에르미트 내적
Hermitian inner product
1. 개요 및 정의
프랑스의 수학자 샤를 에르미트(Charles Hermite)가 복소 벡터공간에서 정의내린 특수한 내적을 의미한다. 원래 복소공간은 벡터공간의 성질을 그대로 유지하고 있기 때문에, 벡터합과 스칼라곱이 정의되지만, 자기 자신을 내적할 때 실수가 나와야 한다는 전제조건을 만족시키는 연산이 존재하지 않는다. 이걸 보완하기 위해 sesquilinear form[1]을 도입해서 새롭게 만들어진 연산이 바로 에르미트 내적이다.
즉 에르미트 내적은 다음의 5가지 조건을 만족하는 함수 $$\left< - , - \right> : V \times V \rightarrow \mathbb{C}$$로 정의된다.
- $$\left
- $$\left
- $$\left<\alpha u, \beta v\right>=\alpha\displaystyle{\overline{\beta}}\left
- $$\left
- $$\left
참고로 위의 정의는 왼쪽 변수에 대해 선형이고 오른쪽 변수에 대해 켤레 선형(conjugate linear)적인데, 반대로 정의할 수도 있다. 수학에서는 반반이고, 물리학에서는 거의 무조건 오른쪽 변수에 대해 선형인 관습을 취한다.
한편, 이를 폴 디랙이 이를 약간 변형시키기도 했는데 디랙 표기법이라고 한다.
2. 예시
기본적인 예시로는 $$\mathbb{C}^{n}$$상에서 $$\left<z, w\right>=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n} z_{i}\overline{w_{i}}}$$($$z=\left(z_1, z_2, ..., z_n\right), w=\left(w_1, w_2, ..., w_n\right)$$)으로 정의하는 내적이 있다. 마치 유클리드 공간의 기본 내적(standard inner product) 정도의 지위를 갖고 있는 녀석이다.
유클리드 공간에도 다른 내적이 있듯이 $$\mathbb{C}^n$$ 위에서도 다른 내적이 있고, 이들은 모두 에르미트 행렬 (즉 $$ A^{*} = A$$)에 대해 $$ \left<z,w\right> = \bar{w}^t A z$$의 꼴로 유일하게 나타낼 수 있다. 물론 저렇게만 쓰면 에르미트 형식이고, $$A$$의 고윳값이 모두 0보다 큰 양의 정부호성(positive definiteness)을 만족해야 내적이 될 수 있다.
공간 위의 함수에 대해 $$\left<f,g\right> = \int f(x) \overline{g(x)} dx$$을 $$L^2$$ 내적이라 부르고, 이 $$L^2$$ 내적이 유한한 함수들의 벡터공간을 $$L^2$$ 공간이라 부른다.
3. 힐베르트 공간
에르미트 내적을 갖고 있고, 이 에르미트 내적으로 정의된 거리에 대해 완비성(completeness)을 가진 (즉 임의의 코시수열이 수렴하는) 공간을 '''힐베르트 공간'''(Hilbert space)이라 부른다. 모든 유한차원의 에르미트 내적공간과 $$L^2$$ 공간 모두 힐베르트 공간이지만, 모든 에르미트 내적공간이 완비성을 지닌 것은 아니다. 다만 완비화(completion)의 과정을 통해 힐베르트 공간으로 만들어줄 수는 있다.