중간값 정리
1. 개요
Intermediate Value Theorem / 中間値定理
해석학의 한 이론.
2. 명칭 개정 문제
대한수학회 기준으로는 '정리'만큼은 중간값 정리 또는 중간값(의) 정리로 표기되어있다(사잇값 정리 또는 사이값 정리는 미인정). 단, '값'에 한정하여서는 사잇값도 인정하고 있다.
대한민국 교육부는 대한수학회의 용법을 따르지 않고 2009 개정 교육과정부터 '사이값 정리'라고도 바꿔 표기하였다. 단, 사전적으로는 '사잇값'이라고 사이시옷을 써야 맞다. (참조) 즉, 현 교육과정에서 쓰이는 '사이값'은 오탈자이다.
현재는 '사잇값'으로 고쳐졌다.
3. 설명
함수 $$f$$가 $$\left[a,b\right]$$에서 연속이고 $$k$$가 $$f\left(a\right)$$와 $$f\left(b\right)$$사이의 임의의 값이라 하자. 당연히 $$f\left(a\right)\neq f\left(b\right)$$임을 가정한다. $$f\left(a\right)<k<f\left(b\right)$$와 $$f\left(b\right)<k<f\left(a\right)$$의 두 가지 경우가 있는데 전자를 가정하며, 후자의 경우에는 $$g=-f$$로 정하고 $$g$$에 대해 정리를 적용하여 증명할 수 있다.
$$A=\left\{x\in\left[a,b\right]|f\left(x\right)<k\right\}$$라고 하자. 이때 $$c=\sup A$$로 정의한다.[1] f가 $$\left[a,b\right]$$에서 연속이므로, 적당한 $$\delta _1>0$$가 존재하여 $$\forall x\in\left[a,a+\delta _1\right) : f\left(x\right)<k)]이고, 적당한 [math(\delta_2>0)]가 존재하여 [math(\forall x\in\left(b-\delta _2,b\right]: f\left(x\right)>k$$이다.[2] 따라서 $$a<c<b$$이다. 또한 $$f\left(c\right)<k$$이면 f의 연속성에 의해 $$f\left(c+\alpha\right)<k$$인 $$\alpha >0 $$가 존재하게 되어 모순이므로, $$f\left(c\right)\geq k$$이다.
한편 상한(supremum)의 정의에 의해 임의의 $$\epsilon >0$$에 대하여 $$c-\epsilon<x\leq c $$인 $$x\in A$$가 존재한다. 그러면 f의 연속성에 의해 임의의 $$\delta >0$$에 대하여 $$f\left(c\right)<f\left(x\right)+\delta$$인 $$x\in A$$가 존재하게 된다. 여기서 $$f\left(x\right)<k$$이므로 $$f\left(c\right)<k+\delta$$가 성립한다. 이는 곧 $$f\left(c\right)\leq k$$라는 뜻이다. 따라서 $$f\left(c\right)=k$$이다.
3.1. 다른 증명
연결집합을 이용해서 증명을 할 수도 있다. 연결집합은 공집합이 아닌 두 열린 집합으로 쪼개질 수 없는 집합이다. 여기서 열린 집합이란, 열린 구간처럼 경계를 포함하지 않는 집합이며 열린 집합 S와 이 집합의 경계점들의 집합인 경계 $$Bd\left(S\right)$$의 합집합을 $$S$$의 '''폐포(closure)'''라 하고[4] $$\overline{S}$$로 나타낸다. 이제 중간값 정리를 다시 표현하면 다음과 같다.
이에 대한 증명은 다음과 같다.$$f$$가 연결집합 $$D$$에서 정의된 연속인 실함수일 때, $$a,b\in f\left(D\right)$$이고 $$a<c<b$$이면 $$f\left(p\right)=c$$인 $$p\in D$$가 존재한다.
그런데 사실 위 증명은 다른 정리의 증명에서 찾을 수 있는 것인데, 다름 아닌 ''실수 집합의 어떤 부분집합이 연결집합일 필요충분조건은 이 부분집합이 구간(interval)이어야 한다는 것이다''는 것의 증명이다. 실수 집합의 ''구간''은 여기에 포함된 임의의 $$x, y$$에 대하여 $$x < c < y$$인 임의의 실수 $$c$$ 역시 이 집합에 포함되는 실수 집합의 부분집합으로 정의된다. 여기서 $$[a, b]$$가 이 조건을 만족한다는 것을 보일 수 있다.[5] 그러면 연결집합의 연속상(continuous image) 역시 연결집합이라는 성질 때문에 $$f([a, b])$$[6] 역시 연결집합, 곧 구간임을 알 수 있다. 그러면 $$f(a)$$와 $$f(b)$$ 사이에 있는 임의의 $$y \in \mathbb{R}$$은 $$f([a, b])$$에 포함될 것이고 따라서 $$y = f(c)$$인 $$c \in [a, b]$$를 항상 찾을 수 있는 것으로 또다른 방식의 증명을 마칠 수 있다. 즉, 중간값 정리는 본질적으로 연결집합이라는 위상적 성질로부터 비롯된 것이라고 간단하게 증명할 수 있는 것이다.
