보존력
1. 개요
'''Conservative force'''
어떤 힘이 한 일이 경로에 무관한 경우 그 힘을 보존력이라고 정의한다.
수학적으로 표현하면 보존력의 변위에 대한 적분은 경로독립이라는 것인데, 이 경우 이 적분한 물리량을 스칼라 함수로 나타낼 수 있다. 물리에서는 이를 퍼텐셜 에너지라고 부른다. 반면 그렇지 않은 힘을 비보존력이라고 부른다.
물체에 보존력만 작용하면 역학적 에너지가 보존되고, 비보존력이 작용해 일을 하게 되면 그 일부가 열에너지 등으로 바뀐다. 여기서 유의할 점은 비보존력이 작용해도 방향이 수직이면[1] 역학적 에너지는 보존된다.
일반적으로 중력, 탄성력, 전기력 등이 알려져 있으며, 윗 문단의 두 조건만 만족하면, 보존력이 된다.
비보존력의 가장 일반적인 예시는 마찰력 등이 있다.
2. 상세
2.1. 보존력의 조건
보존력 $$\mathbf{F} $$의 큰 특징은 퍼텐셜 에너지 $$U $$와 다음과 같은 관계에 있다.
이 사실을 이용하면, 점 $$\mathbf{1} $$에서 점 $$\mathbf{2} $$로 이동했을 때, 보존력이 한 일 $$W $$을 구할 수 있다.
$$ \displaystyle W=\int_{\mathbf{1}}^{\mathbf{2}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}=\int_{\mathbf{1}}^{\mathbf{2}} (-\boldsymbol{\nabla}U) \cdot d \mathbf{r} $$
$$ \displaystyle \boldsymbol{\nabla}U \cdot d \mathbf{r}=\sum_{i}\frac{\partial U }{\partial x_{i}}dx_{i}=dU $$
$$ \displaystyle W=-\int_{\mathbf{1}}^{\mathbf{2}} dU=-(U_{\mathbf{2}}-U_{\mathbf{1}}) $$
$$ \displaystyle W=- \mathit{\Delta}U $$
윗 문단에서 보존력이 한 일은 경로에 의존하지 않는다고 하였다. 그렇기 때문에 경로가 폐곡선 형태 즉, 처음과 끝이 같다면, 보존력이 한 일은 $$ 0 $$이 돼야 한다. 즉,
$$ \displaystyle \oint \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}=0 $$
$$ \displaystyle \oiint (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{F}) \cdot d \mathbf{a}=0 $$
$$ \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{F} = 0 $$
- 어떤 퍼텐셜의 음의 그레이디언트를 취하면, 해당 힘으로 환원돼야 한다: $$ \displaystyle \mathbf{F}=-\boldsymbol{\nabla}U $$
- 힘에 회전 연산을 가하면, $$0 $$이 돼야한다: $$ \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{F} = 0 $$
2.2. 보존장의 에너지 보존
보존력이 작용하여 미치는 공간을 '''보존장(Conservative field)'''이라 한다. 보존장에서 총 에너지는 보존되는 지를 증명해보자.
물체가 갖는 총 에너지 $$E $$는 운동 에너지 $$T $$와 퍼텐셜 에너지 $$U $$의 합이다. 즉,
$$ \displaystyle E=T+U $$
$$ \displaystyle \frac{dE}{dt} =\frac{d}{dt}(T+U)= \frac{dT}{dt}+\frac{dU}{dt} $$
$$ \displaystyle \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}=dT $$
$$ \displaystyle \frac{dT}{dt}=\mathbf{F} \cdot \frac{d\mathbf{r}}{dt} $$
퍼텐셜이 위치와 시간을 의존하는 함수 즉, $$ U(\mathbf{r},\, t) $$로 주어진다면,
$$ \displaystyle \frac{dU}{dt}=\sum_{i}\frac{\partial U }{\partial x_{i}}\frac{dx_{i}}{dt}+\frac{\partial U}{\partial t}=\boldsymbol{\nabla}U \cdot \frac{d\mathbf{r}}{dt}+\frac{\partial U}{\partial t} $$
따라서, 본래의 식에서
$$ \displaystyle \frac{dE}{dt} = (\mathbf{F}+\boldsymbol{\nabla}U) \cdot \frac{d\mathbf{r}}{dt} + \frac{\partial U}{\partial t} $$
$$ \displaystyle \frac{dE}{dt} = \frac{\partial U}{\partial t} $$
그런데, 대부분의 퍼텐셜은 시간에 의존하지 않으므로 우변은 $$ 0 $$이 됨에 따라
$$ \displaystyle \frac{dE}{dt} =0 $$
해밀턴 역학으로 가면 이 보존력은 곧 해밀토니안 $$\mathcal H$$이 된다. 즉, 이 문단의 맨 위의 식은
$$ \displaystyle \mathcal{H}=T+U $$
2.3. 심화: 비보존력이 한 일
물체가 두 지점을 이동할 때, 일-운동에너지 정리에 따라 알짜힘이 한 일은 물체의 운동 에너지 변화량과 같다. 따라서 알짜힘이 한 일을 $$W_{T}$$라 놓으면,
$$ \displaystyle W_{T}=\Delta T $$
$$ \displaystyle W_{T}=W_{N}+W_{C} $$
$$ \displaystyle \begin{aligned} W_{C}=\Delta U+\Delta T \end{aligned} $$
$$ \displaystyle \begin{aligned} \Delta U+\Delta T&=(U_{2}-U_{1})+(T_{2}-T_{1}) \\ &=(T_{2}+U_{2})-(T_{1}+U_{1})\\&=E_{2}-E_{1}\\&=\Delta E \end{aligned} $$
$$ \displaystyle \begin{aligned} W_{C}=\Delta E \end{aligned} $$