선형대수학

 




1. 개요
2. 상세
3. 역사
4. 이과에게
4.1. 공대생들은
4.2. 수학과/수학교육과 학생들은
4.3. 통계학과 학생의 경우
4.4. 물리학과/물리교육과의 경우
4.5. 화학과/화학교육과의 경우
4.6. 생명과학과/생물교육과의 경우
5. 문과에게
6. 선형대수학의 주제들
7. 교재
8. 참고 문서


1. 개요

Linear Algebra · 線型代數學
덧셈과 상수곱 구조를 갖고 있는 벡터공간과 그 위에서 정의되고 벡터공간의 연산 구조를 보존하는 함수인 선형사상[1]에 관한 대수학.

2. 상세

선형대수학의 벡터는 2차원이나 3차원에 그릴 수 있는 벡터뿐만이 아니라, 덧셈/뺄셈과 실수배(혹은 복소수배)가 가능한 추상적인 대상들로 정의된다. 우리가 잘 알고 있는 2차원 공간과 3차원 공간의 핵심 성질을 덧셈과 상수곱이라는 두 연산으로 기술하고, 이를 추려 추상화 및 일반화를 시도하는 것. 예를 들어 n개의 실수의 순서쌍에 성분별로 덧셈과 실수상수곱을 주면[2] 이는 "$$n$$차원" 벡터공간이라 할 수 있고, 이를 $$\mathbb{R}^{n}$$ 이라 한다. 벡터공간에서 벡터공간으로 가는 함수 중 덧셈과 상수배를 보존하는 함수를 선형사상이라 하는데, 그 정체는 행렬#s-2이다.[3][4]
어떻게 생각하면 선형대수학은 고교 과정인 기하와 벡터(2007 개정 교육과정)의 '행렬'과 '벡터'를 일반화시켜 어렵게 배우는 것"이라고도 볼 수도 있다.[5] 벡터공간의 구조만을 본다면 그다지 복잡하지 않은 것은 사실이다.[6] 하지만 선형사상으로 넘어간다면 그 성질은 놀랍게 풍부해지고, 군론이나 표현론의 영역까지 들어갈 정도로 수준이 높아지면 우주의 신비를 연구하는 수준이 되어버린다. 녹록하지만은 않은 과목이다.
선형대수의 진가 중 하나는 거의 모든 수학과목의 토대가 되는 범용성이다. 미적분학에선 변수가 조금만 많아져도 선형대수학이 튀어나오고, 기하학에선 거의 모든 공간을 국소적으로 선형대수학의 $$\mathbb{R}^{n}$$이나 $$\mathbb{C}^{n}$$으로 근사시켜 연구한다. 함수들을 벡터로[7] 생각한다는 사고방식은 미분방정식의 이론과 풀이의 해석으로 발전한다. 물리적 상태들을 고차원 추상적 벡터로 나타내고, 이들의 선형적 중첩을 생각하는 양자역학의 기초가 되는 것은 당연. 초등수학에서의 '''숫자'''의 위치를 고등수학에서는 선형대수학이 차지하고 있다고 봐도 과언이 아니다.[8]
자연과학이 아닌 분야에서도 등장하는데, 통계에서 복합적 자료들을 다루는 데 필수로 쓰이고[9], 심지어는 이산적인 대상을 다루는 암호론이나 부호 이론에도 매우 중요하게 쓰이는 도구이다. 대표적으로 비트연산을 이해할 때 계수가 $$\mathbb{Z}_2$$인 다항식들의 집합으로 보는데. 해당 집합은 덧셈과 스칼라배가 잘 정의되는 벡터공간이 된다.[10]
해석학까지는 아니지만 이쪽도 계산 노가다가 꽤나 있는 편이다. 숫자를 뭉텅이로 묶어서 계산하게 되기 때문. 계산노가다와는 별개로 선형대수학에서는 벡터를 '''볼드체'''로 써야 하는데 여기서 팔저림을 호소하는 학생들이 숱하다.

3. 역사

역사적으로는 선형대수학은 연립방정식을 연구하는 과정에서 탄생했다.[11] 연립방정식의 계수로 이루어진 특정 식이 해의 존재성에 영향을 끼치는 것[12]을 알아낸 아서 케일리와 윌리엄 로원 해밀턴이 계수만 따로 떼어 격자 형태로 만들었고 여기서 '''행렬'''이 탄생하게 됐다.
또한 해밀턴은 사원수라는 것을 만들었는데, 여기서 실수부를 '''스칼라''', 3개의 허수부를 '''벡터''', 관련 연산을 '''내적'''과 '''외적'''으로 칭했는데 오늘날에는 사원수와는 별개의 영역으로 발달했다.
더 나아가, 해밀턴은 벡터에도 미적분을 적용하기도 했는데 이를 역삼각형으로 나타낸 [math(\nabla)]로 표기했고 오늘날에 이른다.
본격적으로 선형대수학이 발전하기 시작한 것은 컴퓨터의 발달과 궤를 같이 한다. 손으로 푸는 것과는 비교도 안 되는 연산력을 무기로, 이전에는 상상할 수도 없었던 벡터 및 행렬 연산에서 체계가 하나 둘씩 잡혀갔고, 이것이 현재 우리가 배우는 선형대수학 이론의 토대가 되었다.

4. 이과에게

미적분학과 함께 모든 이과 과목의 '''기초 중의 기초이자 실질적인 기반. 모든 이공계열의 학문 중에 선형대수가 관여하지 않는 학문은 없다고 단언할 수 있다.'''[13][14] 학부 수준에서야 행렬을 다루는 수준에서 끝나지만 심화 학문으로 갈수록 대상을 선형대수에서 다루는 오브젝트로 바라보는 관점이 필요해지는 만큼 선형대수의 중요성은 몇 번을 강조해도 부족함이 없다.
물리학과를 일례로 들면, 선형대수는 양자역학을 기술하는 수학적 근간이 된다. 빗대어서 말해 선형대수를 양자역학의 세계관이라고 보아도 무방할 정도이다. 자세한 설명은 아래에 후술.

