B}=0 $$

가 됨을 알 수 있고, '''전기장과 자기장은 진행 방향에 각각 수직하게 진동한다는 것'''을 알 수 있다. 이에 추가적으로 진행 방향과 진동 방향이 수직하므로 '''전자기파는 횡파(transverse wave)임'''을 알 수 있다.
위 논의로 전자기파가 횡파인 것까지는 알아내었다. 다만, 전기장과 자기장은 어떤 관계를 갖고 있는 지는 아직 확인할 수 없다. 이 문단에서는 그것을 해결해보자. 우선, 패러데이 법칙

$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} $$

을 이용하자. 좌변을 다음 형태로 쓰면,

$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}=\boldsymbol{\nabla} \times (E_{x}\hat{\mathbf{x}})+\boldsymbol{\nabla} \times (E_{y}\hat{\mathbf{y}})+\boldsymbol{\nabla} \times (E_{z}\hat{\mathbf{z}}) ) $$

각 성분은 다음과 같은 형태로 되어있고, 벡터 해석학을 이용하면,

$$\displaystyle \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla} \times (E_{x_{i}}\hat{\mathbf{x}_{i}} )&=E_{x_{i}} (\boldsymbol{\nabla} \times \hat{\mathbf{x}_{i}})-\hat{\mathbf{x}_{i}} \times (\boldsymbol{\nabla} E_{x_{i}} ) \\ &= (\boldsymbol{\nabla} E_{x_{i}} ) \times \hat{\mathbf{x}_{i}} \end{aligned} $$

로 쓸 수 있다. 이때, 여기서 나온 항

$$\displaystyle \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla} E_{x_{i}}&=\sum_{j} \frac{\partial E_{x_{i} }}{\partial x_{j}} \hat{\mathbf{x}_{j}} \\ &=\sum_{j} \frac{\partial E_{x_{i} }}{\partial \xi} \frac{\partial \xi}{\partial x_{j}} \hat{\mathbf{x}_{j}} \\ &=\sum_{j} \frac{\partial E_{x_{i} }}{\partial \xi} \hat{k_{j}} \hat{\mathbf{x}_{j}} \\ &=\frac{\partial E_{x_{i} }}{\partial \xi} \hat{\mathbf{k}} \end{aligned} $$

으로 쓸 수 있다. 따라서

$$\displaystyle \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}&=\frac{\partial E_{x}}{\partial \xi} (\hat{\mathbf{k}} \times \hat{\mathbf{x}})+\frac{\partial E_{y}}{\partial \xi} (\hat{\mathbf{k}} \times \hat{\mathbf{y}})+\frac{\partial E_{z}}{\partial \xi} (\hat{\mathbf{k}} \times \hat{\mathbf{z}}) \\ &=\frac{\partial }{\partial \xi} (\hat{\mathbf{k}} \times E_{x}\hat{\mathbf{x}})+\frac{\partial}{\partial \xi} (\hat{\mathbf{k}} \times E_{y}\hat{\mathbf{y}})+\frac{\partial}{\partial \xi} (\hat{\mathbf{k}} \times E_{z} \hat{\mathbf{z}}) \\ &=\frac{\partial}{\partial \xi} (\hat{\mathbf{k}} \times \mathbf{E}) \end{aligned} $$

으로 된다. 우변은

$$\displaystyle -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial \xi} \frac{\partial \xi}{\partial t}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial \xi} \frac{\partial }{\partial t}(\hat{\mathbf{k}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r}-vt)=v \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial \xi} $$

가 된다. 이상의 결과를 종합하면,

$$\displaystyle \frac{\partial}{\partial \xi} (\hat{\mathbf{k}} \times \mathbf{E})=v \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial \xi} \, \rightarrow \, \frac{\partial}{\partial \xi} (\hat{\mathbf{k}} \times \mathbf{E}-v\mathbf{B})=0 $$

이것이 일반적인 상황에서 성립하려면,

$$\displaystyle \hat{\mathbf{k}} \times \mathbf{E}=v\mathbf{B} $$

이 성립해야 함을 알 수 있다. 따라서 여기서

$$\displaystyle \left| \mathbf{E} \right|=v\left| \mathbf{B} \right| $$

를 얻을 수 있다. 또한, 앙페르 법칙 [3]

$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B}= \mu \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} $$

[3] 전도성 물질이 아닌 곳을 가정하고 있음에 주의하자.

