전기 변위장
1. 개요
electric displacement field · 電氣 變位場
기존 전기장은 진공에 대해서 정의되었다. 유전체 등의 편극성 물질에서는 외부 전기장에 의해 분극이 일어나므로 이 영향을 고려한 새로운 장을 도입하였는데, 해당 장을 '''전기 변위장'''라 한다. 이 문서에서는 '전기 변위장'을 줄인 '변위장'을 혼용하여 작성하였다.
교재에 따라 '전속(電束) 밀도(Electric Flux Density)'[1], '대체 전기장' 등의 용어를 사용하나, 이 문서에선 한국물리학회에서 정한 용어를 사용하기로 한다.
기호로는 $$ \mathbf{D} $$로 나타내며, 단위는 $$ \textrm{C}/\textrm{m}^{\textrm{2}} $$이다. $$\mathbf{D} = \epsilon \mathbf{E}$$라는 관계가 성립한다. (단, ε은 매질의 유전율, $$\mathbf{E}$$는 전기장이다.)
2. 상세
2.1. 편극 밀도
위에서 지적했듯, 편극성 물질의 경우 외부 전기장에 의해 분극이 일어나므로 전기 쌍극자가 내부에 모인 것으로 해석할 수 있다. 따라서 조밀한 전하 분포에 대해서 밀도의 개념을 사용했듯, 여기서도 밀도의 개념을 사용하는 것이 편리하다. 따라서 단위 부피당 전기 쌍극자 $$ \mathbf{p} $$를 '''편극 밀도(Polarization)''' $$ \mathbf{P} $$라 한다. 즉,
가 성립한다. 이것을 일반적인 상황에 대해 쓰면,
$$ \displaystyle \mathbf{p}=\iiint \mathbf{P}(\mathbf{r'})\,dV' $$
여기서 인지해야 할 점은 이러한 '''편극 밀도를 생각 할 수 있는 것은 거시적인 관점(Macroscopic View)에서 어떠한 계(System)를 바라볼 때'''라는 것이다. 예를 들면, 고전적인 원자핵 또는 전자 하나하나를 관찰할 때는 이러한 편극을 생각 할 수 없을 것이다.
2.2. 편극성 물질의 전기 퍼텐셜
전기 쌍극자 문서에서 전기 쌍극자가 만드는 전기 퍼텐셜은 아래와 같이 주어짐을 보았다.
$$ \displaystyle \Phi(\mathbf{r}) =\frac{\mathbf{p}}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r'}}{ \left| \mathbf{r}-\mathbf{r'} \right |^{3}} $$
$$ \displaystyle \Phi(\mathbf{r}) =\iiint_{V} \frac{\mathbf{P(r')}}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r'}}{ \left| \mathbf{r}-\mathbf{r'} \right |^{3}}\,dV' = \iiint_{V} \frac{\mathbf{P(r')}}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{\hat{\boldsymbol{\xi} } }{ \xi^{2}}\,dV' $$
$$ \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \left( \frac{1}{\xi} \right) = -\frac{\hat{\boldsymbol{\xi} } }{ \xi^{2}} \qquad \qquad \displaystyle \boldsymbol{\nabla} ' \left( \frac{1}{\xi} \right) = \frac{\hat{\boldsymbol{\xi} } }{ \xi^{2}} $$
$$ \displaystyle \Phi(\mathbf{r}) = \iiint_{V} \frac{\mathbf{P(r')}}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \boldsymbol{\nabla} ' \left( \frac{1}{\xi} \right) \,dV' $$
$$ \displaystyle \mathbf{P(r')} \cdot \boldsymbol{\nabla} ' \left( \frac{1}{\xi} \right)= \boldsymbol{\nabla} ' \cdot \left[ \frac{\mathbf{P(r')}}{\xi} \right] - \frac{1}{\xi} \left[ \boldsymbol{\nabla} ' \cdot \mathbf{P(r')} \right] $$