4.1. 공대생들은

건축학과와 같이 수학을 필요로 하지 않는 극히 일부의 예외를 제외하고는 공대 소속 학과의 학생이라면 안 배울 수가 없다.
공대생들은 대부분 선형대수학이라는 이름의 과목을 수강한 적이 있을 것이다. 수강한 적이 없더라도, 공업수학에서 행렬을 배운다면 당신은 이미 선형대수학을 공부하고 써먹는 것이다.
공업수학의 선형대수 과정은 주로 행렬에 초점이 맞추어져 있다.[15] 기저(basis)의 개념, 행렬의 계수(rank)/열공간(column space)/영공간(null space), 연립방정식의 풀이, 행렬식(determinant), 고유치(eigenvalue)과 고유벡터(eigenvector)까지는 공통된 내용이지만, 여러 decomposition[16]과 Jordan normal form의 실제 계산 등은 수학과에서는[17] 잘 가르치지 않는 부분이다.[18] 주로 행렬을 간단히 나타내고 쉽게 계산하는 방법에 초점을 맞추게 된다.
개념적인 부분은 주로 basis에 치중되어 있으므로 만약 증명을 처음부터 끝까지 이해하고 활용할 게 아니라면 오로지 계산이 어떻게 되는지만 알아도 무방하게 느껴질 과목이다. 당장 그렇게 사용할 수 있으니까.[19] 그렇지만 (모든 수학 과목이 그렇듯이) 기본적인 개념이 잘 확립되지 않으면 '난 이 작업을 손으로도 할 수 있어. 컴퓨터가 훨씬 빠르게 할 수 있지만...' 정도로 요약이 된다.
다만 제아무리 공학이 원하는 결과를 얻으면 장땡이라 하더라도 이 학문은 단순한 계산 테크닉 이상의 의미가 있다. 공학적 문제를 모델링할 때 나오는 수식들은 대부분 선형성(linearity)을 지니며[20], 선형대수학은 바로 이 선형성에 대한 학문이다. 선형성이라 하면 대개 일차함수부터 떠올리지만, 그뿐만이 아니라 기저(basis)의 스칼라곱과 합으로 전개[21]될 수 있으면 모두 선형적이며, 바로 이 선형성을 나타내는 것이 행렬이다. 따라서 선형성을 지닌 식들은 반드시 행렬방정식으로 표현이 가능하며, 이는 공학적 문제들이 행렬로 취급될 수 있다는 것을 의미한다.
특히 이러한 성질은 변수가 2개 이상인 문제에서 더욱 중요해진다. 간단한 예를 들면, 물리학에서 나오는 2차원 평면에서의 두 물체의 충돌과 그에 따른 운동량 보존을 생각할 때도 x, y라는 2개의 위치 변수를 고려해야 하며, 따라서 연립방정식을 쓰게 된다. 변수가 2개 이상인 식 중에 행렬을 이용하지 않고 푼다면 그건 중고등학교 수학인데[22], 당연히 변수가 많아질수록 이런 방식은 한계가 있다. 변수가 2개일 때야 중학교 때 했던 소거법이나 대입법[23]으로 간단히 풀 수 있을 거고, 변수 3개까지도 위의 방법으로 푼다 해도, 변수가 4개 이상이면 그냥 행렬로 취급하는 게 더 편할 것이다.[24] 단순히 연립방정식만이 아니라 미분방정식에서도 유용한데, 가령 당신이 실제 연구개발 현장에서 연립 비제차(nonhomogeneous)[25] 선형 상미분방정식을 풀어야 한다고 해보자. 비제차 상미방이 하나만 있어도 귀찮아지는데 여러 개면 어떻게 풀어야 할까? 이때는 각 도함수 앞의 계수들로 행렬을 구성해서 풀어야 할 수밖에 없다.
게다가 선형대수학 지식은 수치해석을 듣는 데도 도움이 된다. MATLAB이 당장 행렬 위에서 돌아가며, 변수가 수두룩하게 많은 문제들을 풀 때 특히나 필요하게 된다. Gauss-Seidel method라든지 Hessian, 유한요소해석 같은 녀석들도 전부 행렬로 돌아간다.
컴퓨터과학에서 많이 쓰인다(컴퓨터 그래픽스,수치해석,신호처리,기계학습 등등...).
대부분의 공업수학 교재가 미분방정식을 먼저 다루고 선형대수로 넘어가는데 사실 미분방정식에도 선형대수가 필요한지라 교수의 역량에 따라 선형대수를 먼저 다룬 뒤 미분방정식을 다루는 경우도 있다. 사실 공업수학 전체가 비선형 미분방정식[26]을 제외하면 전부 선형대수를 필요로 한다.