를 위와 같은 방법으로 하면,

$$\displaystyle \hat{\mathbf{k}} \times \mathbf{B}=-\frac{ \mathbf{E} }{v} $$

임을 쉽게 증명할 수 있다. 이것은 관심있는 위키러들의 몫으로 남겨둔다. 위의 두 결과를 종합하면, 결국

$$\displaystyle \hat{\mathbf{E}} \times \hat{\mathbf{B}}=\hat{\mathbf{k}} $$

로 쓸 수 있고, '''전자기파가 방사될 때, 진행 방향, 자기장, 전기장은 서로 오른손 법칙을 따르게 방사된다는 것'''을 알 수 있다. 아래는 이 내용을 시각화 한 것이다.
[image]
위를 종합하면, 전자기파의 방사 형태를 다음과 같은 4가지 식으로 정리된다는 것을 알 수 있다.

이것을 풀어서 설명하면,

전자기파는 횡파이며, 전기장과 자기장은 진행방향의 수직하는 방향을 각각 이룬다.
전자기파는 진행 방향과 전기장, 자기장은 오른손 법칙을 이루면서 방사된다.

3.4. 평면 전자기파의 수학적 형태

비전도성 물질 내에서 전자기파의 진행에 대한 편미분 방정식은

$$ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \nabla^{2}\mathbf{E}=\mu \varepsilon \frac{\partial^{2} \mathbf{E}}{\partial t^{2}}\\ \\ \displaystyle \nabla^{2}\mathbf{B}=\mu \varepsilon \frac{\partial^{2} \mathbf{B}}{\partial t^{2}}\end{array}\right. $$

임을 위에서 다뤘다. 이것의 해는 알려져 있으며, 단색 파동(monochromatic wave)일 경우 진동수는 하나로 결정되므로 다음과 같이 주어진다.

$$ \displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{r},\,t)=\hat{\mathbf{E}}E e^{i(\mathbf{k} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r}-\omega t)} \qquad \qquad \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t)=\hat{\mathbf{B}}B e^{i(\mathbf{k} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r}-\omega t)} $$

이때, $$\mathbf{k}$$는 파수 벡터로, 방향은 진행방향이고, 크기는 파수 $$k \equiv 2\pi/\lambda$$인 벡터이며, $$\omega \equiv 2\pi f$$의 각진동수이다. 이제 전자기파의 진행 방향을 $$z$$축에 국한시켜보자. 이 경우 $$\mathbf{k}=k \hat{\mathbf{z}}$$가 되고, $$\mathbf{r}=z \hat{\mathbf{z}}$$인 지점을 관측하면,

$$ \displaystyle \mathbf{E}(z,\,t)=\hat{\mathbf{E}} E e^{i(kz-\omega t)} \qquad \qquad \mathbf{B}(z,\,t)=\hat{\mathbf{B}}B e^{i(kz-\omega t)} $$

가 된다. 이때,

$$ \displaystyle \begin{aligned} E\hat{\mathbf{E}}&=\hat{\mathbf{x}}E_{x}e^{i \phi_{x}}+\hat{\mathbf{y}}E_{y}e^{i \phi_{y}} \\ B\hat{\mathbf{B}}&=\hat{\mathbf{x}}B_{x}e^{i \phi_{x}}+\hat{\mathbf{y}}B_{y}e^{i \phi_{y}} \end{aligned} $$

형태로 쓸 수 있다. $$\phi_{i}$$는 위상차이다. 따라서

$$ \displaystyle \begin{aligned} \mathbf{E}(z,\,t)&=\hat{\mathbf{x}}E_{x}e^{i(kz-\omega t +\phi_{x})}+\hat{\mathbf{y}}E_{y}e^{i(kz-\omega t +\phi_{y})} \\ \mathbf{B}(z,\,t)&=\hat{\mathbf{x}}B_{x}e^{i(kz-\omega t +\phi_{x})}+\hat{\mathbf{y}}B_{y}e^{i(kz-\omega t +\phi_{y})} \end{aligned} $$

가 된다. 그런데 물리적인 해석이 가능한 것은 실수부의 파이므로

$$ \displaystyle \begin{aligned} \mathbf{E}(z,\,t)&=\hat{\mathbf{x}}E_{x}\cos{(kz-\omega t +\phi_{x})}+\hat{\mathbf{y}}E_{y}\cos{(kz-\omega t +\phi_{y})} \\ \mathbf{B}(z,\,t)&=\hat{\mathbf{x}}B_{x}\cos{(kz-\omega t +\phi_{x})}+\hat{\mathbf{y}}B_{y}\cos{(kz-\omega t +\phi_{y})} \end{aligned} $$

로 관측된다고 할 수 있다.

