작도
1. 개요
作圖 / construction[2] 그림, 설계도, 지도 따위를 그리는 일.
수학에서 '작도'라 하면 보통 자와 컴퍼스만을 사용하여 주어진 조건에 알맞은 도형을 그리는 '''유클리드 작도'''[3]를 일컫고, 본 문서는 주로 이 유클리드 작도를 설명한다. 유클리드 작도는 보통 평면기하학 특히 논증기하학을 다루는 중등 교과과정에서 소개된다.
2. 유클리드 작도
고대 그리스인들은 (눈금없는)자와 컴퍼스만으로 그릴 수 있는 형태, 즉 원과 직선을 가장 기본적이고, 예술적인 기하도형으로 생각했다. 그래서 그것들의 조합으로 기하학적 도형을 그리는 방법을 연구하였고, 그래서 자와 컴퍼스만으로 임의의 도형을 그리는 방법을 연구하였으며, 다른 도구는 사용하기를 꺼렸다. 물론 꺼렸다 뿐이지 아예 사용하지 않은 건 아니지만, 고전기하학에선 유클리드의 원론 등에서 정립된 '유클리드 도구' 눈금없는 자와 컴퍼스만을 사용하여 도형을 그리는 유클리드 작도가 당대 기하학과 작도의 표준이 된다.
유클리드 도구에서 눈금없는 자는 두 점을 잇는 선분을 그리는 도구라서 현재와 같은데, 컴퍼스는 주어진 한 점을 중심으로 하고 또 다른 주어진 한 점을 지나는 원을 그리는 도구라서, 현재의 '''선분을 옮길''' 수 있는 컴퍼스와는 약간 다르다. 즉, 현재의 컴퍼스는 "유클리드 컴퍼스+디바인더"인 셈. 이런 유클리드 컴퍼스 대신 현재의 컴퍼스를 쓸 수 있는 이유는, 둘의 기능이 동등하다는 컴퍼스 동등정리 덕분이다.
참고로 모르-마스케로니 정리에 의해서 유클리드 작도 가능한 도형은 컴퍼스만으로도 작도 가능하고[4], 퐁슬레-슈타이너 정리에 의해서 유클리드 작도 가능한 도형은 중심을 알고 있는 호 하나랑 눈금없는 자만으로 작도 가능하다[5].
2.1. 작도의 가능한 예
유클리드 도구만으로 가능한(유클리드 기하학의 5개 공준으로부터 유도되는) 작도들의 예시들. 아래의 성질들은 다른 성질들로부터 유도되는 경우도 있다.
- 임의의 선분과 동일한 길이를 가진 선분을 옮겨 그릴 수 있다.(상기한 컴퍼스 동등 정리)
- 임의의 각과 동일한 각도를 가진 각을 수평/수직 이동해 옮겨 그릴 수 있다.
- 임의의 선분을 주어진 직선/점에 대해 대칭이동할 수 있다.
- 직선 밖의 한 점에서 직선과의 수선(직각이 되는 선)을 내릴 수 있다.
- 직선 내의 한 점에서 직선과의 수선을 올릴 수 있다.
- 중심을 모르는 원의 중심을 찾을 수 있다.
- 삼각형의 오심을 그릴 수 있다.
- 사각형과 한 점이 주어졌을 때 점을 지나고 사각형의 면적을 등분하는 선을 그을 수 있다.
- 원 위의 점에서 원의 접선을 그릴 수 있다.
- 직선과 직선 밖에 점이 주어졌을 때 점을 중심으로 하고 직선에 접하는 원을 그릴 수 있다.
- 정사각형과 외접/내접하는 원을 그릴 수 있으며 그 반대도 가능하다.
- 주어진 원의 면적이 절반인 원을 그릴 수 있다.
2.1.1. 임의의 각 이등분하기
[image]
- 두 반직선의 교점을 중심으로 해서 두 반직선을 지나는 호를 그린다.