$$ \displaystyle \Phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \iiint_{V} \boldsymbol{\nabla} ' \cdot \left[ \frac{\mathbf{P(r')}}{\xi} \right] \,dV'-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \iiint_{V} \frac{1}{\xi} \left[ \boldsymbol{\nabla} ' \cdot \mathbf{P(r')} \right] \,dV' $$
$$ \displaystyle \Phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \oiint_{S} \frac{\mathbf{P(r')}}{\xi} \cdot \,d \mathbf{a}'-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \iiint_{V} \frac{1}{\xi} \left[ \boldsymbol{\nabla} ' \cdot \mathbf{P(r')} \right] \,dV' $$
$$ \displaystyle \Phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left[ \oiint_{S} \frac{ \left[ \mathbf{P(r')} \cdot \hat{\mathbf{n}} \right] \,da' }{\xi}+ \iiint_{V} \frac{\left[- \boldsymbol{\nabla} ' \cdot \mathbf{P(r')} \right] \,dV'}{\xi} \right] $$
유의해야 할 것은 $$ \hat{\mathbf{n}} $$은 '''편극성 물질 표면에 대한 법선 벡터'''임을 인지하여야 한다는 것이다. 이것은 추후에 논의할 '전기 변위의 경계 조건' 등에서 경계면의 법선 벡터와 헷갈릴 가능성이 높으니 잘 인지하여야 한다.
위 결과에서
$$ \displaystyle \mathbf{P(r')} \cdot \hat{\mathbf{n}} \equiv \sigma_{P}\qquad \qquad- \boldsymbol{\nabla} ' \cdot \mathbf{P(r')} \equiv \rho_{P} $$
$$ \displaystyle \Phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left[ \oiint_{S} \frac{\sigma_{P} \,da' }{\xi}+ \iiint_{V} \frac{\rho_{P} \,dV'}{\xi} \right] $$
이상에서 편극된 물질은 본래 중성이라는 점을 생각하면, 총 속박 전하는 $$ 0 $$이 돼야 한다.
$$ \displaystyle \oiint_{S} \sigma_{P} \,da' + \iiint_{V} \rho_{P} \,dV'=0 $$
[주의] 해당 '속박 전하'는 수학적 처리 과정에서 나온 트릭 등으로 생각하면 매우 곤란하다. 속박 전하의 물리적 해석에 관한 내용은 이 문서에서 다루는 것에서 벗어나기 때문에 다루지 않으나, 엄현히 '속박 전하'는 물리적으로 의미가 있는 전하임을 인지해야 한다.
2.3. 물질에서의 가우스 법칙
윗 문단에서 편극성 물질에서 편극이 일어났을 경우 속박 전하가 존재한다는 것을 알아내었다. 따라서 편극된 물질에서 가우스 법칙을 적용하면, 엄연히 대전 등으로 생긴 자유 전하 뿐만 아니라 이 속박된 전하까지 생각해줘야 하므로 가우스 법칙은 아래와 같이 쓸 수 있다.
$$ \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E} = {\rho_{f}+\rho_{P} \over \varepsilon_0} $$
그런데 윗 문단에서 $$ \rho_{P} \equiv - \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{P} $$이었으므로
$$ \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E} =\frac {\rho_{f}}{\varepsilon_0}-\frac{\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{P}}{\varepsilon_{0}} $$
$$ \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \left( \varepsilon_{0}\mathbf{E} + \mathbf{P} \right) = {\rho_{f}} $$
$$ \displaystyle \varepsilon_{0}\mathbf{E} + \mathbf{P} \equiv \mathbf{D} $$
따라서 물질에서의 가우스 법칙을 미분형과 적분형을 각각 다음과 같이 쓴다.