4. 전자기파의 발견

1887년, 독일의 물리학자 헤르츠(G. L. Hertz;1857~1894)는 방전관과 공진관을 설치해서 전자기파의 존재를 실험적으로 확인하였다.
[image]
방전관에 매우 큰 전압을 걸면 방전이 일어나면서 전자는 금속구 사이에서 가속한다. 가속하는 전하는 변하는 전기장을 만들고, 이것은 공간 상으로 자기장을 유도한다.[4] 또 변하는 자기장은 전기장을 유도해내면서 공간상에 방사되는 전자기파가 발생하고, 이것은 공진관에 전달되게 된다. 이것을 헤르츠가 검출해냄으로써 처음으로 전자기파의 존재가 드러나게 된다.
또한 헤르츠는 이 전자기파의 반사 및 굴절, 편광, 속력 등을 조사해서 빛의 성질과 일치함을 밝혀냄으로써 전자기파에 빛이 포함된다는 것 또한 증명해내었다.

5. 평면 전자기파의 편광

전자기파의 전기장이 한 평면의 방향으로 정렬하고 있을 때를 '''선형 편광'''되었다고 한다. 이 경우

$$ \displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{r},\,t)=E_{0}\hat{\boldsymbol{\xi}}\, e^{i(\mathbf{k} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r}-\omega t+\phi)}$$

[4] 자세한 것은 전자기파 방사를 참조하자.

와 같이 특정한 방향(위의 예에선 $$\hat{\boldsymbol{\xi}}$$이다.)으로만 향하게 된다.
이번에는 $$z$$축으로 전파되는 전자기파를 고려하자. 위에서

$$ \displaystyle \mathbf{E}(z,\,t)=\hat{\mathbf{x}}E_{x}\cos{(kz-\omega t +\phi_{x})}+\hat{\mathbf{y}}E_{y}\cos{(kz-\omega t +\phi_{y})} $$

로 쓸 수 있음을 논의했다. 이때, 전자기파는 선형 편광된 독립된 두 전자기파가 선형 결합되었다고 해석할 수 있다. 이렇게 선형 결합된 전자기파의 경우 아래의 네 케이스의 편광이 될 수 있다.
'''(ⅰ) 선형 편광 : $$\phi_{y}-\phi_{x}=m\pi \,(m\in \mathbb{Z})$$인 경우'''
주어진 조건을 대입하면,

$$ \displaystyle \mathbf{E}(z,\,t)=\hat{\mathbf{x}}E_{x}\cos{(kz-\omega t +\phi_{x})}+\hat{\mathbf{y}}E_{y}\cos{(kz-\omega t +\phi_{x}+m\pi)} $$

이때, $$m$$ 값에 따라

$$\cos{(kz-\omega t +\phi_{x}+m\pi)}=\pm\cos{(kz-\omega t +\phi_{x})}$$

을 가진다. 따라서 전자기파는

$$ \displaystyle \mathbf{E}(z,\,t)=[\hat{\mathbf{x}}E_{x} \pm \hat{\mathbf{y}}E_{y}]\cos{(kz-\omega t +\phi_{x})} $$

으로 되고, 결론적으로 $$\hat{\mathbf{x}}E_{x} \pm \hat{\mathbf{y}}E_{y}$$의 방향으로 선형 편광되어 있음을 알 수 있다.
'''(ⅱ) 타원 편광 : $$\phi_{y}-\phi_{x}=\pi/2$$이고, $$E_{x} \neq E_{y}$$인 경우'''
조건을 이것을 대입하면,

$$ \displaystyle \mathbf{E}(z,\,t)=\hat{\mathbf{x}}E_{x}\cos{(kz-\omega t +\phi_{x})} \pm \hat{\mathbf{y}}E_{y}\sin{(kz-\omega t +\phi_{x})} $$

로 쓸 수 있다. 이때,

$$ \displaystyle E_{x}\cos{(kz-\omega t +\phi_{x})} \equiv X \qquad \qquad \pm E_{y}\sin{(kz-\omega t +\phi_{y})} \equiv Y $$