4.2. 수학과/수학교육과 학생들은

앞으로 배울 고급수학에서 선형대수가 관여하지 않는 과목이 손에 꼽을 정도. 해석학과 함께 처음으로 배우는 '''진짜 수학'''.[27] 고교 때까지는 어려워봤자 계산이 복잡했을 뿐이며 어디까지나 그 대상은 직관적인 수와 도형 정도로 한정되었지만, 선형대수학부터는 벡터가 더 이상 당신이 직관적으로 상상하는 고전물리학의 그 벡터가 아니게 된다. 선형대수학에서 벡터공간이란, 단순히 그 정의를 만족하는 모든 오브젝트가 될 수 있으며, 벡터는 그 벡터공간의 원소일 뿐이다. 모든 $$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ 함수의 집합에도 역시 연산자를 정의하여(보통 component-wise 또는 element-wise[28]) 벡터공간으로 만들 수 있고, 이렇게 되면 각각의 $$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$$ 함수가 해당 벡터공간의 벡터가 된다. 그리고, 이 벡터 공간에서 연속함수만을 추출하여 부분벡터공간을 그 안에 만들 수도 있고, 거기서 다시 미분가능한 함수를 추려내서 연속함수공간의 부분공간을 만들 수도 있다. 즉, 수학과 커리큘럼 중 고교수학적 직관과 현대수학적 논리가 격하게 충돌하는 첫 번째 과목이고, 추상적 개념과 엄밀한 증명의 사용을 연습하는 장이 된다. 어떤 과목을 배워도 밑바닥에 깔고 시작하는 기본과목이라는 점에서도 해석학과 똑같다.[29]
수학과의 선형대수 과정은 추상적인 대수적 개념들과 선형함수를 먼저 배운 후에[30], 한참 나중에 학생들에게 친숙한 개념인 행렬과의 연결고리를 보여주는 방식을 취하는 경우도 많다.[31] 공학수학 쪽에서 다루지 않는 개념으로 dual space와 bilinear form, invariant space 등이 있지만, 기본 커리큘럼 이후에는 교수의 재량에 따라서 얼마든지 '이상한 진도'를 뺄 수도 있다. 실제로, 선형대수는 차후 배우는 거의 모든 수학 분야에서 베이스로 깔고 들어가기 때문에 맘만 먹으면 얼마든지 고급 예시나 개념을 끌고 들어와 학생들을 멘붕시킬 수 있는 강력한 과목이다. 이런 경우, 전반적으로 계산보다는 대수적 개념이해에 치중하는 것이 특징. 수학과 학생한테 계산문제 풀어달라고 하지 말자. 계산은 공대 쪽이 더 빠삭한 경우가 많다.
입문 과목으로서의 선형대수학은 본격적인 대수학의 시작으로서 매우 중요하다. 대수학에서 배우는 군(group), 환(ring), 체(field) 등의 '대수적 구조'들 중 대부분은, 보통 벡터공간에서 성립하는 많은 성질들을 변형된 형태로 가지고 있다. 이는 대수적 구조 중 가장 쉬운 성질을 갖고 있는 것이 벡터공간이기 때문이다. 대수학을 공부한다면 선형대수의 증명 테크닉은 끝없이 반복되어 나타날 것이다.[32]
하지만 테크닉보다도 중요한 것은, 대수학의 사고방식을 체득하는 것이다.[33] 대다수의 대수적 구조들은 "구조가 주어진 집합"과 "구조를 보존하는 함수"의 쌍으로 정의된다.[34][35] 많은 경우에 이들을 다루는 방법은 놀랄 만큼 비슷하다. 특히 사상과 관련해서 선형사상에 적용된 kernel과 image, isomorphism 등의 주제는 모든 대수적 구조에 대해 일반화되는 개념이고, 이들을 이해하는 것은 학부 대수학의 목표 중 하나이다. 그리고, 거의 모든 수학분야에 공통적으로 퍼져있는 이런 양상은 Category theory로 귀결된다. 실제로, dual space를 설명하기 위해 Category와 Functor 개념을 도입하는 교수도 있다.
보통의 수학과 학생들의 선형대수학은 여기서 끝이지만, 선형대수학이 여기서 완전히 끝나는 것은 아니다. 행렬의(혹은 선형사상의) 군과 그 공간에의 작용을 탐구한다고 볼 수 있는 표현론(representation theory)은 현대수학 전반에 자리잡고 있는 테마 중 하나. 사람에 따라서는 선형대수학이 알파이자 오메가라 해도, 아예 틀린 말은 아닐 것이다.

4.3. 통계학과 학생의 경우

미적분학과 더불어 기본적으로 익히고 들어가야하는 과목이다. 특히 이론통계학, 수리통계학, 회귀분석 파트는 선형대수학을 베이스로 펼쳐지는 과목이다. 즉, 이 과목 하나를 못한다는 이유로, 통계학의 절반이상을 이해하지 못하고 넘기게 될 것이다. 통계학의 특성상 공식을 이해없이 암기해도, 수치를 대입하면 원하는 결과에 쉽게 도달할 수 있다. 하지만 이런 공부법은 어디까지나 통계학을 도구로만 보는 공대생, 상경대생에게만 통용되는 이야기이다. 통계학을 전공하는 당신은 공식이 만들어진 원리를 이해해야 하는건 물론, 상황에 따라 적절한 공식을 스스로 만들어 낼 줄 알아야한다. 이런 통계학의 수학적 메커니즘을 파악하게 하는 기본적 베이스가 선형대수학인것이다. 이런 이유로 암만 응용통계학, 통계 패키지에 통달했다 해도, 대학원에서는 선형대수학(을 위시로 한 이론통계학) 성적이 좋지 않은 학생은 받아주지 않는다.
문과 학생들이 많은 우리나라 통계학과 특성상, 많은 통계학과 학생들의 무릎을 꿇리는 부분이기도 하다. 고교시절 미적분학에 대한 기초적인 이해가 있기때문에 미분적분학은 어지저찌 따라가지만, n차원의 공간을 다루는 선형대수를 만나면 다수의 주변 학우들이 책을 라면받침으로 사용하는 모습을 볼 수 있다. 수리통계학, 통계모델, 기계학습 등 통계가 쓰인 모든 곳이라면 선형대수학은 함께한다. 그렇기 때문에 선형대수학과 맞지 않는 학생의 경우 통계와 관련한 전공이 맞는지에 대해서 진지하게 고민해보아야 한다.

