오일러 삼각형 정리

1. 개요

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Euler's triangle theorem
1765년 레온하르트 오일러(Leonhard Euler, 1707-1783)가 발견한 삼각형의 외심과 내심 혹은 외심과 방심 사이의 거리에 관한 공식이다.
한 삼각형의 외접원, 내접원, 방접원의 반지름을 각각 $$R$$, $$r$$, $$r'$$이라 하면, 다음이 성립한다.

• 외심과 내심 사이의 거리: $$\sqrt{R^{2}-2Rr}$$
• 외심과 방심 사이의 거리: $$\sqrt{R^{2}+2Rr'}$$

이 정리 자체가 직접적으로 쓰이는 경우는 생각보다 많지 않으나, 증명 과정의 다양한 이론들이 삼각형과 원이 나오는 기하 문제에서 제법 많이 다루어지는 것들이라 보통 한번쯤 배우고 넘어간다.

2. 보조 정리: 맨션 정리

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그림과 같이 삼각형 $$\rm ABC$$의 외심 $$\rm O$$, 내심 $$\rm I$$이고, 직선 $$\rm BI$$가 외접원과 만나는 점을 $$\rm R$$이라고 하자.
내심의 성질에 의하여 $$\angle {\rm ABI}=\angle {\rm CBI}=x$$, $$\angle {\rm BAI}=\angle {\rm CAI}=y$$, $$\angle {\rm BCI}=\angle {\rm ACI}=z$$라 놓을 수 있다. $$\angle{\rm CIR}$$은 $$\angle{\rm BIC}$$의 외각이므로 $$x+z$$, $$\angle{\rm ABR}=\angle{\rm ACR}=x$$(호 $$\rm AR$$에 대한 원주각) 따라서 삼각형 $$\rm RIC$$에서 $$\angle{\rm RIC}=\angle{\rm RCI}=x+z$$ 즉, 삼각형 $$\rm RIC$$은 $$\overline{\rm IR}=\overline{\rm RC}$$인 이등변삼각형이다. 동일한 방법으로 삼각형 $$\rm RAI$$는 $$\overline{\rm IR}=\overline{\rm AR}$$인 이등변삼각형임을 증명할 수 있다.

$$\displaystyle \begin{aligned} \therefore \overline{\rm RC}=\overline{\rm IR}=\overline{\rm AR} \end{aligned}$$

이 결과는 내심과 삼각형의 두 꼭짓점을 연결한 삼각형의 외심이 두 꼭짓점을 제외한 한 꼭짓점과 내심을 연결하는 직선이 외접원과 만나는 점에 있음을 알려준다.

2.1. 방심과의 관계

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방심과 내심의 성질에 의하여 두 점은 $$\angle \rm B$$의 이등분선 위에 있으므로 그림과 같이 위 과정에서 선분 $$\rm BI$$을 연장하여 $$\rm B$$에 대한 방심 $$\rm O'$$와 만나도록 하자. 위에서 다뤘던 맨션 정리에서

$$\displaystyle \begin{aligned} \overline{\rm RC}=\overline{\rm IR}=\overline{\rm AR} \end{aligned}$$

이고, 내심과 방심의 성질에 의하여 $$\angle {\rm BCI}=\angle {\rm ACI}$$, $$\angle {\rm ACO'}=\angle {\rm HCO'}$$이므로 $$\angle {\rm ICO'}=90^{\circ}$$이다. 따라서 삼각형 $$\rm ICO'$$은 직각삼각형이고, $$\displaystyle \overline{\rm RC}=\overline{\rm IR} $$이므로 점 $$\rm R$$은 해당 삼각형의 외심이며, 결과적으로 $$\displaystyle \overline{\rm RC}=\overline{\rm IR}=\overline{\rm O'R} $$이다.

$$\displaystyle \begin{aligned} \therefore \overline{\rm RC}=\overline{\rm IR}=\overline{\rm AR}=\overline{\rm O'R} \end{aligned}$$

3. 증명

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3.1. 외심과 내심 사이의 거리

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그림과 같이 삼각형 $$\rm ABC$$의 외심과 내심을 각각 $$\rm O$$, $$\rm I$$라하고, 외접원과 내접원의 반지름은 각각 $$R$$, $$r$$, 직선 $$\rm IO$$가 외접원과 만나는 두 점을 $$\rm P$$, $$\rm Q$$, 직선 $$\rm BI$$가 외접원과 만나는 점을 $$\rm R$$, $$\overline{\rm OI}=d$$라 하자. 방멱 정리에 의하여

$$\displaystyle \begin{aligned} \overline{\rm BI} \cdot \overline{\rm IR}&=\overline{\rm PI} \cdot \overline{\rm IQ} \\&=(R+d)(R-d) \\&=R^{2}-d^{2} \end{aligned}$$

