에어리 함수

우선 한 미분방정식

$$\displaystyle \frac{{\rm d}^2y}{{\rm d}x^2}-xy=0 $$

을 고려하자. 이 방정식의 해 $$y$$는 두 선형독립의 해 $$\mathrm{Ai}(x)$$, $$\mathrm{Bi}(x)$$의 선형 결합으로 쓸 수 있는데, 이 때 두 선형독립의 해를 '''에어리 함수(Airy function)'''라 한다. 이 때 각각은 아래와 같이 나타낼 수 있다.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\mathrm{Ai}(x) &= \frac1{\pi} \int_0^{\infty} \cos \biggl( \frac{t^3}3 +tx \biggr) {\rm d}t \\
\mathrm{Bi}(x) &= \frac1{\pi} \int_0^{\infty} \biggl( \exp \biggl( -\frac{t^3}{3} +tx \biggr) + \sin \biggl( \frac{t^3}3 +tx \biggr) \!\biggr) {\rm d}t \end{aligned} )]

여기서 $$\exp{x} = e^{x}$$이다.
다음은 에어리 함수의 개형을 나타낸 것이다.

에어리 함수는 아래와 같은 특징이 있다.

• $$\mathbf{Ai}\boldsymbol{(x)}$$
  • 이 함수의 경우 0이 아닌 함숫값[1]이 대부분 $$x<0$$ 영역에 쏠려 있다는 특징이 있다.
  • $$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \mathrm{Ai}(x)=0$$이다.
  • $$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \mathrm{Ai}(x)=0$$이다.
  • $$y$$절편은 $$\displaystyle \frac1{2\sqrt[6]3\pi} \Gamma\biggl(\frac13\biggr)$$이다.[A]
• $$\mathbf{Bi}\boldsymbol{(x)}$$
  • $$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \mathrm{Bi}(x)=\infty$$이다.
  • $$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \mathrm{Bi}(x)=0$$이다.
  • $$y$$절편은 $$\displaystyle \frac{\sqrt[3]3}{2\pi} \Gamma\biggl(\frac13\biggr)$$이다.[A]
• 두 함수 모두 $$x<0$$ 영역에서는 진동하는 경향이 있다.

[1] 사실 $$x >0$$ 영역에서도 0에 매우 근접할 뿐이지 0은 아니다.

[A] A B $$\Gamma$$는 감마 함수이다.