- 위 1번의 호와 반직선의 교점을 중심으로 호를 하나씩 그린다. 양쪽 호의 반지름 길이는 서로 같아야 하며 두 호가 서로 만나도록 해야 한다.
- 위 1번의 두 반직선의 교점을 출발해 위 2번의 두 호의 교점을 지나는 반직선을 그리면 각이 이등분된다.
2.1.2. 선분의 수직이등분선 그리기[6]
[image]
- 선분의 양 끝을 중심으로 해서 호를 그린다. 단, 호의 반지름은 선분의 길이를 반으로 나눈 것보다 더 길어야 하고 두 호의 교점이 두 개 생기도록 그려야 한다.
- 위 1번의 두 호의 교점 두 개를 이으면 수직이등분선이 된다.
2.1.3. 원과 내접하는 정삼각형 그리기
[image]
- 직선을 그린 후 그 직선 위에 중심을 잡고 적당한 크기의 원을 그린다.
- 컴퍼스의 지름은 그대로 두고 위 1번의 직선과 원의 교점 중 하나를 골라서 그 점을 중심으로 호를 그린다. 여기서 원과 호의 교점은 두 개가 생기도록 해야 한다.
- 원과 위 2번의 호의 교점 두 개를 끝으로 하는 선분을 그린다. 이 두 끝이 정삼각형의 두 꼭지점이 될 것이다.
- 나머지 한 점은 위 2번의 교점 중 반대쪽과 연결하면 정삼각형이 된다.
2.2. 작도할 수 없는 도형(3대 작도 불능 문제)
눈금 없는 자와 컴퍼스를 이용하면 많은 도형을 작도할 수 있지만, 도구가 제한적인만큼 작도할 수 없는 도형도 많다. 대표적인 예로 다음과 같은 3가지 문제들이 있다.
- 주어진 임의의 각을 3등분하는 문제
- 주어진 정육면체의 2배의 부피를 갖는 정육면체를 작도하는 문제
- 주어진 원과 면적이 같은 정사각형을 작도하는 문제
2.3. 작도 가능한 정다각형
정다각형의 경우 작도가 가능한 정다각형이 있고 그렇지 않은 정다각형이 있다. 정삼각형, 정사각형, 정오각형은 모두 작도 가능하므로 3, 4, 5의 2배수 혹은 2의 거듭제곱(2^n) 배수 각형들은 모두 작도 가능하다는 사실은 쉽게 알 수 있다. 또한 페르마 소수 (Fn = 2^2^n + 1 형태의 소수)만큼의 변을 가진 정다각형도 작도 가능하다. 즉, 페르마 소수인 17, 257, 65537각형은 모두 작도 가능하다는 이야기이다. 유명한 수학자인 가우스가 정17각형이 작도 가능하다는 사실을 대학생 시절에 발견했다는 것은 꽤 유명한 이야기. 페르마 소수 이외의 소수개의 변을 가진 정다각형은 작도가 불가능하다. 한편 서로소인 두 수 a, b에 대해 a각형, b각형이 작도가능하면 ab각형도 작도가능하므로, 3*5=15각형, 3*17=51각형 등을 작도할 수 있다. 일반적으로 다음이 성립한다.
더 깊게 들어가자면 정다각형에서 나오는 삼각함수 값을 사칙연산과 제곱근만으로 나타낼 수 있을 때만 작도할 수 있다. 한 예로 정17각형으로부터 유도되는 삼각함수 값 중 가장 간단히(!) 표현되는 것은 아래와 같다.