3.2. 중간값 정리의 활용
고교과정에서 자주 쓰이는 활용으로는 방정식의 근의 위치를 추정하는 것이다. 만약 $$f\left(a\right)f\left(b\right)<0$$이고 $$f$$가 연속이면 $$\left(a,b\right)$$사이에 근을 적어도 하나 가진다. 왜냐하면 0이 $$f\left(a\right)$$와 $$f\left(b\right)$$사이에 존재하기 때문. 하지만 이것만으로는 근의 개수를 알 수 없다.
실생활에서 쓰일만한 또다른 활용은 테이블이 흔들리지 않게 하는 위치를 찾는것이다. 테이블 다리가 바닥에 닿는점을 각각 A, B, C, D라 하자. 그리고 A, B, C에 의해 평면이 결정되어있다고 하자[7]. 3변수 함수 $$f$$를 점에서 평면 ABC까지의 수직 거리라 정의하면 $$f\left(D\right)>0$$이고 나머지 점의 함수값은 0이 된다. 점 D와 마주보는 점을 B라 하면 $$f\left(B\right)-f\left(D\right)<0$$이고 테이블을 180도 돌리면 A와 C, B와 D의 위치가 바뀌고 $$f\left(B\right)-f\left(D\right)>0$$이 된다. 또한 $$f\left(B\right)-f\left(D\right)$$의 값은 연속적인 값이므로 중간값의 정리에 의해 $$f\left(B\right)-f\left(D\right)=0$$, 즉 테이블이 흔들리지 않게 되는 점이 180도 회전할 때 적어도 하나 존재하게 되는 것이다.
같은 원리로 임의의 순간 지표면 어딘가에는 지구 반대편과 기온과 기압이 같은 위치가 존재한다는 걸 보일 수도 있다. 지구 반대편과의 온도차를 $$f$$라 두면 $$f$$는 연속이고 지구를 반바퀴 돌면 $$f$$의 값이 -1이 곱해지므로 $$f=0$$인 지점이 존재할 것이다. 그런데 지표면은 3차원 지구의 2차원 표면이므로 $$f>0$$인 구간과 $$f<0$$인 구간을 나누는 $$f=0$$인 고리가 존재하거나 항상 $$f=0$$이거나 할 것이다. 이 고리 위에 지구 반대편과의 기압차 $$g$$를 정의하면 같은 방법으로 $$g=0$$인 지점이 있음을 보일 수 있다.
3.2.1. 중간값 정리로부터 완비성 공리의 유도
완비성 공리로부터 중간값 정리의 유도는 많은 책에 나와있지만 중간값 정리로부터 완비성 공리를 유도할 수도 있다. $$S$$를 실수의 부분집합으로써 위로 유계이고 공집합이 아닌 임의의 집합이라고 하고 상한이 존재하지 않는다고 가정하자. 실함수 $$f$$를 $$x$$가 $$S$$의 상계인 경우에 $$f(x)=1$$, $$x$$가 $$S$$의 상계가 아닌 경우에 $$f(x)=0$$이라고 하자. $$x$$가 $$S$$의 상계가 아니라면 $$x$$보다 큰 $$S$$의 원소 $$y$$가 존재하고 $$\delta=y-x$$라고 하면 $$(x-\delta,x+\delta)$$에서 $$f(x)=0$$이므로 $$x$$에서 연속이며 $$x$$가 $$S$$의 상계라면 $$x$$는 최소상계가 아니므로 $$x$$보다 작은 $$S$$의 상계 $$y$$가 존재한다. 이제 $$\delta=x-y$$라고 하면 $$(x-\delta,x+\delta)$$에서 $$f(x)=1$$이므로 $$x$$에서 연속이다. 또한 $$S$$가 공집합이 아니고 유계인 실수의 부분집합이므로 $$f(a)=1$$인 $$a$$와 $$f(b)=0$$인 $$b$$가 존재한다. 따라서 중간값 정리에 의해 $$f(x)=\dfrac{1}2$$인 $$x$$가 존재하고 이는 모순이다. 따라서 $$S$$는 상한을 가진다.
4. 다르부의 중간값 정리
일반적으로 중간값 정리는 연속함수에 대해서 성립하지만, 연속함수가 아니면서 중간값 정리의 성질을 만족시킬 수 있다. 이러한 함수들을 다르부 함수(Darboux Function)이라고 하며 대표적인 예로 도함수 $$f'\left(x\right)$$가 있다. 다르부의 정리는 다음과 같다.
