정사영

1. 개요

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orthographic projection · 正射影
아래의 그림과 같이, 도형의 각 점에서 한 평면에 내린 수선의 발이 그리는 도형.

얼핏 보면 평면 위로의 그림자와 매우 유사해 보인다. 실제로 위의 그림에서도 위쪽에 불빛이 있다고 가정하고 생각하면 정사영된 도형은 그림자와 같다. 그러나 엄밀하게는 정사영과 그림자는 다른 것이다. 그림자는 광원이 물체로부터 멀어질수록 크기가 커지고 흐려진다.

2. 기하학에서의 정사영

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2.1. 길이에 관한 공식

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그림과 같이 선분 $$\mathrm{AB}$$를 평면 $$S$$에 정사영 했을 때 나타나는 선분의 길이를 구하고자 한다. 정사영의 정의에 의해 점 $$\mathrm{A}$$와 $$\mathrm{B}$$에서 평면 $$S$$에 내린 수선의 발을 각각 $$\mathrm{A'}$$와 $$\mathrm{B'}$$라 하자. 그렇다면, 우리가 구하는 것은 곧 선분 $$\mathrm{A'B'}$$의 길이가 된다.
그런데 이 선분을 평행 이동시켜, $$\mathrm{A' \to A}$$가 되게 하면, 직각 삼각형 $$\mathrm{BAB''}$$가 나온다. $$\overline{\mathrm{AB}} \equiv l$$, $$\overline{\mathrm{A'B'}}=\overline{\mathrm{AB''}} \equiv l'$$라 한다면, 결국 우리는 아래와 같음을 얻는다:

$$\displaystyle l'=l\cos{\theta} $$

이때, 각 $$\theta$$는 곧 '''두 선분이 이루는 각'''임에 유의하여야 한다.

2.2. 넓이에 관한 공식

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그림과 같이 평면 $$S_{1}$$에 면적 $$A$$인 도형이 있고, 이것을 평면 $$S_{2}$$에 정사영 시킨 도형의 면적을 $$A'$$라 하자. 또한, 평면 $$S_{1}$$과 평면 $$S_{2}$$의 '''이면각'''은 $$\theta$$라 하자. 이때, 다음이 성립한다.

$$\displaystyle A'=A\cos{\theta} $$

평면 $$S_{1}$$, 평면 $$S_{2}$$의 단위 법선 벡터를 각각 $$\hat{\mathbf{n}}_{1}$$, $$\hat{\mathbf{n}}_{2}$$라 하면, 이면각의 cosine 값은

$$\displaystyle \cos{\theta}=\hat{\mathbf{n}}_{1} \cdot \hat{\mathbf{n}}_{2} $$

로 쓸 수 있다. 다만, 우리가 다루는 게 넓이임을 상기하면, 내적 값은 음 또한 가능하므로 절댓값을 취해줄 필요가 있으므로

$$\displaystyle A'=A\, |\hat{\mathbf{n}}_{1} \cdot \hat{\mathbf{n}}_{2} |$$

로도 구할 수 있음을 얻는다.
주의해야할 사항은 길이에 관한 공식에서 $$l \to A$$로 대치했다고만 생각하면 절대 안된다. 길이에 관한 공식에서 $$\theta$$는 '''두 선분이 이루는 각''', 이 경우는 '''두 평면의 이면각'''임에 유의해야 한다.

2.3. 벡터 사영과 스칼라 사영

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공간 상의 영벡터가 아닌 두 벡터 $$\mathbf{V}$$와 $$\mathbf{U}$$를 고려하자. 우리는 벡터 $$\mathbf{V}$$를 벡터 $$\mathbf{U}$$ 위로 정사영 시킨 벡터를 생각할 수 있고, 해당 벡터를 벡터 사영이라 한다. 기호로는 다음과 같이 나타낸다.

$$\displaystyle \mathrm{proj}_{\mathbf{U}} \, \mathbf{V} $$

아래의 그림을 참조하자.

우선 벡터는 선분과 같은 케이스로 취급할 수 있으므로 우리가 찾는 벡터의 길이는 정사영의 정의에 따라

$$\displaystyle | \mathrm{proj}_{\mathbf{U}} \, \mathbf{V} |=|\mathbf{V}||\cos{(\mathbf{V},\,\mathbf{U})}| $$

이다. $$(\mathbf{V},\,\mathbf{U})$$는 두 벡터가 이루는 각이다.
그렇다면, 우리가 찾는 벡터의 방향은 무엇일까? 바로, $$\mathbf{U}$$와 같을 것이다. 따라서 우리는 $$\mathbf{U}$$와 평행하면서 크기가 $$1$$인, 단위 벡터

$$\displaystyle \frac{\mathbf{U}}{|\mathbf{U}|} $$

를 $$\displaystyle \mathrm{proj}_{\mathbf{U}} \, \mathbf{V} $$의 방향이라 쓸 수 있다. 다만, $$\mathbf{U}$$와 반전되는 경우도 있기 때문에 앞에

$$\displaystyle \frac{\cos{(\mathbf{V},\,\mathbf{U})}}{|\cos{(\mathbf{V},\,\mathbf{U})}|} $$

를 덧붙일 필요가 있어, 우리는 벡터

$$\displaystyle \frac{\cos{(\mathbf{V},\,\mathbf{U})}}{|\cos{(\mathbf{V},\,\mathbf{U})}|} \frac{\mathbf{U}}{|\mathbf{U}|} $$

를 벡터 $$ \mathrm{proj}_{\mathbf{U}} \, \mathbf{V}$$의 방향으로 설정할 수 있다.
이 때,

$$\displaystyle \cos{(\mathbf{V},\,\mathbf{U})}=\frac{\mathbf{V} \cdot \mathbf{U}}{|\mathbf{V}||\mathbf{U}|} $$