[image]
정17각형, 정257각형[7]의 삼각함수 값은 모두 사칙연산과 제곱근으로 나타낼 수 있다. 정65537각형도 가능하지만 그 표현은 엄청나게 복잡할 것이다. 대학 과정의 대수학, 특히 갈루아 이론을 배웠다면 이 계산법에도 나름 납득할만한 유도과정이 있다는 사실을 알 수 있긴 하다.단, 작도 가능하다는 사실만 증명했고 실제 작도법을 이 때 찾아낸 것은 아니다. 실제 작도법은 훨씬 이후인 19세기 말 즈음에 나왔다.작도법 예시 중 하나 정257각형의 작도법은 나왔으나, 정65537각형의 작도법은 아직 나오지 않았다[8].
이를 이용하여 작도 가능한 각도를 얻을 수 있다.
3. 대수학으로 본 유클리드 작도
수학자 피에르 방첼(Pierre-Laurent Wantzel, 1814~1848)은 수학자들이 몇 세기 동안 고민해왔던 3대 작도 불능 문제와 다각형의 작도가능성을 대수학을 통해 해결할 수 있었다. 아래에는 방첼의 해결법을 정리하여 현대에 체 이론과 갈루아 이론 관점에서 바라보는 작도의 해결법을 소개한다. [9]
3.1. 작도 가능한 수
간단히 말하면 작도할 수 있는 수들은 정확히 사칙연산과 제곱근만을 사용해 나타낼 수 있는 수들이 된다.
이렇게 할 수 있는 이유는 다음과 같다. 작도를 해석기하학 관점에서 바라보면 직선과 직선, 직선과 원, 원과 원의 교점을 구하는 것인데, 직선과 직선의 교점을 구하는 연립방정식은 결국엔 일차방정식이고, 직선과 원 및 원과 원의 경우에는 이차방정식이 된다. [10] 하지만 일차방정식은 사칙연산으로, 이차방정식은 제곱근을 이용한 근의 공식으로 풀 수 있다. 따라서 작도를 해서 얻어진 새로운 점의 좌표는, 기존의 좌표에서 사칙연산과 제곱근을 사용한 식으로 나올 것이다. 역으로 주어진 길이를 갖는 두 선분(길이 1의 단위선분은 이미 주어져 있다고 가증한다)이 있으면, 이들 길이의 합, 차, 곱, 몫 및 제곱근을 길이로 갖는 선분을 작도할 수 있다. 결론적으로 작도와 "사칙연산+제곱근" 키트는 동일한 역할을 한다는 걸 증명할 수 있다.
'작도가능한 각'은 주어진 각을 갖는 삼각형을 작도하는 것으로 볼 수 있고, 이 특수한 경우로 직각삼각형을 생각할 수 있다. 따라서 $$\theta$$가 작도가능한 각이라는 것은 $$\cos \theta$$가 작도가능한 수인 것과 동치로 생각할 수 있다.
3.2. 갈루아 이론으로 본 작도 가능한 수
어떤 수가 작도가능한지는 어떻게 알 수 있을까? 이를 규명하기 위해서는 대학 수준의 대수학, 특히 체에 대한 이론이 필요하다.
특히 확장체(extension field)의 개념을 사용한다면 유리수에서 제곱근만을 사용해 반복적으로 확장시키는 체에 수가 속해야 작도가능하다고 할 수 있다. 모든 2차 확장은 제곱근으로 나타낼 수 있기 때문에, 이는 차수 2인 확장을 반복하는 것과 같다. 즉 수 $$\alpha$$가 체 $$F$$에 포함된다면, $$\alpha$$가 작도가능한 것은 다음을 만족하는 체 $$F_i$$들이 존재하는 것과 동치이다.