$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{D} = {\rho_{f}} \qquad \qquad \oiint \mathbf{D} \cdot d \mathbf{a} =\iiint_{V} \rho_{f} \,dV' \equiv Q_{f} $$
2.4. 쉬운 버전의 정리
원래 전기장 $$\mathbf{E}$$는 진공에서 정의 되었고, 맥스웰 방정식도 이 장을 이용한다. 하지만 이제 진공이 아니라 어떠한 물체를 고려해보라. "자유전하" $$Q_f$$를 어딘가에 놓아서 물체에 전기장이 가해지면, 이 물체의 원자들 안에 있는 핵과 전자들이 살짝 분리되어, 쌍극자 모멘트를 만든다. 이 쌍극자 모멘트들은 스스로 또 전기장을 만든다. 따라서 가장 일반적인 가우스의 법칙
$$ \displaystyle \iint\varepsilon_0\mathbf{E} \cdot d\mathbf{a}=Q_{\text{enc}} $$
이 전하 분리 때문에 폐곡면 $$S$$가 둘러싸는 전하의 변화량을 $$Q_i$$라고 칭하자. 그렇다면 가우스 법칙은
$$ \displaystyle \iint_{S} \varepsilon_0\mathbf{E} \cdot d \mathbf{a} =Q_f+Q_i $$
먼저, 폐곡면 $$S$$ 근처에 있는 아주 작은 미세 부피 $$\Delta V$$를 보자. 이 안에 있는 부피당 전하량은 $${q}/{\Delta V}$$고, 적절하게 적분을 하면 $$Q_i$$를 알아낼 수 있을 것이다.
일단 전기 쌍극자는 분리된 전하의 크기와 분리 거리를 통해 정의 되는데, 분리 거리가 길면 길수록 폐곡면을 넘나드는 전하가 많을 것이다. 따라서 폐곡면의 면적당 $$Q_i$$의 크기는 $${(q \cdot d)}/{\Delta V}$$다.(단, $$d$$는 이 작은 미소부피 안에서 생기는 쌍극자 모멘트의 거리) 쌍극자 모멘트를 벡터량으로써 정의할때 방향은 음전하에서 양전하로 정한다. 생각해보면, 쌍극자 모멘트가 바깥쪽으로 향한다면 양전하가 폐곡면을 나간다는 뜻이므로 마이너스가 붙는다. 따라서 면적당 $$Q_i$$, 즉 $${Q_i}/{\Delta S}$$는 $$-{(q \cdot d)}/{\Delta V}$$. 정리하면
$$ \displaystyle \frac{Q_i}{\Delta S} = -\frac{q \cdot d}{\Delta V}$$
$$ \displaystyle Q_i= -\iint_{S} \mathbf{P} \cdot d\mathbf{a}$$
$$ \displaystyle \iint_{S} (\varepsilon_0\mathbf{E+P}) \cdot d\mathbf{a} =Q_f $$
$$ \displaystyle \mathbf{D} \equiv \varepsilon_0\mathbf{E+P} $$
3. 변위장의 다른 표현
선형 편극성 물질에 대한 편극 밀도는 다음과 같이 나타내어 진다.[2]
$$ \displaystyle \mathbf{P} = \varepsilon_{0}\chi_{e}\mathbf{E} $$
$$ \displaystyle \mathbf{D} = (1+\chi_{e})\varepsilon_{0}\mathbf{E} $$
$$ \displaystyle 1+\chi_{e} \equiv \kappa $$
$$ \displaystyle \kappa \varepsilon_{0} \equiv \varepsilon $$
$$ \displaystyle \mathbf{D}=\varepsilon \mathbf{E} $$
유전율에 대한 자세한 내용은 유전율 문서를 참고할 것을 권한다.