이라 쓰고, 이것을 적절히 처리하면,

$$ \displaystyle \frac{X^{2}}{E_{x}^{2}}+\frac{Y^{2}}{E_{y}^{2}}=1 $$

로 쓸 수 있다. 이 방정식은 타원의 방정식이다. 따라서 위에서 주어진 전기장은 진행 방향에 수직한 한 평면에 타원을 생각했을 때, 그 타원 위의 점을 따라 회전하면서 나아간다는 것을 알 수 있다.
'''(ⅲ) 원 편광 : $$\phi_{y}-\phi_{x}=\pi/2$$이고, $$E_{x} = E_{y}$$인 경우'''
이것은 위의 타원 편광의 결과를 이용해서 쉽게 증명할 수 있다. $$E_{x} = E_{y} \equiv E$$라 놓으면,

$$ \displaystyle {X^{2}}+{Y^{2}}=E^{2} $$

가 되므로 전기장은 진행 방향에 수직한 한 평면에 원을 생각했을 때, 그 원 위의 점을 따라 회전하면서 나아간다는 것을 알 수 있다. 이런 편광을 '''원 편광'''이라 한다.
'''(ⅳ) 일반적인 타원 편광 : 그 외의 경우 '''
위의 특수한 상황이 아닐 경우에는 일반적인 타원 편광이 된다. 이것은 타원의 장축이 $$x$$ 혹은 $$y$$ 축과 평행하지 않고, 기울어진 타원을 그리면서 전자기파가 진행하게 된다.
아래는 위에서 다룬 선형 편광과 원 편광을 시각화한 동영상이다.

6. 전도성 물질 내에서 전자기파

이번에는 전자기파가 전도성 물질 내에서 무슨 일이 일어나는지 논의해보자. 이번엔 전도성 물질 내를 고려하므로 전기 전도도 $$\sigma_{c}$$는 무시하지 않는다. 따라서 전도성 물질 내에서 전기장에 대한 방정식은

$$ \displaystyle \nabla^{2}\mathbf{E}-\mu \sigma_{c} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}-\mu \varepsilon \frac{\partial^{2} \mathbf{E}}{\partial t^{2}}=0 $$

으로 주어진다. 단색 평면파를 고려하므로 해당 평면파의 각진동수를 $$\omega$$라 놓으면,

$$ \displaystyle \mathbf{E} = \mathbf{E}(\mathbf{r})\,e^{-i \omega t} $$

로 쓸 수 있다. 따라서 이것을 방정식에 대입하면,

$$ \displaystyle \nabla^{2}\mathbf{E}+i \omega \mu \sigma_{c} \mathbf{E}+ \omega^{2} \mu \varepsilon \mathbf{E}=0 $$

이때, 다음을 이용하자.

$$ \displaystyle \begin{aligned} \sqrt{\kappa_{e} \kappa_{m}} & \equiv n_{0} \\ \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0} }} & \equiv c \\ \varepsilon &= \kappa_{e} \varepsilon_{0} \\ \mu &= \kappa_{m} \mu_{0} \end{aligned} $$

특히 $$n_{0}$$는 비전도성 물질 내에서의 굴절률이라고 명시했다. 따라서 위의 방정식은

$$ \displaystyle \nabla^{2}\mathbf{E}+\frac{\omega^{2} n_{0}^{2}}{c^{2}} \left( 1+i \frac{\sigma_{c}}{\omega \varepsilon} \right) \mathbf{E}=0 $$

문제를 간단히하기 위해서 전자기파의 진행 방향은 $$z$$축 방향이라 가정하자. 평면파를 다루므로 전기장은 $$z$$에만 의존한다. 따라서 방정식은

$$ \displaystyle \frac{d^{2} \mathbf{E}}{dz^{2}}+\frac{\omega^{2} n_{0}^{2}}{c^{2}} \left( 1+i \frac{\sigma_{c}}{\omega \varepsilon} \right) \mathbf{E}=0 $$

이 된다. 이때,

$$ \displaystyle \tilde{n}^{2} \equiv n_{0}^{2} \left( 1+i \frac{\sigma_{c}}{\omega \varepsilon} \right) $$