4.4. 물리학과/물리교육과의 경우

관성 텐서의 대각화나 정상 상태의 모드를 구할 때, 라플라스 방정식의 일반해를 구할 때 등 여러 군데에서 필수 요소로 들어가지만, 뭐니뭐니해도 진짜 중요한 문제는 다름 아닌 '''양자역학'''이다. 부분적으로 계산법만 익혀서 문제를 푸는 것이 가능은 하다. 하지만 선형대수의 체계를 이해하지 못하면, 양자역학의 구조적 기술 체계를 이해하는 것은 애초에 불가능하다. 애초에 양자역학의 기본 공리 중 하나가 "관측가능한 물리량이 힐베르트 공간에서 연산자로써 표현된다"는 점을 들 수 있는데, 함수해석학, 군론과 더불어 선형대수는 이러한 공리를 받아들이는데 큰 도움을 준다.
양자역학에서는 '연산자'라는 개념이 중요한데, 쉽게 생각해서 연산자란 어떤 상태함수에 대하여 측정값을 내놓는 것을 말한다. 예를 들어 다음과 같은 식 $$\hat{A}\psi=a\psi$$에서, $$\hat{A}$$는 연산자, $$\psi$$는 상태함수, $$a$$는 측정값을 의미한다. 유심히 살펴보면, 선형대수의 '''고윳값 문제'''의 모양임을 알 수 있다! 이 상태함수들은 고유함수에 해당하고 이 함수들의 선형 결합으로 실제 시스템을 묘사하게 된다. 또한 이 연산자에 대한 기댓값(평균)을 구하고자 한다면,
$$\left \langle A \right \rangle=\int \psi^{*}\hat{A}\psi dx$$ 혹은 같은 말로 $$\left \langle A \right \rangle=\left \langle \psi|\hat{A} \psi \right \rangle$$와 같이 계산할 수 있는데, 이는 내적공간(inner product space)에서 정의된 내적의 성질과 일맥상통한다. 이때 우변의 $$\left \langle | \right \rangle$$ 같은 기호는 디랙 표기법으로, 특별히 양자역학에서 벡터를 나타내기 위한 독특한 표기법이다. 이러한 내용들은 이제 시작일 뿐으로, 앞으로 양자역학을 공부하면서 Hermitian operator라든지 Hilbert space라든지 commutator와 같은 흉악한(?) 것들과 신물나게 마주할 수 있으며, 앞서말한 dual space나 spectral decomposition 같은 수학과에서 배우는 '이상한 진도'가 갑자기 튀어나오는 진귀한 광경도 볼 수 있다. 나중에 가면 한술 더 떠서 위의 연산자를 진짜로 행렬로 나타내는 법을 배운다. 아니, 애초에 하이젠베르크가 양자역학을 처음 내놓을 때 이름이 '''행렬역학'''이었으니 더 이상의 자세한 설명은 생략한다.
양자역학이 현대물리학의 심장인 동시에 선형대수학이 양자역학의 심장이 되므로 당신이 물리학도라면 정말로 제대로 해놓자.

4.5. 화학과/화학교육과의 경우

반드시 들어야 하는 것은 아니지만, 화학과도 물리화학에서 양자화학을 배우기 때문에 알아두면 도움이 될 수 있다. 예를 들어 Hermitian operator, 파동함수의 orthogonality, molecular orbital theory에서 다원자분자의 Hamiltonian을 행렬로 취급하는 등[36]의 내용은 선형대수학의 개념이 들어가 있다. 또한 무기화학에서 군론은 선형대수학의 연장선 느낌이므로 선형대수를 해두면 이해가 수월하다.
계산화학 분야에서는 컴퓨터로 양자화학적 계산을 하므로 선형대수적 이해가 있다면 도움이 된다.

4.6. 생명과학과/생물교육과의 경우

대개의 경우 배우지 않고 졸업한다.
하지만 유전학을 공부하면서 통계적 방법을 사용한다면 이 과정에서 선형대수가 튀어나오는 건 다반사. 뿐만 아니라 유전학의 가장 기본적인 개념인 푸네트 스퀘어는 아예 행렬로 순차적으로 알고리즘화도 가능할 지경. 가장 간단한 예를 들자면 포식동물 A와 초식동물 B 간의 장기간에 걸친 개체수 변화 및 비율 고정을 예측할 수 있다.
그리고 생명공학 전공자가 화학공학을 복수전공/부전공한다면 배워야 할 것이다. 생물교육과의 경우 물/화/지 공통과학교육과정을 이수해야 하므로 선형대수를 배운다.[37]

5. 문과에게

  • 경제학과인데 대학원을 진학할 예정인 경우: 학부 시절 무조건 공부해놔야 한다. 대학원 수준 미시경제학에서 필수적인 선수과목이 선형대수학과 해석학이다. 유학갈 생각이라면 이 둘은 A를 사수해야 하는 과목이며 이 둘 이후로도 통계학과 및 수학과 강의를 훨씬 심화해서 듣게 된다. 산 너머 산... 그래도 긍정적으로 생각하자. 고급수학 지식을 알면 연구 가능 분야가 상당히 넓어진다!
  • 경제학과이지만 학부까지만 졸업할 예정인 경우: 듣지 않아도 무방하다. 최소한의 선형대수 기반 지식은 필수이지만, 그 '최소한'에 대해서는 경제수학이라는 과목을 열어서 문과 수학만 떼고 오면 한 학기 안에 충분히 가르쳐 준다. 더 알고 싶다고 해도 후수과목인 수리경제학과 계량경제학 선에서 가르쳐준다. [38]
  • 박사 과정에 진학할 건데 자기 전공분야에서 통계학과 수치해석을 심도있게 이용해야 하는 경우: 각종 decomposition이며 quadratic form에 관한 내용은 공부 좀 하다 보면 밥 먹듯이 나온다. 단순히 축약 형태의 회귀분석 돌리는 거 이상의 복잡한 모델로 연구할 경우 논문 쓸 때 코딩을 위해 수치해석을 공부해야 하는데 이때도 필수이다. 요새 사회과학이 전반적으로 계량적 방법론을 강조하는 추세라, 연구자가 목표이면 비상경계열도 난 안 할거야 하고 안심할 수는 없다. 경제학은 행동경제학이 대세라서 수학보다 사회과학 쪽이 다시 강조되는 트렌드라고 하지만, 행동경제학도 결국 수학적으로 행동을 보다 정밀하게 예측하면서 계량적으로 측정해보려는 노력이 들어가므로 결국 수학/통계는 필수다.
  • 수리사회학을 대학원에서 전공할 사회학과 학생: 선형대수학은 전공기초과목이므로 모르면 아무것도 할 수 없다.
  • 문과 대학원에 진학할 예정이지만 자기 전공분야에서 통계학을 쓰지 않는 경우: 평생 모르고 살아도 직장을 충분히 잡을 수 있다. 예를 들어서 법학전문대학원이라든가 통번역대학원이라든가...
  • 어문계열 대학원의 전산언어학 관련 분야(음성학, 음운론, 코퍼스, 통사론, 의미론 등등): 세부적으로 뭘 하느냐에 따라 달라지지만, 프로그래밍은 반드시 익혀놔야 한다.

