재배열 가능 소수

 


1. 개요
2. 성질
3. 목록


1. 개요

permutable prime ・ 再配列 可能 素數
자릿수를 어떻게 재배열하든 항상 소수가 되는 소수를 '''재배열 가능 소수'''라고 한다. 예를 들어 소수 113은 131, 311로 재배열해도 소수이므로 재배열 가능 소수이다. '''순열 소수''', '''절대 소수'''(absolute prime)라고도 한다.

2. 성질

  • 한 자리 소수는 배열하는 방법이 한 가지밖에 없으므로 무조건 재배열 가능 소수이다.
  • 두 자리 이상 수의 경우 자리수에 0, 2, 4, 5, 6, 8이 있을 경우, 재배열할 때 짝수나 5의 배수가 될 수 있으므로 재배열 가능 소수가 될 수 없다.
  • 재배열 가능 소수를 재배열하여 얻은 또 다른 소수 역시 재배열 가능 소수이다. 예를 들어 113이 재배열 가능 소수이므로 131, 311 역시 재배열 가능 소수이다.
  • 모든 자릿수가 1인 단위 반복 소수 [1] 역시 배열하는 방법이 한 가지밖에 없으므로 무조건 재배열 가능 소수이다.

3. 목록

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 113, 131, 199, 311, 337, 373, 733, 919, 991, $$\dfrac{10^{19}-1}{9}$$ (1111111111111111111) , $$\dfrac{10^{23}-1}{9}$$, $$\dfrac{10^{317}-1}{9}$$, $$\dfrac{10^{1031}-1}{9}$$, ...
재배열하여 같아지는 수를 같은 것으로 보면, 337 다음에 재배열 가능 소수가 한참 동안 나오지 않다가 $$\dfrac{10^{19}-1}{9}$$이 나오는 셈이다.
[1] 여기서 단위 반복 소수란 10진법에서의 레퓨닛 소수를 임의의 다른 진법으로 까지 확장해서 생기는 n진법에서 1이 늘어선 수 중 소수를 말한다. 진법과 상관없이 1이 늘어선 수가 무조건 소수여야 하며, 1이 늘어선 개수가 합성수이면 그 수를 같은 길이로 나눈 수로 나누어떨어진다.

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