로 정의하자. tilde(~)는 복소수를 의미하는 것에서 붙였다. 또한, 이것은

$$ \displaystyle \tilde{n} = n_{0} \left( 1+i \frac{\sigma_{c}}{\omega \varepsilon} \right)^{1/2} $$

형태로도 쓸 수 있는데, 굴절률과 관계되는 항이긴 하지만, 복소수로 주어진다. 따라서 이런 것을 '''복소 굴절률'''이라 하며, 의미는 후술하도록 하겠다. 따라서 해당 방정식은

$$ \displaystyle \frac{d^{2} \mathbf{E}}{dz^{2}}+\frac{\omega^{2} \tilde{n}^{2}}{c^{2}} \mathbf{E}=0 $$

으로 정리된다. 만약, 전도도가 0이라면, $$\tilde{n} = n_{0}$$가 되고, 이 방정식의 해는

$$ \displaystyle \mathbf{E} \propto \exp{\left( i \, \frac{\omega n_{0}}{c}\,z \right)} $$

형태로 주어진다. 이때, $$n_{0}$$는 굴절률이므로 $${\omega n_{0}}/{c}$$는 파수 $$k \equiv 2 \pi/ \lambda$$임을 쉽게 증명할 수 있다. 따라서 이 경우의 공간 상의 해는

$$ \displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{r}) \propto e^{ikz} $$

형태로 주어지나, $$\tilde{n}$$는 복소수이므로 파수 또한, 복소수로 나타날 것이며, 복소 파수 $$\tilde{k}$$라 놓으면,

$$ \displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{r}) \propto e^{i \tilde{k}z} $$

으로 해가 나올 것이다. 이것을 방정식에 대입하면, 곧,

$$ \displaystyle \tilde{k}^{2}=\frac{\omega^{2} \tilde{n}^{2}}{c^{2}} $$

임을 알 수 있고, 이에

$$ \displaystyle \begin{aligned} \tilde{k}^{2} &= \frac{\omega^{2} n_{0}^{2}}{c^{2}} \left( 1+i \frac{\sigma_{c}}{\omega \varepsilon} \right) \\ \tilde{k} &= \frac{\omega n_{0}}{c} \left( 1+i \frac{\sigma_{c}}{\omega \varepsilon} \right)^{1/2} \end{aligned} $$

임을 알 수 있다. 이것을 다시 표기 하면,

$$ \displaystyle \tilde{k}^{2} = \frac{\omega^{2} n_{0}^{2}}{c^{2}} \left( 1+\frac{\sigma_{c}^{2}}{\varepsilon^{2} \omega^{2}} \right)^{1/2}e^{i \phi} \qquad \qquad \phi=\tan^{-1}{\left( \frac{\sigma_{c}}{\varepsilon \omega} \right)} $$

형태로 나타낼 수 있다. 이상에서

$$ \displaystyle \begin{aligned} \tilde{k}&= \frac{\omega n_{0}}{c} \left( 1+\frac{\sigma_{c}^{2}}{\varepsilon^{2} \omega^{2}} \right)^{1/4}e^{i \phi/2} \\ &=\frac{\omega n_{0}}{c} \left( 1+\frac{\sigma_{c}^{2}}{\varepsilon^{2} \omega^{2}} \right)^{1/4} \left[ \cos{\left( \frac{\phi}{2} \right)}+i\sin{\left( \frac{\phi}{2} \right)} \right] \end{aligned} $$

복소 굴절률이

$$ \displaystyle \tilde{n} =n+ik $$

의 형태로 나눠진다고 하자. 그렇게 되면, 복소 파수는

$$ \displaystyle \tilde{k} =\frac{\omega}{c}n+i\frac{\omega}{c}k$$

가 되고, 위에서 $$ \phi= \tan^{-1}{\left( {\sigma_{c}}/{\varepsilon \omega} \right)} $$임을 이용하면,

$$ \displaystyle \begin{aligned} n&=\frac{n_{0}}{\sqrt{2}} \left[ \left( 1+\frac{\sigma_{c}^{2}}{\varepsilon^{2} \omega^{2}} \right)^{1/2} +1 \right]^{1/2} \\ k &= \frac{n_{0}}{\sqrt{2}} \left[ \left( 1+\frac{\sigma_{c}^{2}}{\varepsilon^{2} \omega^{2}} \right)^{1/2} -1 \right]^{1/2} \end{aligned} $$