6. 선형대수학의 주제들

어느 선형대수 과정에나 기본적으로 들어가는 주제들.
공학수학 또는 수치해석 과정에 들어갈 수 있는 내용.
  • 삼각화, 행렬의 여러 분해방법[41], 분해정리
  • 행렬미적분학[42]
  • 선형미분방정식, 마르코프 연쇄 등으로의 응용
주로 수학과에서 앞에 말한 '이상한 진도'를 뺄 때 나오는 내용들.
  • 벡터 공간: 상공간 동형정리[43], 직합
  • 작용소의 분석: 불변 부분공간, 분해정리, 유리표준형식과 조르당 표준형 존재성
  • 다중선형대수학: 텐서곱, 대칭 대수, 교대 대수, 쌍대 공간, 쌍일차 형식
  • 정규행렬의 스펙트럼 정리, 대칭행렬과 직교행렬로의 응용
  • 이차형식, 선형군, 직교기하와 심플렉틱 기하 등

7. 교재

고교수학은 다 끝내고 봐야 잘 읽힌다. 만약 제대로 고교수학을 다지지 않고 바로 공부한다면 은근히 안 읽히므로 주의할 것. 이인석과 호프만을 제외하고 한국의 2007 개정 교육과정(2016학년도 수능 수학 B형 범위) 기준으로 공부하면 충분하다.
  • Gilbert Strang, Linear Algebra and Its Applications, Brooks
현직 MIT 교수인 Gilbert Strang이 쓴 교재. 주로 수학과가 아닌 타과생들에게 초점이 맞춰진 책으로 기본적인 선형대수학적 개념과 더불어 수치적인 방법, 선형계획 및 게임 이론 등을 소개하고 있다. 공대에서 많이 쓰는 책답게 추상적인 정리나 대부분의 증명을 생략하고 행렬 위주로 직관적으로 이해하도록 되어 있어 쉽게 읽을 수 있고, 응용에 최적화 된 책이다. 번역본이 나와있는데 번역가 특유의 성향 때문에 평은 좋지 않으며,[44] 선형대수학을 더 엄밀하게 공부하고 싶다면 아래 책들을 같이 보는게 도움이 된다. MIT에서 Gilbert Strang 본인이 Introduction to Linear Algebra라는 교재로 한 강의를 무료로 공개하고 있으니 참고하는 것도 좋다.링크
  • S. Friedberg 외 2명, Linear Algebra, Pearson
Friedberg, Insel and Spence 3명이 쓴 선형대수학 책으로, 2019년 3월 현재 5판까지 나와있다. 전에 나온 4판 국제판의 경우 뒷 부분 내용(Rational Canonical Form, Singular Value Decomposition 등)이 빠져있거나 축약되어 있어서 원판을 아는 사람들에게 신명나게 까였고[45] , 그 때문에 5판이 나오기 전까진 많은 사람들이 원판을 pdf로 보곤 했다. 상당히 친절하고 초보자도 보기 좋아서 수학과가 아닌 공대에서도 사용하는 책이다. Theorem이나 Proposition들이 step by step으로 친절하게 서술되어 있는 편이며, Definition과 Theorem을 다음에는 거의 강박적이다 싶을 만큼 친숙한 Example들을 주어서 이해를 돕는다. 군데군데 Figure도 적절히 들어가 있다. 많이 쓰이는 책이다 보니 solution도 비교적 충실하다. 그러면서도 현대대수학 교재에 들어갈만한 내용은 최대한 배제했다. 스트랭은 공대생 전용이다 보니 증명보다는 정리의 적용 및 계산에 집중했고, 아래 호프만과 이인석 교재는 초보자가 보기엔 좀 힘든 감이 있는데, 수학적 논리성을 잃지 않으면서도 진입장벽이 높지 않은 책을 찾는다면 이 책을 추천한다.(초보자의 경우 asterisk(별표) 표시가 된 optional part(심화 파트)는 굳이 읽지 않아도 된다.) 5판 번역본(한빛아카데미, 2020)이 발매되었다. 다행히도 4판 국제판이 아닌 내용 삭제없는 최신판인 5판을 번역(했는데, 칠판체 대신 돋움체로 도배해놓는, 그러면서도 돋움체라는 신선함과 어울리지 않게 요즘 교과서들 중에서는 암묵의 룰이 된 스칼라와 벡터의 구분을 위한 볼드체 표기에는 굉장히 보수적이다못해 무신경한 원저자들의 취향을 그대로 가져오느라 다른 책들을 보다 이 책을 펼쳐보는 독자는 가독성에 있어 문제를 겪을 수 있다. 그럼에도 불구하고 그런 취향에 적응을 한다면 알 수 있는 장점이 있는데, 기본적인 번역의 질이 매우 높다는 점이다. 1쇄의 일부 오탈자도 꼼꼼이 검수하여 출판사에 게시되어 있어 번역서의 필수 덕목인 책임감 있는 번역을 제대로 실천하였다. (숨마쿰라우데 1학년 책을 집필한 저자인 김우섭 선생님께서 번역하였다.) 또한 원서가 딱딱하게 편집되어 있는 반면, 푸른색을 곁들여 정의와 정리를 명확히 보여주는 등 전반적 편집이 우수하다.