로 쓸 수 있는 점을 상기하면, 우리가 찾는 벡터 사영은

$$\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{proj}_{\mathbf{U}} \, \mathbf{V}&=|\mathbf{V}| \frac{|\mathbf{V} \cdot \mathbf{U}|}{|\mathbf{V}||\mathbf{U}|} \frac{\mathbf{V} \cdot \mathbf{U}}{|\mathbf{V} \cdot \mathbf{U}|} \frac{\mathbf{U}}{|\mathbf{U}|} \\ &=\frac{\mathbf{V} \cdot \mathbf{U}}{|\mathbf{U}|^{2}} \mathbf{U} \end{aligned} $$

로 쓸 수 있다.
참고로 위의 벡터 사영의 크기를 스칼라 사영이라 하고, 스칼라 사영은

$$\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{comp}_{\mathbf{U}} \,\mathbf{V} &= |\mathrm{proj}_{\mathbf{U}} \,\mathbf{V}| \\&= \left| \frac{\mathbf{V} \cdot \mathbf{U}}{\mathbf{U}} \right| \end{aligned} $$

이다.

2.4. 기타

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• 기하와 벡터 혹은 기하 과목 중 가장 어려운 파트 중 하나이며, 그렇기 때문에 수능 수학 영역에서 킬러 문제로 단골로 출제되는 내용이다. 과거 수능에는 고정 29번으로 순수 공간도형을 주고 그 도형에 태양광선을 비추어 정사영을 이용해 이면각을 구하는 게 추세였다면, 현재는 벡터를 정사영 시켜 도형의 방정식을 유도해 그 도형들(직선, 평면, 구) 사이의 위치 관계를 파악하는 것이 중요한 문제들이 킬러로 출제된다.
• 정사영 파트는 정사영에 대한 정확한 정의를 알아야 응용 문제에 응용할 수 있다. 개념 공부할 때, 반드시 정사영의 정의는 10번 이상 읽어보는 게 기본이다.
• 학생들은 이와 관련된 문제를 풀 때, 문제를 잘 읽어야 한다. 왜냐하면, 어디 평면을 기준으로 정사영 시켰느냐에 따라 정사영은 달라지며, 위에서 미리 경고를 주었지만, $$\theta$$의 의미를 길이와 넓이의 경우가 다르다는 것을 인지하지 못하거나 착각하여 실수하는 등 오류를 범할 가능성이 높기 때문이다.

3. 선형대수학에서 정사영

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3.1. 사영

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$$ V $$를 벡터공간이라고 하자. 그러면, 선형변환 $$ T:V\to V $$가 $$ T^{2}=T $$를 만족하면 $$ T $$를 사영이라 한다.
조건 $$ T^{2}=T $$를 멱등성(idempotence)이라고 한다. 여러번 적용해도 한번 적용한 것과 같은 결과가 나온다는 뜻. 그렇다면 멱등성이 있는 선형변환을 왜 사영이라고 부르는지 의문이 생길 것이다. 종이에 연필을 세워놓고 빛을 빚춘다고 생각해보자. 그러면, 연필이 세워진 방향에 상관없이 연필의 그림자는 종이에 생긴다. 그럼 그 그림자의 길이와 똑같은 연필을 준비해서 방금 그 그림자와 일치하도록 종이 위에 놔두고 다시 빛을 쬐면, 방금과 똑같은 그림자가 다시 한번 생길것이다.
즉, 연필이 벡터라면, 연필에 빛을 비춰서 그림자를 만드는 변환 $$ T $$의 상(image)이 종이인거고, 연필의 그림자에 다시한번 $$ T $$를 적용해도, 같은 그림자가 나오므로 멱등성이 있는 것이다.
다음 성질은, 사영의 기본적 성질중 하나이다.

$$ T:V\to V $$가 사영이면, $$ \text{Im}\,T\oplus \text{Ker}\,T=V $$

가 성립한다.

[증명] --- 임의의 벡터 $$ v\in V $$에 대하여 $$ T(v-T(v))=T(v)-T^{2}(v)=0 $$이 성립한다. 즉, $$ v-T(v) \in \text{Ker}\,T $$이고, $$ v=T(v)+(v-T(v)) $$이다. 또한, $$ v\in \text{Im}\,T \cap \text{Ker}\,T $$이면 $$ T(w)=v $$인 $$ w \in V $$가 존재하여, $$ 0=T(v)=T^2 (w)=T(w)=v $$이다.

반대로, $$ U\oplus W=V $$이면, $$ \text{Im}\,T=U $$이고, $$ \text{Ker}\,T=W $$인 사영 $$ T $$가 유일하게 존재한다. $$ v\in V $$이면, $$ v=u+w $$를 만족하는 $$ u\in U $$와 $$ w\in W $$가 유일하게 존재해서, $$ T(v)=T(u)+T(w)=u+0=u $$로 $$ T $$의 함수값을 유일하게 결정할 수 있기 때문이다.

3.2. 정사영

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직교성을 정의하려면 내적이 주어져야 한다. 두 벡터의 내적이 0일때 두 벡터가 직교한다고 하니까. 내적공간 $$V$$의 부분공간 $$U$$에 대하여,$$\text{Im}T=U$$이고 $$\text{ker}T=U^{\perp}$$인 사영 $$T:V\to V$$가 유일하게 존재하는데, 이 때 $$T$$를 $$V$$의 $$U$$로의 정사영이라 한다.

4. 관련 문서

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• 수학 관련 정보
• 기하학
• 기하와 벡터, 기하(교과)
• 겨냥도