종이접기 작도
1. 개요
종이접기를 이용한 작도. 일반적인 작도가 눈금없는 자와 컴퍼스를 사용하는 것과 달리 도구를 쓰지 않는 대신 종이를 접어서 주어진 조건을 만족하는 도형을 그린다. 접는 선은 항상 직선이기 때문에 원이나 다른 곡선을 그릴 수는 없다. 그러나 주어진 점과 선을 이용해서 새로운 선을 "접는" 방법이 다양하며, 특정 방법을 사용하면 유클리드 작도보다 더 다양한 도형을 그릴 수 있다는 점이 포인트.
2. 종이접기 작도의 공리
공리를 정립한 수학자들의 이름을 따서 후지타-하토리 공리라고도 한다.
- 주어진 두 점을 지나는 유일한 직선을 접을 수 있다.
- 주어진 두 점을 서로 겹치게 하는 유일한 직선을 접을 수 있다.
- 주어진 두 직선을 겹치게 하는 직선을 접을 수 있다.
- 점 1개와 직선 1개가 주어졌을 때, 주어진 점을 지나고 주어진 직선에 수직하는 유일한 직선을 접을 수 있다.
- 점 2개(P1, P2)와 직선 1개(L1)가 주어졌을 때, P2를 지나면서 P1을 L1에 겹치게 하는 직선을 접을 수 있다.
- 점 2개(P1, P2)와 직선 2개(L1, L2)가 주어졌을 때, P1을 L1에, P2를 L2에 각각 겹치게 하는 직선을 접을 수 있다.
- 점 1개(P1)와 직선 2개(L1, L2)가 주어졌을 때, P1을 L1에 겹치게 하면서 L2에 수직인 직선을 접을 수 있다.
제1~3공리는 실제 종이접기에서도 자주 쓰이는 기초적인 종이접기 방법이기도 하다. 제3공리는 각의 이등분선 작도에 해당하는데, 두 직선이 교차할 경우 교차점에서 생기는 각은 2개[1]라서 접는 방법이 2가지가 있다. 두 직선이 평행하다면 접는 방법은 1가지뿐이다.
제5공리부터 꽤 복잡하다. 제5공리의 경우 P2를 중심으로 하고 P1을 지나는 원과 L1의 교차점의 개수(0~2개)가 접는 방법의 개수가 된다. 제1~5공리만을 사용할 경우 작도 가능한 범위가 유클리드 작도와 일치한다.
제6공리는 2개의 포물선의 공통접선의 개수(0~3개)가 접는 방법의 개수가 된다고 한다. 유클리드 작도에서는 기초 작도의 결과가 최대 2개뿐[2]이라서 2차방정식의 해만 작도할 수 있는 것과 대조적으로, 종이접기 작도에서 제6공리를 사용하면 일반적인 3차방정식의 해를 작도할 수 있게 된다. 이 방법을 사용하여 각의 삼등분과 상자 부피 2배 문제도 정사각형 종이를 몇 번 접는 것만으로 해결할 수 있다. 작도법 설명에 따르면 두 문제 모두 정사각형 종이를 가로 또는 세로로 3등분한 뒤에 제6공리를 딱 한 번 써서 해결할 수 있는데, 그야말로 간결함(과 수학적인 아름다움)의 극치.
참고로 제6공리는 눈금 있는 자를 사용하는 뉴시스 작도법과 동치라고 한다. 이는 주어진 두 점의 거리가 항상 일정하고, 그 두 점이 각각의 직선 위에 있도록 하기 위해서는 "슬라이딩"[3]을 해야 하기 때문이다. 이 두 가지 특성은 눈금 있는 자를 사용할 때도 똑같이 나타나며, 슬라이딩이라는 요소를 유클리드 작도에서 눈금 있는 자를 배척했던 원인 중 하나로 보기도 한다.
제7공리는 0~1개의 해를 가진다. 앞의 6개의 공리와 달리 뒤늦게 발견되었으며, 작도의 범위를 늘려주는 역할은 하지 못하지만 7개의 공리가 한 번 접어서 작도할 수 있는 모든 경우를 커버한다는 점에 의의가 있다.
[1] 실제로는 4개이지만 맞꼭지각의 이등분선이 같으므로[2] 원과 직선의 교점, 두 개의 원의 교점[3] 한쪽 점을 원하는 직선 위에 놓고 다른 쪽 점이 다른 선 위에 놓일 때까지 접을 선을 움직이는 행위