자유 낙하
1. 개요
free fall · 自由落下
정지해 있던 물체가 지표면을 향해 가속운동하는 것을 이른다.
2. 분석
운동을 분석하기 앞서 $$\dot{y}$$, $$\ddot{y}$$는 각각 지면에 대한 높이 $$y$$의 시간에 대한 도함수(속도) $${\rm d}y/{\rm d}t$$, 이계도함수(가속도) $${\rm d^{2}}y/{\rm d^{2}}t$$임을 밝힌다.
2.1. 공기 저항이 없는 경우
질량 $$m$$의 물체가 지면으로부터 $$H$$의 높이에서 자유낙하를 했다고 생각해보자. 공기 저항을 무시할 경우 이때 작용하는 힘은 보존력인 중력 외에는 존재하지 않는다. 따라서 물체의 운동 방정식은
$$\displaystyle m\ddot{y}=-mg $$
$$\displaystyle \begin{aligned} y(t)&=H-\frac{1}{2}gt^{2} \\ \dot{y}(t)&=-gt \end{aligned} $$
$$\displaystyle y=H-\frac{1}{2}gt^{2} \;\to\; t=\sqrt{\frac{2(H-y)}{g}} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} \biggl|\dot{y}\biggl( \sqrt{\frac{2(H-y)}{g}} \biggr)\biggr|=\sqrt{2g(H-y)} \end{aligned} $$
$$\displaystyle mgH=mgy+\frac{1}{2}m \dot{y}^{2} $$
2.2. 공기 저항이 있는 경우
진공에서의 물체의 가속 운동은 방해, 정확히 말하면 저항력을 받지 않아 정지 속도가 없지만, 실제 지구상에서의 낙하는 공기의 저항을 받게 된다.
사실 아래의 두 풀이 또한 실제 상황을 단순화시킨 것이다. 왜냐하면 실제적으로 높이에 따라 대기의 밀도가 달라지므로 저항력이 높이에도 영향을 받기 때문이다.
2.2.1. 선형 공기 저항이 있는 경우
저항력이 속도에 비례하여 질량 $$m$$의 물체가 물체가 지면으로부터 $$H$$의 높이에서 자유 낙하했을 때, 저항력 $$-k\dot{y}$$(단, $$k$$는 공기 저항 계수)를 받는다고 해보자. 이때 물체의 운동 방정식은
$$\displaystyle m\ddot{y}=-mg-k\dot{y} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} y(t)&=H+\frac{g}{\beta^{2}}(1- \beta t -e^{-\beta t} ) \\ \dot{y}(t)&=-\frac{g}{\beta}(1-e^{-\beta t}) \end{aligned} $$
위의 식에서 알 수 있듯 $$t \to \infty$$이면 일정한 속력 $$g/\beta=mg/k$$로 수렴하는데 이 속력을 '''종단 속력(terminal speed)'''이라 하고, 종단 속력은 질량에 비례한다. 종단 속력의 물리적 의미를 검토해보고자 이 속력을 저항력에 대입하면, $$k \dot{y}=mg$$로 중력의 크기와 같아지는데 곧 종단 속력은 중력과 저항력이 평형을 이룰 때의 속력임을 알 수 있다. 일반적으로 사람의 종단 속도는 $$200\,{\rm km/h}$$ 근처이다.[1]
2.2.2. 제곱형 공기 저항이 있는 경우
이번 문단에서는 제곱형 공기 저항이 작용하는 경우를 살펴보도록 하자. 물체의 운동 방정식은 윗문단과 유사하게
단, 이번엔 저항력 부분의 부호가 $$+$$가 되어야 함에 유의한다.[2] 초기 조건은 윗 문단과 동일하고, 방정식을 그냥 풀기 어렵기 때문에 우선 $$\dot{y}$$에 대하여 구하자. 위 미분방정식을 아래와 같이 쓰자.
$$\displaystyle \frac{{\rm d}\dot{y}}{{\rm d}t}=-g+\beta\dot{y}^{2} $$
[2] 저항력은 물체의 진행 방향에 반대로 작용하여야 한다.
$$\displaystyle \dot{y}(t)=-\sqrt{\frac{g}{\beta}} \tanh{(\sqrt{\beta g}t)} $$
$$\displaystyle y(t)=H-\frac{1}{\beta}\ln{(\cosh{(\sqrt{\beta g}t)})} $$