오심과 관련된 정리
1. 개요
오심#s-1과 관련된 여러 정리들과 더불어 올림피아드에 나오는 정리들을 기재하는 문서이다.
모든 정리의 기호는 삼각형 $$\triangle ABC$$의 외심 $$O$$, 내심 $$I$$, 무게중심 $$G$$, 수심#s-2 $$H$$, 방심 $$I_{A}$$를 따른다.
$$a=\overline{BC}$$, $$b=\overline{CA}$$, $$c=\overline{AB}$$으로 두고, $$S$$, $$r$$, $$R$$, $$r_{A}$$, $$s$$를 각각 도형의 면적, 내접원의 반지름, 외접원의 반지름, 방접원 $$I_{A}$$의 반지름, 삼각형의 둘레의 반($$={1 \over 2}(a+b+c)$$)이라 하자.
2. 기본적인 정리
- 세르보어 정리
$$O$$에서 변 $$\overline{BC}$$에 내린 수선의 발을 $$M$$라 할 때, $$\overline{AH}=2\overline{OM}$$이다. 증명은 외심 참고. - 등각켤레
$$\angle BAO=\angle CAH$$ - 수선의 발과 공원점
$$A$$, $$B$$에서 변 $$\overline{BC}$$, $$\overline{CA}$$에 내린 수선의 발을 각각 $$D$$, $$E$$라 할 때, $$\left(A,B,D,E\right)$$와 $$\left(C,E,H,D\right)$$는 공원점이다. - 각각 점 $$A$$, $$B$$, $$C$$를 지나고, 한 점에서 만나는 세 직선을 그리자. 이 직선들의 교점을 $$X$$라 하자. $$X$$에서 각 변에 내린 수선의 발을 $$D$$, $$E$$, $$F$$라 할 때, $$\overline{XD}+\overline{XE}+\overline{XF}$$가 최소인 점 $$X$$는 $$H$$다.
- $$\triangle ABC$$의 수족 삼각형의 내심은 $$H$$다.
- $$A$$, $$I$$, $$I_{A}$$는 한 직선 위에 있다.
- $$\triangle ABC$$의 방심들이 이루는 삼각형의 수심은 $$I$$다. (삼각형의 내심과 방심은 수심조이다.)
- ($$A$$, $$B$$, $$I_{A}$$, $$I_{B}$$)는 한 원 위에 있다.
- 맨션 정리
삼각형 $$\triangle ABC$$의 외접원 $$K$$와 반직선 $$\overline{AI}$$의 교점을 $$D$$라 하자. 이 때 $$\overline{DB}=\overline{DC}=\overline{DI}=\overline{D{I_{A}}}$$다. - 반직선 $$\overrightarrow{AI}$$와 변 $$\overline{BC}$$의 교점을 $$K$$라 하면, $$\overline{AI}/\overline{KI}=\left(b+c\right)/a$$이다.
- 삼각형 내부의 점 $$P$$에서 $$\overline{BC}$$, $$\overline{CA}$$, $$\overline{AB}$$에 내린 수선의 발을 각각 $$D$$, $$E$$, $$F$$라 하면 $$\overline{BC}/\overline{PD} + \overline{CA}/\overline{PE}+\overline{AB}/\overline{PF}$$의 값이 최소인 점 $$P$$는 $$I$$이다.
- $$S=\displaystyle {abc \over 4R}=2R^2 \sin A \sin B \sin C={a^2 \sin B \sin C \over 2 \sin A}$$ (사인법칙의 활용)
- $$S=\displaystyle {1 \over 2} (a+b+c)r =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$
- 삼각형 내부의 점 $$P$$에서 $$\overline{BC}$$, $$\overline{CA}$$, $$\overline{AB}$$에 내린 수선의 발을 각각 $$D$$, $$E$$, $$F$$라 하면, $$\overline{PD}\cdot\overline{PE}\cdot\overline{PF}$$가 최댓값인 점 $$P$$는 $$G$$이다.