  • Kenneth Myron Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, Prentice Hall (2nd)
옛날에 주로 쓰였던 고전 명저. 현대대수와 선형대수를 오가는 고전적인 스타일을 쉽게 설명 해놨기에 외국에선 하버드대, 국내에선 KAIST 등 현재까지도 많은 대학에서 애용하는 책이다. 그러나 이 점이 반대로 독이 되기도 하는데, 보통 대부분 현대적인 대학 커리큘럼에서 현대대수보다 선형대수를 먼저 배우는 걸 생각하면 선형대수를 처음 접하는 사람에게는 추천하지 않겠다는 의견도 있다.
  • 이인석, 학부 대수학 강의 1: 선형대수와 군, 서울대학교출판부
현직 서울대학교 수리과학부 이인석 교수가 쓴, 서울대학교 수리과학부 2학년 학생들을 대상으로 한 선형대수학 교재. 2005년에 초판이 나왔는데 첫 개정판은 10년이나 지난 2015년 5월에야 나왔다(...). 통년 과정으로 되어 있기 때문에 상술한 '이상한 진도' 또한 거의 다 들어가 있다.[46] 특이한 점이라면 이야기책을 표방하고 있으며(...), 그에 걸맞게 문체가 딱딱하지 않은 편이다.[47] 곳곳에 농담이나 ㅋㅋ, ㅎㅎ 같은 초성체가 들어간 것도 특징.[48] 제목의 '학부 대수학 강의 1'에서도 알 수 있듯이, 당연히 속편(?)격인 2권도 존재한다. 이쪽은 3학년 과목인 현대대수학 내용[49]을 다룬다. 이미 선형대수학에 익숙하고 (혹은 그냥 수학을 잘하고) 되짚기 용으로는 좋은 교재이나, 글씨 표기가 따라쓰기 힘든 점[50], 농담이 가끔 속터지게 하는 경우가 있는 점[51], 영어/한국어/한자가 뒤섞여 가독성이 떨어진다는 점[52] 등으로 인해 호불호가 갈리는 편이다.애초에 서울대생을 대상으로 한 책이니만큼 보통 학생들을 대상으로 한 교과서 같은 자세/친절한 설명을 기대하면 안 된다.[53][54] 또한 2만 원대의 착한 가격에 양장본 결정적으로 앞에서 말한 '이상한 진도'의 내용을 모두 다루는 굉장한 책이다. 이 교재 한 권이면 학부수준에서 다루는 선형대수의 문제는 모두 해결할 수 있다. 단점이라면 행렬이 아닌 대수적 개념이해에 치중된 교재이다보니 일반적인 공업수학을 공부한 공학도들에게는 허들이 상당히 높은 편.
참고로 서문에 쓰인 'JKR에게 감사하며'라는 말의 경우, 해리 포터 시리즈의 저자인 조앤 K. 롤링을 가리키는 것이 거의 확실하다. 몇몇 단서를 꼽자면...
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  • Howard Anton, Contemporary Linear Algebra(번역명: 최신선형대수)
책 표지가 개코원숭이라 일명 개코원숭이라고도 불린다. 선형대수학의 모든 개념을 우리에게 익숙한 실공간에 대해 다 설명한 다음, 책 끝챕터에 벡터공간에는 실공간 외에 복소공간, 행렬공간, 함수공간이 있으며 벡터, 내적 또한 해당 공간의 원소로 개념을 확장할 수 있다는 얘기를 하는 순서로 쓰여 있다. 실공간 위주로 설명하기 때문에 친숙하다는 장점이 있지만, 초기부터 벡터의 개념을 미리 확장해놓고 내용을 전개하는 교재와 비교하면 좀 아쉬운 부분이 있다.
  • 그 외에 여러 종류의 선형대수 책(Lay의 직소퍼즐 등등...)이 시중에 나와있다. 만일 공학도/물리학도라면 선형대수는 매우 중요한 내용인지라 공업수학/수리물리학 교재에 잘 나와 있고, 그것만 해도 충분하기 때문에 굳이 위에 언급한 책들을 다 보지 않아도 된다.
  • 線型代数入門 (基礎数学1) - 東京大学出版会(동경대학출판회)
출판한 지 2016년 기준으로 무려 50년이나 되었지만 일본의 대학생이나 교수들이 (주로 국공립대학) 자주 본다. 게다가 저자가 애초에 일본의 이공계 기술력을 발전시킨다는 목적으로 썼다는 걸 앞에서 명시했다. 실제로 이 책을 중심으로 공부한 일본의 이공계 인재들이 나중에 일본의 기술력을 미국에 이어서 세계 2위로 끌어올렸음을 생각하면... 그리고 50년 전에 썼지만 내용은 현대에 출판한 내용과 거의 다른 내용이 없고 오히려 어지간한 내용은 다 설명한다. 뒤에 부록으로 유클리드 기하학의 공리와 군론 등의 부가적인 내용도 포함하고 있다. 가격은 엔화로 2,052엔. 한국인이라면 JLPT N2 150점 이상 정도로 일본어를 아는 데다 영어는 별로 익숙하지 않은 경우에는 도움이 된다.