$$ \mathbb{Q} = F_0 \le F_1 \le \cdots \le F_k= F, \quad [F_i : F_{i-1}] = 2$$
여기서 따라나오는 필요조건을 몇 가지 생각해 볼 수 있다. 작도가능한 수는 대수적 확장체에 속해 있으므로 일단 대수적 수(algebraic number)여야 한다. 또한 $$[F:\mathbb{Q}] = 2^k$$임을 알 수 있으므로, 작도가능한 수$$\alpha$$를 근으로 갖는 기약다항식, 즉 최소다항식의 차수(확장체의 차수 $$[\mathbb{Q}[\alpha]:\mathbb{Q}]$$랑 동일해진다)는 2의 제곱꼴이어야 한다. 3대 작도 불능 문제에 대해서는 원의 정방화 문제는 첫 번째 조건 때문에 아웃되고, 나머지 문제들에서 나오는 수들은 최소다항식의 차수가 3이기 때문에 두 번째 조건에서 아웃된다. 다만 최소다항식의 차수가 2의 제곱꼴인 것만으로는 충분하지 않고, 4차방정식의 근이라도 제곱근으로만 풀 수 없으면 작도가 불가능하다.3.3. 정다각형의 작도가능성
정n각형의 작도가능 필요충분조건(n이 서로 다른 페르마 소수들의 곱과 2의 거듭제곱의 곱으로 나타나지는 것)을 증명하려면 갈루아 이론과 정수론에 대한 더욱 깊은 지식이 필요하다.
정n각형의 작도가능성은 결국에는 복소수 $$\zeta_n=e^{2\pi i/n}$$이 작도가능 수[11]인지 판정하는 문제가 된다. 한편 방정식 $$ z^n = 1$$의 분해체(splitting field) $$\mathbb{Q}(\zeta_n)$$의 갈루아 군이 $$(\mathbb{Z}/n)^{\times}$$라는 사실은 알려져 있다. 따라서 이 군의 위수, 즉 $$\phi(n)$$이 2의 제곱수이어야 한다는 필요조건이 붙는다. 그런데 오일러 파이함수 $$\phi(n)$$의 표현을 보면 $$n = p_1^{e_1} \cdots p_k^{e_k}$$일 때 $$\phi(n)= (p_1-1)p_1^{e_1 -1} \cdots (p_k - 1)p_k^{e_k - 1}$$인데, $$(p-1)p^{e-1}$$이 2의 제곱수가 되려면 (1) $$p$$가 2거나 (2) $$p-1$$이 2의 제곱수이고 $$e=1$$이거나 밖에 없다. 따라서 필요조건이 증명된다.
이제 충분조건 차례인데, $$p= 2^m+1 (m=2^n)$$가 페르마 소수일 때 $$p$$각형이 작도가능한 것을 보이면 된다. 다행히도 갈루아 군을 $$(\mathbb{Z}/p)^{\times} \simeq \mathbb{Z}/(p-1)$$로 알 수 있고, 이 갈루아 군에 대해서 다음과 같은 필터링
$$ \displaystyle (0) \le (2^{m-1}) \le (2^{m-2}) \le \cdots \le (2) \le (1)= \mathbb{Z}/(2^m) $$
을 주고 대응되는 체들을 생각하면, 각각의 확장은 2차 갈루아 확장이므로 $$\mathbb{Q}(\zeta_p)$$이 제곱근 확대체임을 보일 수 있는 것.그럼 이걸 이용해 $$\cos (2\pi / p)$$을 사칙연산과 제곱근으로 나타낼 수 있을까? 가능은 하다. 원시근(primitive root)의 개념을 이용해 위의 갈루아 군을 묘사하고 이를 이용해 각각에 대응되는 제곱근 확대체를 '실제로' 계산하면 된다. 예로 $$p=17$$인 경우 원시근으로 3을 꼽을 수 있고, 따라서 체 동형사상 $$\sigma: \zeta_{17} \mapsto \zeta_{17}^3$$가 갈루아 군의 생성원(generator)이 된다. 이제 위의 갈루아 군 필터링을 다시 보아