으로 쓸 수 있다. 따라서 맨 위에서의 방정식의 해는

$$ \displaystyle \mathbf{E}=\mathbf{E_{0}} \exp{\left( -\frac{\omega k}{c} z \right)} \exp{\left[ -i \omega \left( t-\frac{n}{c} z \right) \right]} $$

가 된다. 비전도성 매질에서와 비교하면 감쇠항

$$ \displaystyle \exp{\left( -\frac{\omega k}{c} z \right)} $$

이 붙었음을 알 수 있다. 이에 일반적으로 복소 굴절률의 $$n$$을 굴절률로 해석하고, $$k$$는 매질 내에서 파의 감쇠와 관련된 것으로 해석한다. 이때,

$$ \displaystyle z=\frac{c}{\omega k} $$

이면 전기장은 매질에 입사한 직후의 $$e^{-1}$$로 줄어든다. 이것을

$$ \displaystyle \delta \equiv \frac{c}{\omega k} $$

로 정의하고, '''침투 깊이(skin depth)'''[5]라 한다. 이 물리량은 '전자기파가 전도성 매질 내를 얼마나 잘 투과하는 가'를 나타낸다. 전기 전도도가 높은 알루미늄의 경우 $$10^{6}\,\textrm{Hz}$$의 파가 투과할 때, 근사적으로 $$8 \times 10^{-5}\, \textrm{m}$$가 나오는데, '''전자기파는 전기 전도도가 높은 전도성 물질 즉, 금속 내에서 급격히 감쇠한다는 것'''을 보여준다.[6]
문제를 간단히 하기 위해 이제부터는 전기장이 $$x$$축의 방향으로 선형 편광되었다고 가정하자. 그렇게 되면, 전도성 매질 내에서 전기장은

$$ \displaystyle \mathbf{E}=\hat{\mathbf{x}} E_{0} e^{i (\tilde{k} z-\omega t)} $$

[5] '표면 깊이'라고도 번역되나, 여기서는 한국물리학회의 변역명을 따랐다.[6] 물론 감마선같은 고에너지의 전자기파는 두꺼운 콘크리트도 투과할 만큼 침투 깊이가 크다.

가 된다. 평면파를 기술하고 있으므로 자기장 또한,

$$ \displaystyle \mathbf{B} = \mathbf{B}(\mathbf{r})\,e^{-i \omega t} $$

형태가 될 것이다. 이때, 패러데이 법칙

$$ \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} $$

을 사용하면,

$$ \displaystyle i \tilde{k} \hat{\mathbf{z}} \times \mathbf{E}=i \omega \mathbf{B} $$

이 되므로 전도성 물질 내에서 자기장은

$$ \displaystyle \begin{aligned} \mathbf{B}&=\hat{\mathbf{y}} \frac{E_{0}}{\omega} \tilde{k} \exp{\left( -\frac{\omega k}{c} z \right)} \exp{\left[ -i \omega \left( t-\frac{n}{c} z \right) \right]} \\ &=\hat{\mathbf{y}} \frac{E_{0} n_{0}}{c} \left( 1+\frac{\sigma_{c}^{2}}{\varepsilon^{2} \omega^{2}} \right)^{1/4} \exp{\left( i\frac{\phi}{2} \right)} \exp{\left( -\frac{\omega k}{c} z \right)} \exp{\left[ -i \omega \left( t-\frac{n}{c} z \right) \right]} \end{aligned} $$

으로, 전기장과 위상차 $$\phi/2$$가 나면서 진행한다는 사실을 알 수 있다. 비전도성 물질에서는 전기장과 자기장이 위상차 없이 진행되는 것[7][8]과 대비된다.

6.1. 좋은 도체(Good Conductor)

일반적으로 전기 전도도가 굉장히 높다고 취급하는 도체 이를테면, 철이나 알루미늄 등은 기본적으로 다음과 같은 성질을 만족한다.

$$ \displaystyle \kappa_{m} \simeq 1 \qquad \qquad \frac{\sigma_{c}}{\varepsilon \omega} \gg 1 $$

[7] 전기 전도도를 0으로 잡으면, 쉽게 증명할 수 있다. 이것은 관심있는 위키러들의 몫으로 남겨둔다.[8] 단일 파를 다루고 있다는 것에 주의하자. 적절하게 선형 편광된 두 전자기파를 중첩하면, 진공에서도 전기장과 자기장에 위상차가 존재하면서 방사될 수 있다.

