주대각합
Trace
1. 개요
정사각행렬#s-2($$n\times n$$ 행렬)의 주대각성분들을 다 더한 값으로, 행렬 $$A$$의 주대각합은 $$\mathrm{tr}(A)$$로 표기한다. 행렬식(determinant)과 깊은 연관이 있다.
$$A= \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n} \end{pmatrix}$$
이라고 하면, $$\mathrm{tr}(A) = a_{1,1} + a_{2,2} + \cdots + a_{n,n}$$이다.2. 성질
2.1. 기본적인 성질
$$A$$가 $$m \times n$$행렬이고, $$B$$는 $$n\times m$$행렬일 때,
$$ \mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$$
이 때, A, B는 정사각행렬이 '''아니어도 된다.'''이외에도 특수한 행렬에 대해서 다음이 성립한다.
- 영행렬 $$O$$에 대해서 $$\mathrm{tr}(O) = 0$$이다.
- $$n$$차 단위행렬 $$I_n$$에 대해서 $$\mathrm{tr}(I_n) = n$$이다.
2.2. 파생되는 성질
아래 성질들은 모두 determinant 또한 만족하는데, 이는 det의 기본 성질인 $$ \det(AB) = \det(A) \det(B) $$[1]에서 비롯된다.
- 상사인 두 행렬 A, B에 대해 $$ \mathrm{tr}(A)=\mathrm{tr}(B)$$. det도 마찬가지.
- 이는 A를 대각화한 행렬 D, 삼각화한 행렬 T에 대해서도 당연히 성립. det도 마찬가지.
- 따라서 determinant는 고윳값들의 곱이고, trace는 고윳값들의 합이다. D, T의 주대각성분은 고윳값들로 이루어져있기 때문이다. 복소수 범위에서 대각화 또는 삼각화는 항상 가능하기 때문에, 이 성질도 마찬가지로 항상 성립한다.[2]
2.3. 다른 개념들과의 관계
위 성질들 때문에 determinant와 관련된 성질이 굉장히 많아진다.
- $$n\times n$$ 행렬 $$A$$의 특성 다항식의 n-1차항 계수는 $$ - \mathrm{tr}(A)$$이다.
$$\det(xI-A)=\displaystyle\sum_{\sigma\in S_{n}}\mathrm{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n}(x\delta_{i\sigma(i)}-a_{i\sigma(i)})$$
에서, $$\mathrm{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n}(x\delta_{i\sigma(i)}-a_{i\sigma(i)})$$가 n-1차 이상일 때만, $$\det(xI-A)$$의 n-1차 항의 계수에 영향을 주는데, 그러한 경우는 $$\sigma(i)=i$$인 경우 밖에 없음을 쉽게 확인할 수 있다.
에서, $$\mathrm{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n}(x\delta_{i\sigma(i)}-a_{i\sigma(i)})$$가 n-1차 이상일 때만, $$\det(xI-A)$$의 n-1차 항의 계수에 영향을 주는데, 그러한 경우는 $$\sigma(i)=i$$인 경우 밖에 없음을 쉽게 확인할 수 있다.
- $$ \det(e^A)=e^{\mathrm{tr}(A)} $$. 이때 $$\displaystyle e^A= \sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{i!} A^i $$이다. 테일러 급수 참고.
- 두 벡터 $$\mathbf{a}, \mathbf{b}$$에 대해서 $$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathrm{tr}(\mathbf{a} \otimes \mathbf{b})$$가 성립한다.
3. 같이 보기
[1] A, B는 정사각행렬[2] 이 성질은 스칼라 체가 너무 후져서 대각화 또는 삼각화가 안되는 경우에도 특성다항식의 계수와 주대각합의 관계로 대신해서 생각해볼 수 있다. 이에 대해선 아래에 후술.