- 이 때 $$S\left(\triangle ABC\right)=r_{A}\left(b+c-a\right)/2$$
- $$\overline{OI}^2=R^2-2Rr$$(오일러 삼각형 정리)
3. 보통 정리
- 라이프니츠 정리
$$P$$가 삼각형 $$ABC$$와 같은 평면 위의 임의의 한 점일 때, 다음 정리가 성립한다.- $$\overline{AP}^2 + \overline{BP}^2 + \overline{CP}^2 = \overline{AG}^2 + \overline{BG}^2 + \overline{CG}^2 + 3\overline{PG}^2$$
- $$\overline{GA}^2 + \overline{GB}^2 + \overline{GC}^2 = \left(\overline{AB}^2 + \overline{BC}^2 + \overline{CA}^2\right)/3$$
- 오일러 직선
$$O$$, $$G$$, 구점원의 중심 $$V$$, $$H$$가 공선점(일직선)이다.
$$\overline{OG} : \overline{GV} : \overline{VH} = 2 : 1 : 3$$이다. - 삼각형의 면적은 방심 삼각형과 내접원의 접점 삼각형 면적의 등비중항이다.
- 삼각형의 방심 삼각형과 내접원의 접점 삼각형의 오일러 직선이 일치한다.
- 삼각형 $$\triangle ABC$$의 임의의 점 $$P$$에서 내린 수선의 발을 각각 $$D$$, $$E$$, $$F$$라 할 때, $$S\left(\triangle DEF\right)/S\left(\triangle ABC\right) =\frac{\left|R^2 - OI^2\right|}{4R^{2}}$$이다.
- 그밖에도 나겔 정리, 제르곤 정리, 페르마 포인트 관련 문제 등이 있다.
4. 심화 정리
- 포이어바흐 정리
구점원은 삼각형의 내접원, 세 방접원과 접한다. (증명은 반전기하(inversion)을 사용한다.) - Mixtilinear Circle
- 삼각형 $$\triangle ABC$$의 외접원과 두 변 $$\overline{AB}$$, $$\overline{AC}$$와 접하는 원 $$Q$$를 잡자. $$Q$$와 $$\overline{AB}$$, $$\overline{AC}$$의 교점을 각각 $$M$$, $$N$$이라 하면, $$\overline{MN}$$의 중점은 $$I$$이다.
- 오심을 지나는 직선이 두 선분을 자르는 비율과 관련된 정리
주어진 $$\triangle ABC$$와 오심 중 하나인 점 $$P$$가 있다. 이 때, 임의의 $$P$$를 지나고, 반직선 $$AB$$, 반직선 $$AC$$와 둘 다 만나는 직선이 반직선 $$AB$$, $$AC$$와 만나는 점을 각각 $$M$$, $$N$$이라 할 때, $$\overline{AM}$$의 길이와 $$\overline{AN}$$의 길이의 관계식은 다음과 같다.- $$P$$가 내심일 때: $$\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AM}} \cdot \sin B + \dfrac{\overline{AC}}{\overline{AN}} \cdot \sin C = \sin A + \sin B + \sin C$$.
- $$P$$가 외심일 때: $$\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AM}} \cdot \sin 2B + \dfrac{\overline{AC}}{\overline{AN}} \cdot \sin 2C = \sin 2A + \sin 2B + \sin 2C$$.
- $$P$$가 수심일 때: $$\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AM}} \cdot \tan B + \dfrac{\overline{AC}}{\overline{AN}} \cdot \tan C = \tan A + \tan B + \tan C$$.
- $$P$$가 직선 $$BC$$에 대하여 점 $$A$$와 다른 방향에 있는 방심일 때: $$\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AM}} \cdot \sin B + \dfrac{\overline{AC}}{\overline{AN}} \cdot \sin C = -\sin A + \sin B + \sin C$$.
- $$P$$가 무게중심일 때: $$\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AM}} + \dfrac{\overline{AC}}{\overline{AN}} = 3$$.
- 그 밖에 올림피아드에 쓰이는 정리들에는 미쿠엘 포인트[1], Pole & Polar (극, 극선), 근축 & 근심[2], isogonal line - conjugate & Symmedian(대칭중선), 메넬라우스 & 체바 응용, 파푸스 정리[3], 파스칼 정리, 브리앙숀 정리, 데자르그 정리, Monge's Theorem 등이 있다. 특히 비조화비에 관련된 것으로는 조화점열(Harmonic point), 조화사각형, 아폴로니우스의 원이 있다.