전류/정상 전류와 경계치 문제/관련 예제
1. 예제 1 : 균일하지 않은 매질에 파묻힌 구
| '''[문제]''' - 그림과 같이 반지름 $$a$$인 고도로 대전된 구의 반 만큼 매질 2에 파묻혀있다. 구로 부터 지표로 흘러가는 전류 $$I$$가 있을 때, 구와 지표 간의 저항을 구하시오. (단, 두 매질은 옴의 법칙을 만족한다.) |
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우리는 구의 중심으로 부터 반지름 $$r$$인 반구의 표면을 영역 $$S$$라 하자. 조건에 의해 매질 2에서구면 대칭에 의해 $$\mathbf{J}$$는 방사적이므로 전류 밀도는 아래와 같다.
$$\displaystyle \iiint_{S} \mathbf{J} \cdot d \mathbf{a}=I $$따라서 우리는 두 매질이 옴의 법칙을 만족 함에 따라 $$\mathbf{E}_{i}={\mathbf{J}_{i}}/{\sigma_{i}}$$로 구할 수 있고,
$$\displaystyle \mathbf{J}=\frac{I}{2 \pi r^{2}} \hat{\mathbf{r}} $$으로 구할 수 있다. 따라서 우리는 구와 지표 사이의 전위차를 아래와 같이 구할 수 있다.
$$\displaystyle \mathbf{E}_{2}=\frac{I}{2 \pi \sigma_{2} r^{2}} \hat{\mathbf{r}} \qquad \qquad \mathbf{E}_{1}=\frac{I}{2 \pi \sigma_{1} r^{2}} $$따라서 구와 지표 간의 저항은 $$R=V/I$$이므로
$$\displaystyle \begin{aligned} V&=-\int_{r=a}^{r=b} \mathbf{E}_{2}\cdot d \mathbf{r}-\int_{r=b}^{r=\infty} \mathbf{E}_{1}\cdot d \mathbf{r} \\ &=-\int_{r=a}^{r=b} \frac{I}{2 \pi \sigma_{2} r^{2}}\,dr-\int_{r=b}^{r=\infty} \frac{I}{2 \pi \sigma_{1} r^{2}} \,dr \\ &=\frac{I}{2 \pi \sigma_{2}}\left( \frac{1}{a}-\frac{1}{b} \right)+ \frac{I}{2 \pi \sigma_{1}b} \end{aligned} $$이 된다.
$$\displaystyle R=\frac{1}{2 \pi \sigma_{2}}\left( \frac{1}{a}-\frac{1}{b} \right)+ \frac{1}{2 \pi \sigma_{1}b} $$
2. 예제 2 : 정전기학 문제와 유사성
| '''[문제]''' - 진공 중에 매우 얇고 넓은 두 금속판이 각각 $$x=0$$, $$x=2d$$에 놓여져있고, 그 사이의 $$0<x<d$$에 전기 전도도가 $$\sigma_{1}$$이고, $$d<x<2d$$에 전기 전도도가 $$\sigma_{2}$$ 유전 물질을 채웠다. 한 쪽 금속판은 접지돼있고, 다른 쪽은 퍼텐셜 $$\Phi=V$$로 유지시킬 때, 두 금속판 사이의 전기장 분포와 전류 밀도 분포, 경계에서의 자유 전하 밀도, 계의 저항을 구하시오. (단, 금속판의 넓이는 $$A$$이다.) |
[풀이 보기] - -
우리는 정전기적 문제와의 유사성으로 이 문제를 풀 수있다. 이 예제를 참고하라. 해당 예제에서 $$\kappa \epsilon_{0} \rightarrow \sigma_{1}$$와 $$\epsilon_{0} \rightarrow \sigma_{2}$$로 대치함으로써 구할 수 있다. 두 금속판 사이의 전기장은로 구해지고, 우리는 옴의 법칙을 만족하는 매질만을 다루므로,
$$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \mathbf{E}_{1}=-\frac{V}{d}\left(\frac{\sigma_{2}}{\sigma_{1}+\sigma_{2}} \right)\hat{\mathbf{x}}\qquad(0<x<d)\\ \\ \displaystyle \mathbf{E}_{2}=-\frac{V}{d}\left(\frac{\sigma_{1}}{\sigma_{1}+\sigma_{2}} \right)\hat{\mathbf{x}}\qquad(d<x<2d)\end{array}\right. $$임을 알 수 있다. 우리는 매질의 경계면 $$x=d$$의 법선 벡터가 $$\hat{\mathbf{x}}$$인 것을 참고하면,
$$\displaystyle \mathbf{J}=-\frac{V}{d}\left(\frac{\sigma_{1}\sigma_{2}}{\sigma_{1}+\sigma_{2}} \right)\hat{\mathbf{x}}\qquad(0<x<2d)$$이 성립함을 이 예제에서 알 수 있다.
$$\displaystyle \mathbf{J}_{1} \cdot \hat{\mathbf{n}}= \mathbf{J}_{2} \cdot \hat{\mathbf{n}} $$
주의해야 할 것은 전기 변위장 문서에서 이 문제를 다룰 때는 자유 전하가 없다고 했지만, 우리는 전류가 흐르는 상황을 고려하므로 이 예제에서는 경계면에 자유 전하가 모이게 된다는 점이다. 따라서 경계에서의 자유 전하는으로 구할 수 있으므로
$$\displaystyle \mathbf{D}_{2} \cdot \hat{\mathbf{n}}- \mathbf{D}_{1} \cdot \hat{\mathbf{n}}= \sigma_{f} $$을 이용하면, 경계에서의 자유 전하 밀도가 나온다:
$$\displaystyle \epsilon_{2}E_{2}-\epsilon_{1}E_{1}= \sigma_{f} $$우리는 계의 저항 $$R=V/I$$로 구할 수 있었으므로 저항은
$$\displaystyle \sigma_{f}=\frac{\epsilon_{1}\sigma_{2}-\epsilon_{2}\sigma_{1}}{d(\sigma_{1}+\sigma_{2})}V $$이때, 위의 정보를 모두 종합하면, 아래와 같이 쓸 수 있음을 얻는다. 이것은 위키러의 몫으로 남겨둔다.
$$\displaystyle R=\frac{V}{JA}=\frac{V}{\sigma_{1}E_{1}A}=\frac{V}{\sigma_{2}E_{2}A} $$그런데, 이 식을 잘 분해하면,
$$\displaystyle R=\frac{d(\sigma_{1}+\sigma_{2})}{\sigma_{1}\sigma_{2}A} $$으로, 결국엔 각각의 저항의 합임을 알 수 있다. 우리가 저항의 연결에서 배웠던 것을 생각하면, 이 문제는 결국 두 저항이 직렬로 연결되어 있으므로 타당한 결과를 얻었음을 알 수 있다.
$$\displaystyle R=\frac{1}{\sigma_{1}}\frac{d}{A}+\frac{1}{\sigma_{2}}\frac{d}{A}$$
[각주]