$$ \displaystyle 1 \le (\sigma^8) \le (\sigma^4) \le (\sigma^2) \le (\sigma) $$
으로 생각하고, 이들에 대응되는 고정체(fixed field)를 한 단계씩 풀어나가는 것이다. 일반적으로 이차확장 $$L/K$$의 갈루아 군이 $$\tau$$이면 원소 $$\alpha \in L$$은 $$K$$ 위에서의 이차방정식 $$(X - \alpha)(X-\tau \alpha) = 0$$을 만족한다. 이를 이용해 $$\zeta =\zeta_{17}$$는 $$\xi = \zeta + \sigma^8(\zeta)$$에 대한 이차방정식으로, $$\xi$$는 $$\eta = \xi + \sigma^4(\xi)$$에 대한 이차방정식으로, $$\eta $$는 $$\iota = \eta + \sigma^2(\eta)$$에 대한 이차방정식으로, $$\iota $$는 $$\iota + \sigma(\iota)(=-1)$$에 대한 이차방정식으로 나타내면 된다... 근성의 노가다를 제대로 한다면 결국에는 저 위의 $$\cos(2\pi/17)$$에 대한 식을 얻을 수 있을 것이다.[12]4. 기타 도구를 사용한 작도
정칠각형은 7이 페르마 소수에 들어가지 않기 때문에 일반적인 작도법으로는 작도할 수 없지만, 눈금이 있는 자의 사용을 허용하는 '뉴시스(Neusis) 작도법'으로는 가능하다.
자와 컴퍼스 대신 종이접기를 이용한 작도를 사용하면 3대 작도 불능 문제 중 앞의 2개를 풀 수 있다. 종이접기 작도 참조. 뉴시스 작도법과 작도할 수 있는 범위가 같다.
[1] 당연한 이야기이지만 이 방법으로 선분을 이등분할 수 있다. 그리고 임의의 선분을 이등분 뿐 아니라 n등분하는 점을 찾는 것도 가능하다.[2] 일반적인 보통명사로서의 의미이고, '유클리드 작도'를 의미할 때는 Euclidean construction 혹은 straightedge and compass construction 등의 표현을 사용한다.[3] 기하학적 작도, 플라톤 작도라고도 불린다.[4] 다만 자가없는 관계로 직선은 그 직선위의 서로 다른 두 점을 찾는걸로 끝낸다.[5] 이 경우에도 컴퍼스가 없는 관계로 원은 중심과 반지름을 찾는걸로 끝낸다.[6] 당연한 이야기이지만 이 방법으로 선분을 이등분할 수 있다. 그리고 임의의 선분을 이등분 뿐 아니라 n등분하는 점을 찾는 것도 가능하다.[7] 밑에 댓글창 잘 보면 오타(typo)가 있다고 나와있다.[8] 아예 안 나온 건 아닌데, 풀이 과정에서 오류가 발견되어 공인되지 않았다.[9] 다만 현대수학으로 서술된 내용이므로 방첼의 원래 증명 내용은 상이할 수 있다. 생몰년도를 보면 알겠지만 방첼은 아벨, 갈루아와 동시대의 사람이었다. 그 둘보다는 덜했지만 오래 살지 못했으며, 논문이 당대엔 묻혀 있었다가 50년 후에야 주목받은 것까지 비슷하다.[10] 즉 연립방정식 $$\begin{cases} x^2 + y^2 + ax + by + c = 0 \\ px + qy + r = 0 \end{cases}$$을 이차방정식으로 유도할 수 있다는 뜻.[11] 복소수의 작도가능성도 체 이론 맥락으로, 즉 사칙연산과 제곱근(여기서는 복소제곱근 포함)으로만 나타낼 수 있는지로 정의할 수 있다. 주어진 복소수가 작도가능한 것은 그 실수부와 허수부가 모두 작도가능한 것과 동치이다.[12] 근의 공식에서 +- 부호 중 어느 것을 쓰냐 고민할 수 있을 텐데, 부호가 다른 것은 다른 켤레근들인 $$\cos(2 k \pi/17)$$ 꼴을 줄 것이고, 가능한 8가지의 부호 조합 중 (일일히 계산해서) 크기가 적절한 것을 고르면 된다.