구점원
1. 개요
nine point circle · 九點圓
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삼각형에서 세 변의 중점(그림에서 청색 점), 세 수선의 발(그림에서 녹색 점), 세 꼭짓점과 수심의 중심(그림에서 황색 점)은 모두 한 원 위의 점인데, 점이 모두 '''아홉 개'''이기 때문에 이 원을 '''구점원'''이라 한다.
2. 오일러 직선
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삼각형의 외심(그림에서 녹색 점)을 O, 무게중심(그림에서 하늘색 점)을 G, 구점원의 중심(그림에서 밝은 주황색 점)을 N, 수심(그림에서 백색 점)을 H라고 할 때, 이 네 점은 항상 한 직선 위에 위치하며, 이 직선을 '''오일러 직선'''(그림에서 보라색 직선)이라 한다. 구체적으로, OG:GN:NH=2:1:3이다.
한편 정삼각형에서는 네 점이 모두 일치하므로, 오일러 직선을 하나로 결정할 수 없다. 하지만 일치하는 점 역시 '''"한 직선 위에 있다"'''라고는 이야기할 수 있다.
참고로 그림에서 왼쪽 변과 구점원이 접하는 것처럼 보이나, 크게 확대해 보면 실제로는 아래 그림과 같이 두 점에서 만나고 있다.
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3. 성질
- 구점원은 내접원과 접하며, 세 방접원과도 모두 접한다. 이를 포이어바흐 정리라고 한다.
- 구점원은 삼각형의 세 변의 중점을 지나므로 중점삼각형의 외접원이다.
- 따라서 구점원의 반지름은 본래 삼각형의 외접원의 반지름의 절반이다.
- 정삼각형에서는 외심, 무게중심, 구점원의 중심, 수심이 모두 일치하며, 내심까지 일치한다.
- 정삼각형의 구점원은 내접원과 같다.