1. 개요
topologist's sine curve '''위상수학자의 사인곡선'''이란
2차원 공간 $$\mathbb R^2$$ 위에 정의된 특수한
집합으로,
연결 공간이지만
경로 연결 공간이 아닌 대표적인 예시이다.
2. 정의
함수 $$f: \mathbb R - \left\{ 0 \right\} \to \mathbb R$$을
$$f(x) = \begin{cases} \sin \dfrac 1x, & \mathsf{if} \ x \neq 0 \\ 0, & \mathsf{if} \ x = 0 \end{cases}$$
라고 정의하자. 이 때 [math(f \rvert _{(0, 1]})]의 그래프 $$T \subset \mathbb R^2$$는 다음과 같다.
[math(T = \left\{ (x, f(x)) \in \mathbb R^2 | x \in (0, 1] \right\} = \left\{ \left( x, \sin \dfrac 1x \right) \in \mathbb R^2 \ \bigg| \ x \in (0, 1] \right\})]
여기서 $$T \subset \mathbb R^2$$의 폐포
[math(\overline T = \left\{ \left( x, \sin \dfrac 1x \right) \bigg| \ x \in (0, 1] \right\} \bigcup \left\{ (0, y) \ | \ y \in [-1, 1] \right\} \subset \mathbb R^2)]
을 위상수학자의 사인 곡선이라고 부른다.
3. 개형
$$\begin{cases} \sin \theta = 0 & \Leftrightarrow \theta = n \pi, & \mathsf{for} \ \mathsf{some} \ n \in \mathbb Z \\ \sin \theta = 1 & \Leftrightarrow \theta = \left(2n + \dfrac 12 \right) \pi, & \mathsf{for} \ \mathsf{some} \ n \in \mathbb Z \\ \sin \theta = -1 & \Leftrightarrow \theta = \left(2n + \dfrac 32 \right) \pi, & \mathsf{for} \ \mathsf{some} \ n \in \mathbb Z \end{cases}$$
이므로, $$\overline T$$는 $$\left( \dfrac 1{n \pi}, 0 \right)$$, $$\left( \dfrac 1{\left(2n + 1/2 \right) \pi}, 1 \right)$$, $$\left( \dfrac 1{\left(2n + 3/2 \right) \pi}, -1 \right)$$($$n \in \mathbb N$$)와 같은 점을 모두 포함한다. 이 때 $$n$$이 $$1$$ 증가할 때마다,
사인 곡선 한 주기를 지나게 되므로 우리의 $$\overline T$$는 [math(0)]으로 다가갈수록 주기가 짧아짐을 알 수 있다. 또 임의의 실수 $$\gamma \in [-1, 1]$$에 대하여 $$\sin \phi = \gamma $$인 $$\phi \in [0, 2 \pi]$$가 존재하므로, 다음과 같은 $$T$$의 부분집합을 생각할 수 있다.
$$T_\gamma = \left\{ \left( \dfrac 1{2n \pi + \phi}, \gamma \right) \bigg| \ n \in \mathbb N \right\}$$
$$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac 1{2n \pi + \phi} = 0$$이므로, $$T_\gamma $$의 폐포는 $$\overline {T_\gamma } = T_\gamma \ \cup \ \left\{ (0, \gamma ) \right\}$$이다. 따라서 $$\lim \limits_{x \to 0+} f(x)$$는 존재하지 않는다.
4. 성질
'''[보조정리 1]'''
$$\overline T$$는 연결 공간이다.
- [ 증명 ]
우선, $$T$$가 경로 연결 공간임을 보이자. $$T$$ 위의 임의의 두 점이 $$\left( x, \sin \dfrac 1x \right)$$, $$\left( y, \sin \dfrac 1y \right)$$일 때, 경로 $$f: I = [0, 1] \to T$$를
$$f(t) := \left( x + t(y - x), \sin \dfrac 1{x + t(y - x)} \right)$$
로 놓으면 $$f$$가 두 점 사이의 경로를 준다. 이제 곡선 $$T$$가 경로 연결 공간이므로, $$T$$는 자연스럽게 연결 공간이 된다. [1] 이는 단위 구간 I = [0, 1]이 연결 공간이므로 성립한다. 연결 공간의 폐포도 연결 공간이므로, $$\overline T$$는 연결 공간이다.□
|
'''[보조정리 2]'''
$$\overline T$$는 경로 연결 공간이 아니다.
- [ 증명 ]
결론을 부정하여 $$\overline T$$가 경로 연결 공간이라고 하자. 그러면, $$\overline T$$의 점 $$f(0) = (0, 1)$$과 $$f(1) = (1, \sin 1)$$을 잇는 경로 $$f: I = [0, 1] \to \overline T$$가 존재한다. 경로 $$f$$는 2차원 공간 $$\mathbb R^2$$를 공역으로 갖는 연속함수이므로, $$x$$축 및 $$y$$축에 해당하는 성분함수 $$f_1: I = [0, 1] \to \mathbb R$$와 $$f_2: I = [0, 1] \to \mathbb R$$도 연속함수이다. 이제 $$\overline T$$의 닫힌 부분집합 $$\left\{ 0 \right\} \times I \subset \overline T$$를 생각하면, 역상 $$f^{-1}(\left\{ 0 \right\} \times I)$$도 $$I$$의 닫힌 부분집합 이어야 한다. 한편 실수의 유계이면서 닫힌 부분집합은 최댓값을 가지므로, $$\alpha = \max f^{-1}(\left\{ 0 \right\} \times I)$$라 놓을 때 $$f(\alpha ) = (0, \beta ) \in \left\{ 0 \right\} \times I$$이다. 다음으로 $$\gamma \in I - \left\{ \beta \right\}$$인 $$\gamma$$를 고르고, $$\sin \phi = \gamma $$인 $$\phi \in [0, 2 \pi]$$를 택하자. $$\alpha < 1$$이므로, $$\alpha < \alpha' < 1$$인 $$\alpha'$$를 아무거나 고르자. $$\alpha' > \alpha$$이므로 $$f_1(\alpha') > 0$$이다. 따라서 중간값 정리에 의해 $$f_1([\alpha, \alpha'])$$은 $$\left[ 0, f_1(\alpha') \right]$$의 모든 값을 가지며, 이 중에는 특별히 $$\dfrac 1{2n \pi + \phi}$$와 같은 수들이 무수히 많이 존재한다. 따라서, $$f([\alpha, \alpha'])$$는 무수히 많은 $$\left( \dfrac 1{2n \pi + \phi}, \gamma \right)$$를 가진다. 이 집합의 극한점은 $$(0, \gamma)$$인데, 구간 $$[\alpha, \alpha']$$가 닫힌 집합이므로 $$(0, \gamma) \in f([\alpha, \alpha'])$$이다. 그런데 $$[\alpha, \alpha']$$의 점 중에서 $$\alpha$$를 제외한 점들은 전부 $$x$$좌표가 양수이므로 $$(0, \gamma)$$가 될 수 있는 것은 $$\alpha$$ 뿐이다. 그러나, $$f(\alpha ) = (0, \beta ) \neq (0, \gamma)$$ 이므로 모순을 얻는다. 종합하면 귀류법의 가정이 잘못되었으며, $$\overline T$$는 경로 연결 공간이 아니라는 결론을 얻는다.□
|
5. 의의
이 집합의 존재로 인해,
연결 공간과
경로 연결 공간은 같은 개념이 아님을 알 수 있다.
[각주]