8. 참고 문서


[1] 쉽게 말하면, 일차함수 같은 것[2] 즉 $$\left(a_{1} , a_{2} , \ldots, a_{n}\right) + \left(b_{1} , b_{2} , \ldots, b_{n}\right) = \left(a_{1}+b_{1} , a_{2}+b_{2} , \ldots, a_{n}+b_{2}\right) $$과 $$c\left(a_{1} , a_{2} , \ldots, a_{n}\right) =\left(c a_{1} ,c a_{2} , \ldots,c a_{n}\right) $$[3] 수학과 선형대수 첫 학기 때 배우는 가장 중요한 부분이 바로 선형사상의 집합과 행렬의 집합은 구조가 동일하며 1:1 대응이 되어 언제든 서로 바꿔쓰는 게 가능하다는 점이다. 소위 선형대수학의 기본 정리(Fundamental theorem of linear algebra). 이때 행렬의 곱셈은 선형사상의 합성에 대응된다.[4] 역으로 말해서 "행렬의 곱셈은 왜 이렇게 이상하게 정의되었는가?" 라는 의문을 풀어주는 것이 바로 이 선형대수학의 기본정리이다. 선형함수를 알기 쉽게 나타낸 방법이 행렬이고, 행렬의 곱셈은 선형함수의 합성을 쉽게 나타내기 위해 디자인된 것뿐. 이유없이 외워온 독자들이 주객이 전도되었다고 분통을 터뜨리는 것은 당연할 것이다.[5] 사실 고교에서 나오는 벡터의 개념은 미적분에 나오는 것과 똑같다.[6] $$n$$차원 (실)벡터공간은 모두 $$\mathbb{R}^{n}$$ 과 구조가 같다. 즉 동형이다.[7] 상식적인 덧셈과 스칼라배에 대해서[8] 가령 선형대수는 수학 기호 중 선형대수에만 특화되어 등장하는 기호들이 많은 것 또한 큰 특징인데, 여태 서술된 것과 같이 선형대수의 범용성이 그야말로 거대하기 때문에 선형대수학을 모르면 어느 시점부터는 아예 각종 수식을 읽는 것 자체가 불가능해진다 (!) [9] 문/이과 통틀어서 대학원에서 논문을 쓰는 데에 통계분석이 조금이라도 나온다면, 선형대수를 모르면 골치아픈 경우를 겪게 될 수 있다. 경제학과나 경영학과는 물론, 사회학과, 행정학과 등의 전공에서도 만날 가능성이 있다.[10] 여기서 스칼라배는 실수가 아닌 $$\mathbb{Z}_2$$에서 정의한다.[11] 그래서 연립방정식 역시 엄연한 선형대수학적 대상이다.[12] 우리가 아는 [math(ad-bc)]라는 식이다.[13] 문과라고 해도 상경계열이라면 100% 만나게 된다.[14] 그러나 이학계열에서는 선형대수를 필수로 수강하지 않아도 되는 학과도 엄연히 존재한다. 이는 보통 해당 학문의 수학과의 연관성에 정비례한다.[15] 어차피 기본정리로 인해 유한차원에서는 행렬만 배워도 충분하다.[16] LU decomposition, cholesky decomposition, schur decomposition, singular value decomposition 등[17] 수치해석을 제외하면[18] 수학과에서는 주로 벡터공간과 선형사상에 대한 이해가 목표이기에 수치적인 방법은 잘 배우지 않는 편이다.[19] 하지만 개념적인 부분도 무시해서는 안 될 게, 특히 푸리에 해석에서 직교 기저(orthogonal basis)와 내적(inner product)에 대해 눈곱만큼이라도 이해를 하고 있다면, 정말 비교가 안 되게 쉬워진다.[20] 아닌 경우의 대표적인 예는 나비에-스토크스 방정식[21] 이를 선형 결합(linear combination)이라고 하는데, 익숙하지 않은 개념이 아니다. 당장 공업수학에서 2계 상미분방정식의 해에는 기저(basis)가 있고, 이 기저를 임의의 스칼라곱과 합으로 전개하면 나오는 모든 해가 일반해라는 얘기를 들어보았을 것이다. 그리고 이렇게 선형결합을 해서 나오는 벡터들을 원소로 삼는 공간이 다름아닌 벡터공간이다.[22] 사실 중고등학교 수학에서 나오는 연립방정식부터가 이미 행렬방정식이라 선형대수학 개념이 들어가 있다.[23] 사실 이 방법들도 각각 Gauss elimination, back substitution이랑 완전히 일치하니 결국 선형대수학의 범주 내에 있는 얘기이다.[24] 이 말의 다른 뜻은, 변수가 3개인 연립방정식까지는 고등학교 과정에서 공간(3차원)에서의 직선의 방정식을 배운 적이 있으니 거기까지는 일단 고등학교 수학의 범위라는 뜻이다. 하지만 변수가 4개 이상이면? 4차원 이상의 공간은 우리의 직관으로는 생각할 수 없다. 즉 직관의 영역이 아닌 추상의 영역이 되고, 이를 추상적으로 정의할 수 있는 건 행렬밖에 없다.[25] 우변이 0이 아닌 함수의 경우[26] 사실 이것도 잘 가르치지 않는다.[27] 여기서 '진짜'라는 의미는 직관적인 수준을 넘어, 엄밀한 논리의 영역으로 들어선다는 의미이다. 물론 엄밀함의 기준은 집합론이지만 대부분의 수학 분야의 목적이 엄밀함 그 자체에 있는 것은 아니기 때문에 학부 때는 ordinal number와 cardinal number의 기본 성질에 대해 살짝 훑는 것, 집합론의 공리적 방법을 소개받는 것 정도만 배운다.[28] 성분별로[29] 다만 주로 해석학 계열 과목에서만 나타나는 해석개론과는 달리, 선형대수는 호몰로지/가환/비가환대수, 표현론, 대수적 정수론 등의 대수학 테크와 상/편미분방정식, 동역학계, 작용소 대수, 광역/조화/복소/함수해석 등의 해석학 테크, 대수/미분/비가환 기하, 대수/미분위상 등의 기하학 테크에서 모두 필요하다는 것이 차이점.[30] 행렬에서 사용하는 열공간(column space), 영공간(null space) 등의 말이 선형사상의 핵(kernel), 사상(image) 이런 식으로 둔갑하게 된다.