따라서 금속 내의 파수는

$$ \displaystyle \begin{aligned} \tilde{k}&= \frac{\omega n_{0}}{c} \left( 1+\frac{\sigma_{c}^{2}}{\varepsilon^{2} \omega^{2}} \right)^{1/4}e^{i \phi/2} \\ & \simeq \frac{\omega n_{0}}{c} \sqrt{\frac{\sigma_{c}}{\varepsilon \omega}} e^{i \phi/2} \end{aligned} $$

가 된다. 그런데, $$\phi \rightarrow \pi/2$$이고, $$n_{0}\equiv \sqrt{\kappa_{e} \kappa_{m}} \simeq \sqrt{\kappa_{e}} $$이므로 위 식은 아래와 같이 쓸 수 있다.

$$ \displaystyle \begin{aligned} \tilde{k}&= \frac{\omega }{c} \sqrt{\frac{\sigma_{c}}{\varepsilon_{0} \omega}} e^{i \pi/4} \\ &= \frac{\omega }{c} \left[ \sqrt{\frac{\sigma_{c}}{2\varepsilon_{0} \omega}}+i \sqrt{\frac{\sigma_{c}}{2\varepsilon_{0} \omega}}\,\right] \end{aligned} $$

따라서 이러한 좋은 도체에서

$$\displaystyle n=k= \sqrt{\frac{\sigma_{c}}{2\varepsilon_{0} \omega}} $$

임을 알 수 있다. 또한, 이러한 좋은 도체에서 침투 깊이는

$$ \displaystyle \begin{aligned} \delta &\equiv \frac{c}{\omega k} \\ &=\frac{c}{\omega} \sqrt{\frac{\varepsilon _{0} \omega}{\sigma_{c} }} \\&=\sqrt{\frac{2}{\mu_{0}\sigma_{c}\omega}} \end{aligned} $$

임을 알 수 있다. 여기서 주목해야 할 점은 도체 내부의 자기장은

$$ \displaystyle i \tilde{k} \hat{\mathbf{z}} \times \mathbf{E}=i \omega \mathbf{B} $$

으로 주어지는데, 파수에서 위상과 관련된 인자 $$e^{i \pi/4}$$가 곱해지기 때문에 '''전도도가 높은 좋은 도체 내에서는 전기장과 자기장의 위상차가 $$\pi/4$$만큼 나면서 전파된다는 사실을 알 수 있다.'''

7. 포인팅 벡터

8. 전자기학의 경계치 문제

아래의 문서는 전자기파가 서로 다른 매질의 경계면에서 반사, 굴절, 투과의 성질과 전파 공간에 제약을 줬을 때 어떻게 방사되는 지 알 수 있다.

9. 전자기파 방사

아래의 문서는 전자기파가 어떤 양상으로 방사되는 지 알 수 있다.

10. 전자기파의 에너지

본래 전자기파의 에너지는 연속적이라 예측되었으나, 그것에 모순이 일어난 실험이 바로, 양자역학의 태동을 알린 '흑체복사' 실험에서 부터였다. 빛의 에너지를 연속적이라 가정하고, 문제를 풀면, 자외선 파탄이 발생하였고, 플랑크가 했던 것 처럼, 전자기파의 에너지가 양자화되어있다고, 가정하면 흑체복사 스펙트럼을 설명할 수 있었다.
이후, 아인슈타인이 광전효과를 설명하면서, 전자기파가 파동이 아닌 에너지가 밀집된 입자 즉, 광자의 흐름으로 보아야 한다고 주장하였고, 그렇게 함으로써 광전효과는 설명될 수 있었다. 이때, 아인슈타인이 주장했던 진동수가 $$\nu$$인 전자기파의 에너지는

$$\displaystyle E=h \nu $$

이었다. $$h$$는 플랑크 상수이다.
물론, 본 문서에서는 지금 전자기학 관점에서 전자기파를 다루고 있기 때문에 더욱 더 자세하게는 서술하지 않을 것이다. 그러나 빛은 과학적으로 파동성과 입자성 즉, 이중성을 띄고, 이 둘의 관점은 상호보완적인 관계를 갖고 있기 때문에 이 사실 또한 알고 있어야 한다. 이와 관련된 자세한 내용은 현대 물리학 책을 참조해보는 것을 권한다.