한편, 맨션 정리에 의하여 $$\overline{\rm IR}=\overline{\rm AR}$$, 내심의 성질에 따라 $$\angle{\rm IBC}=\angle{\rm ABI}$$, $$\angle{\rm ABI}=\angle{\rm ASR}$$(호 $$\rm AR$$에 대한 원주각)이다. 점 $$\rm I$$에서 변 $$\rm BC$$에 내린 수선의 발을 $$\rm H$$라 하면 $$\angle{\rm RAS}=90^{\circ}$$(지름에 대한 원주각), $$\angle{\rm IHB}=90^{\circ}$$, $$\angle{\rm ABI}=\angle{\rm ASR}$$이므로 $$\triangle{\rm RSA} \sim \triangle{\rm IBH} $$($$\rm AA$$닮음)이다.

$$\displaystyle \begin{aligned} \overline{\rm AR} : \overline{\rm SR} =\overline{\rm IR} : \overline{\rm SR} =\overline{\rm IH} : \overline{\rm BI} \; \Leftrightarrow \; \overline{\rm BI} \cdot \overline{\rm IR}=\overline{\rm SR} \cdot \overline{\rm IH} \end{aligned}$$

$$\overline{\rm SR}=2R$$, $$\overline{\rm IH}=r$$임을 이용하면, $$\overline{\rm SR} \cdot \overline{\rm IH}=2Rr$$

$$\displaystyle \therefore R^{2}-d^{2}=2Rr \; \Rightarrow \; d=\sqrt{R^2-2Rr} $$

결과를 변형하면 아래와 같이 나타낼 수도 있다.

$$\displaystyle \frac{1}{R-d}+\frac{1}{R+d}=\frac{1}{r} $$

두 점 간의 거리는 음일 수 없으므로,

$$\displaystyle d=\sqrt{R^2-2Rr}=\sqrt{R(R-2r)} $$

에 의하여 모든 삼각형에서 $$R \geq 2r$$이 성립한다. 단, 등호는 정삼각형일 때에 성립한다.[1]
이상의 결과에서 음수에 대한 방멱을 허용한다면, 외접원에 대한 내심의 방멱은 $$ -2Rr $$이라고 표현할 수 있다.

3.2. 외심과 방심 사이의 거리

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그림과 같이 삼각형 $$\rm ABC$$의 외심과 방심을 각각 $$\rm O$$, $$\rm O'$$라하고, 외접원과 방접원의 반지름은 각각 $$R$$, $$r'$$, 직선 $$\rm OO'$$가 외접원과 만나는 두 점을 $$\rm P$$, $$\rm Q$$, 직선 $$\rm BO'$$이 외접원과 만나는 점을 $$\rm R$$, $$\overline{\rm OO'}=d$$라 하자. 방멱 정리에 의하여

$$\displaystyle \begin{aligned} \overline{\rm O'R} \cdot \overline{\rm O'B}&=\overline{\rm O'Q} \cdot \overline{\rm O'P} \\&=(d-R)(d+R) \\&=d^{2}-R^{2} \end{aligned}$$

[1] 정삼각형은 외심, 내심, 수심, 무게중심이 동일하다.

위에서 다뤘던 맨션 정리에 의하여 $$\overline{\rm O'R}=\overline{\rm RC}$$, 점 $$\rm O'$$에서 변 $$\rm BC$$의 연장선 상에 내린 수선의 발을 $$\rm H$$라 하면 $$\angle{\rm O'HB}=90^{\circ}$$, $$\angle{\rm SRC}=90^{\circ}$$(지름에 대한 원주각), $$\angle{\rm O'BC}=\angle{\rm RSC}$$(호 $$\rm RC$$에 대한 원주각)이므로 $$\triangle{\rm O'BH} \sim \triangle{\rm CSR} $$($$\rm AA$$닮음)이다.

$$\displaystyle \begin{aligned} \overline{\rm O'H} : \overline{\rm O'B} =\overline{\rm RC} : \overline{\rm SC} =\overline{\rm O'R} : \overline{\rm SC} \; \Leftrightarrow \; \overline{\rm O'R} \cdot \overline{\rm O'B}=\overline{\rm O'H} \cdot \overline{\rm SC} \end{aligned}$$

$$\overline{\rm SC}=2R$$, $$\overline{\rm O'H}=r'$$임을 이용하면, $$\overline{\rm SR} \cdot \overline{\rm IH}=2Rr$$

$$\displaystyle \therefore d^{2}-R^{2}=2Rr' \; \Rightarrow \; d=\sqrt{R^2+2Rr'} $$

결과를 변형하면 아래와 같이 나타낼 수도 있다.

$$\displaystyle \frac{1}{d-R}-\frac{1}{d+R}=\frac{1}{r'} $$

이상의 결과에서 외접원에 대한 방심의 방멱은 $$ 2Rr' $$이라고 표현할 수 있다.

4. 관련 문서

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• 수학 관련 정보
• 오심과 관련된 정리
• 방멱 정리
• 구점원
• 레온하르트 오일러