[31] 덕분에 행렬이 등장하기 전까지 어두컴컴한 추상의 세계에서 헤메다가 행렬이 등장하는 시점에 가서야 지금까지 배웠던 게 무엇인지 깨닫는 경우가 많다. 일부러 극적 효과를 노리고 이런 방식을 선호하는 교수들도 있다. 이런 식으로 행렬의 도입을 늦추는 교수를 만날 경우, 입-델로 유명한 해석학에 비해 오히려 난해하게 느끼는 학생도 많다.[32] 군의 준동형사상(homomorphism)과 선형사상(linear map), 부분군(subgroup)과 부분공간(subspace)의 유사성 등을 예로 들 수 있을 것이다.[33] 현대대수학을 통해서도 체득할 수 있지만 현대대수에서는 구조의 추상성 때문에 벡터공간보다 난해해하는 학생들이 많다.[34] 벡터공간과 선형사상, 군과 준동형사상, 위상(topology)과 연속함수 등으로.[35] 사실은 대수적 구조뿐 아니라 대다수의 수학적 구조도 이러한 구성을 따른다. 대표적으로, '위상공간'과 '연속함수'.[36] 슈뢰딩거 방정식 자체가 원래 행렬방정식이니 사실 당연하다.[37] 예를 들어 서울대의 경우 생명과학부는 응용위주인 생명수학을 따로 배우나, 생물교육과는 타 과학교육과와 똑같이 미적분학을 통째로 배운다.[38] 개개인의 선택에 따라 더 깊이 있게 알기 위해서 그 뒤에 정식으로 선형대수학 과목을 수강하는 경우도 있다.[39] 책에 따라서 adjoint matrix라고 쓰는 경우도 있다. 그런데 켤레 전치행렬(conjugate transpose) 또한 adjoint matrix라는 용어를 사용하기 때문에 혼동을 막기 위해 전자를 지칭할 때는 고전적 수반 행렬(classical adjoint)라는 용어를 쓰기도 한다.[40] 고교과정에서 배웠던 그 2*2 행렬 정리는 이 정리의 아주아주 특수한 경우에 해당한다! 자세한 것은 항목 참고.[41] LU factorization, cholesky decomposition, schur decomposition, singular value decomposition 등[42] 벡터나 행렬에 '대한' 미분을 다루는 괴상한 내용. Hessian matrix 등이 중요한 개념이다.[43] 군(대수학) 문서 참조.[44] 해석학 문서의 학부교재에 루딘 책을 번역하신 그 분. 번역 수준은 괜찮은데 센스면에서 괴악해서 까이고 있으며, 이 책에선 교과서로의 면보단 문학책 마냥 원저자의 스타일을 존중하겠다고 톨킨 번역지침마냥 전술한 "스트랭의 언어"에 그대로 맟춰서 번역해놨다. 당연히 시도는 대실패했고... 물론 부록에 원래 맞는 단어들을 써놔 알아볼 순 있게 해놨으나, 번역 본연의 의미(대상자가 보기 쉽게 뜻을 확실히 전하는 것)를 생각해보면 그닥 좋은 시도는 아니였으며 아까말한 그 루딘책도 이런 센스대로 번역해서 익숙치 않은 사람들에게 대차게 욕을 먹었었다.[45] 일부 사람들이 미국 내에서 판매가 금지된 국제판을 미국 내에서 팔려고 하자 출판사들이 내수용 교재와 국제판 사이에 차등을 두기 시작했는데 PEARSON 출판사의 경우는 그 정도가 심해 책의 일부 내용을 빼버리는(...) 만행을 저질렀다. 이른바 피어슨 뉴 인터내셔널 에디션, PNIE 사태인데, 이 출판사가 취급하는 서적이 참 다양한 전공에 걸쳐 많기도 많은지라 수많은 전공의 수많은 과목의 수많은 명저들이 저자마저 분노케 할 정도로 칼질을 당했다. [46] 책 제목(선형대수와 군)에서 짐작할 수 있듯이 현대대수의 영역인 군에 대한 이야기도 포함하고 있다.[47] (전략)그래서 이 책은 딱딱하지 않은 구어체로 쓰여졌다. 저자가 강의실에서 사용하는 언어(말투, 대화, 칠판 내용, 그리고 농담들)를 그대로 옮기려고 오히려 노력하였다. 
[학부 대수학 강의]
에서 우리의 현실세계에 관한 묘사는 거의 찾아볼 수 없을 것이다. 그런 의미에서 
[학부 대수학 강의]
는 가상세계에 관한 '이야기책'이다. Peter Pan이나 Harry Potter 같은 이야기책이다.(후략) (해당 책 머리말에서 발췌)[48] 책에 따르면 이 ㅋㅋ나 ㅎㅎ 같은 말이 나오면 뭔가 심각한 논의를 하고 있다는 뜻이니 긴장해야 한다고(...).[49] 말은 그렇지만 이미 1권에서 군의 개념을 다 떼고 올라간 관계로 책 초반부터 module, algebra의 개념부터 시작하고 들어가는 흉악한(...) 책이다. 실질적으로는 학부 대수와 대학원 대수의 중간 과정 정도.[50] TeX의 장식체를 아주 많이 쓴다[51] 증명은 '기계'(즉, 너희들)가 한다거나, proof 부분을 '우리의 철학' 한 마디로 때우는 것 등등[52] 사실 이것도 그저 대학 수업 현장에서 자주 쓰이는 암묵의 룰인 '용어는 영어, 수업은 국어' 의 과정을 충실히 따랐기 때문이다. 이공계 전공 수업 현장에서 외서를 사용함에도 수업은 국어로 진행하거나, 국내교재를 쓰면서도 용어는 영어를 사용하는 경우는 흔하다. 이 교재도 마찬가지로 영어가 쓰이는 곳은 수학에 필요한 전문용어 뿐이고 종종 별 의미없는 위치에 쓰이는 한자 몇 글자를 제외하면 수업에서 흔히 쓰이는 문체를 그대로 옮겨 적었기에 나온 문제일 뿐이다.[53] 하지만 이야기책을 표방하는 만큼 어느정도 대수구조에 대한 이해를 충분히 하고 있는사람에게는 마법처럼 술술 읽히는 책이기도 하다. 다만 그러기 위해서는 학부수준 대수학에 대한 전반적인 이해를 하고 있어야 한다는것이 문제일 뿐.... [54] 다만 이것은 말 그대로 전반적인 이해일 뿐 학부수준의 모든 지식을 필요로 한다는 것은 아니다, 이 전반적인 이해란 대수학에서 다루는 연산의 구조에 대해 다루고 있기 때문에 연산구조에 대한 이해를 의미한다.

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