4. 변위장의 회전
전기장은 비회전장으로서,
$$ \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E} = 0 $$
변위장의 회전을 취해보면,
$$ \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{D}=\boldsymbol{\nabla} \times (\varepsilon_{0}\mathbf{E}+\mathbf{P})=\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{P} $$
5. 변위장의 경계 조건
[image]
위 그림과 같이 물질이 다른 두 매질 I, II를 고려하자. 전기장 문서에서 '전기장의 경계 조건'을 결과를 가져오면,
$$ \displaystyle \mathbf{E_{2}} \cdot \hat{\mathbf{n}}- \mathbf{E_{1}} \cdot \hat{\mathbf{n}}=\frac{ \sigma }{ \varepsilon_{0} } $$
$$ \displaystyle \sigma=\sigma_{f}+\sigma_{P_{1}}+\sigma_{P_{2}} $$
$$ \displaystyle \sigma_{P_{1}}=\mathbf{P_{1}} \cdot \hat{\mathbf{n}}, \,\,\, \sigma_{P_{2}}=\mathbf{P_{2}} \cdot (-\hat{\mathbf{n}}) $$
$$ \displaystyle \sigma=\sigma_{f}+ (\mathbf{P_{1}}-\mathbf{P_{2}}) \cdot \hat{\mathbf{n}} $$
$$ \displaystyle \mathbf{E_{2}} \cdot \hat{\mathbf{n}}- \mathbf{E_{1}} \cdot \hat{\mathbf{n}}=\frac{ \sigma_{f} }{ \varepsilon_{0} }+\frac{(\mathbf{P_{1}}-\mathbf{P_{2}}) \cdot \hat{\mathbf{n} } }{\varepsilon_{0}} $$
$$ \displaystyle \left [ \left ( \varepsilon_{0}\mathbf{E_{2}}+\mathbf{P_{2}} \right )-\left ( \varepsilon_{0}\mathbf{E_{1}}+\mathbf{P_{1}} \right ) \right ] \cdot \hat{\mathbf{n}}=\sigma_{f} $$
$$ \displaystyle \mathbf{D_{2}} \cdot \hat{\mathbf{n}}- \mathbf{D_{1}} \cdot \hat{\mathbf{n}}={ \sigma_{f} } $$
$$ \displaystyle \mathbf{D_{1}} \cdot \hat{\mathbf{n}}= \mathbf{D_{2}} \cdot \hat{\mathbf{n}} $$
또한, 매질 $$ i $$에서 유전율을 $$ \varepsilon_{i} $$라 하고, $$ \mathbf{E}_{i}=-\boldsymbol{\nabla} \Phi_{i} $$와 $$ \mathbf{D}_{i}=\varepsilon_{i}\mathbf{E}_{i} $$임을 이용하면,
$$ \displaystyle \varepsilon_{1} \frac{\partial \Phi_{1}}{\partial n}-\varepsilon_{2} \frac{\partial \Phi_{2}}{\partial n}=-\sigma_{f} $$
또 하나의 경계 조건은, 전기장 자체는 보존장이므로
$$ \displaystyle \mathbf{E_{1}} \cdot \hat{\mathbf{t}}= \mathbf{E_{2}} \cdot \hat{\mathbf{t}} $$
6. 심화: 변위장과 편미분 방정식
전기 퍼텐셜 문서에서 진공 중의 상황을 다룰 때, 푸아송 방정식을 푸므로써 어떤 정전기학적 상황에 대한 퍼텐셜을 결정할 수 있고, 구한 퍼텐셜에 그레이디언트 연산을 함으로써 장 또한 결정할 수 있음을 논의했다. 이 문단에서는 구하는 영역에 편극성 물질이 있을 때도 유사한 방법을 적용할 수 있는지 보고자한다.
위에서 변위장의 발산이
$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{D}=\rho_{f} $$
$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot (\varepsilon \mathbf{E})=\rho_{f} $$
$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot (\varepsilon \boldsymbol{\nabla} \Phi)=-\rho_{f} $$
$$\displaystyle \varepsilon \nabla^{2} \Phi+\boldsymbol{\nabla} \varepsilon \cdot \boldsymbol{\nabla} \Phi =-\rho_{f} $$
$$\displaystyle \nabla^{2} \Phi=-\frac{\rho_{f}}{\varepsilon} $$
$$\displaystyle \varepsilon \nabla^{2} \Phi+\boldsymbol{\nabla} \varepsilon \cdot \boldsymbol{\nabla} \Phi =-\rho_{f} $$
따라서 위의 방정식을 풀고, 구한 퍼텐셜에 그레이디언트 연산을 취하면, 장을 결정할 수 있음을 얻는다.
7. 관련 예제
8. 관련 문서
[각주]