증명함수 $$f:\left[a, b\right] \rightarrow \mathbb R$$이 열린구간 $$\left(a, b\right)$$에서 미분가능하고, 극한값 $$\displaystyle \lim_{h\to 0+} {f\left(a+h\right)-f\left(a\right)\over h}$$, $$\displaystyle \lim_{h\to 0-} {f\left(b+h\right)-f\left(b\right)\over h}$$이 모두 존재한다고 하자. 이때 각 극한값을 $$f'\left(a\right)$$, $$f'\left(b\right)$$로 나타내자. 그러면 $$f'\left(a\right)\ne f'\left(b\right)$$일 때 $$f'\left(a\right)$$와 $$f'\left(b\right)$$사이에 있는 임의의 실수 $$k$$에 대하여 $$f'\left(c\right)=k$$를 만족하는 실수 $$c\in \left(a,b\right)$$가 존재한다.
WLOG $$f'\left(a\right)<k<f'\left(b\right)$$라고 하자.
함수 $$g\left(x\right)=f\left(x\right)-kx$$를 정의하자. 이때, $$g\left(x\right)$$는 구간 $$[a,b]$$에서 연속이므로 최대 최소 정리에 의해 $$g$$가 최댓값을 가지는 점 $$M\in \left[a, b\right]$$이 존재한다. 한편 $$g'\left(x\right)=f'\left(x\right)-k$$이므로 $$g'\left(a\right)<0$$, $$g'\left(b\right)>0$$이다. 따라서 $$M\in \left(a, b\right)$$이다. 그러면 페르마의 임계점 정리[8]에 의해 $$g'\left(M\right)=f'\left(M\right)-k=0$$이므로 $$f'\left(M\right)=k$$이다.|}}
다르부 함수의 대표적인 예시로 $$\displaystyle f\left(x\right)=x^2\sin{\frac{1}{x}}\left(x\ne 0\right), f\left(0\right)=0$$의 도함수가 있다. 이 함수의 도함수는 x=0에서 불연속이지만, 중간값정리의 성질을 만족한다.
5. 중등 교육
고등학교 수학 미적분 파트, 정확하게는 미분의 바로 전 파트인 함수의 극한 마지막 부분에서 처음 보게되는 정리중 하나. 과거엔 중간값 정리라고 하였으나, 교육과정이 개편되면서 사잇값 정리로 바뀌었다. 중등 교육에서는 다소 소개하는 방법이 위와 다르다.
이 정리 바로 앞에 나올 최대·최소의 정리와 마찬가지로 고교과정에선 증명을 하지 않고 그냥 사용한다. 사실 증명을 하려 해도 할 수 없는게, 대학 해석학 수준에서 배울 여러가지 내용[9]을 이용해서 증명하기 때문이다.함수 $$f\left(x\right)$$가 닫힌 구간 $$\left[a, b\right]$$에서 연속이고 $$f\left(a\right) \neq f\left(b\right)$$일 때, $$f\left(a\right)$$와 $$f\left(b\right)$$ 사이의 임의의 값 $$k$$에 대하여 $$f\left(c\right)=k$$인 $$c$$가 열린 구간 $$\left(a,b\right)$$내에 적어도 하나 존재한다.
- 7차 교육과정: 수학Ⅱ
- 2007 개정 교육과정: 미적분과 통계 기본, 수학Ⅱ
- 2009 개정 교육과정: 미적분Ⅰ
- 2015 개정 교육과정: 수학Ⅱ
6. 관련 문서
[1] $$\sup$$ 는 supremum(상한)의 약자로, 어떤 집합 T의 부분집합 S의 모든 원소보다 같거나 큰 T의 원소이면서 그 원소 중 가장 작은 원소(최소 상계)를 $$\sup S$$라고 한다. [2] f가 연속임을 이용하여, ε=k-f(a)로 두면 된다.[3] 즉, $$C$$는 집합 $$U$$에 포함되는 모든 폐집합을 원소로 갖는 집합이다.[4] 다른 해석으로는 열린 집합 S를 포함하는 모든 폐집합의 교집합으로 정의한다. 즉, 어떤 커다란 집합(보통은 전체집합을 의미한다)이 존재하여, $$C=\{A|\forall A \subset U\}$$(단 $$U$$는 조건상, 혹은 정의상으로 주어진 최대집합, $$A$$는 폐집합)일 때[3], $$\displaystyle \bigcap_{S \cap A=S} A$$ 혹은 $$\displaystyle \bigcap_{S \subset A}A$$라고 하기도 한다.[5] 사실 우리가 아는 아홉 가지 종류의 구간($$(a, b), \lbrack a, b), (a, b \rbrack, \lbrack a, b \rbrack, (-\infty, b), (-\infty, b \rbrack, (a, \infty), \lbrack a, \infty), (-\infty, \infty)$$)이 구간의 전부임을 보일 수 있다.[6] $$\{f(x) : x \in \lbrack a, b \rbrack\}$$[7] 평면의 결정조건 중 하나가 공선점이 아닌 세 점이다[8] 미분가능한 함수의 극대/극소점에서의 미분계수는 항상 0이다.[9] 실수의 완비성에서 유도되는 상한정리, 혹은 집합론의 연결집합에 대한 정리등을 이용한다.