1. 개요
Koch curve · Koch 曲線스웨덴의
수학자 헬게 폰 코흐(Helge von Koch, 1870~1924)가 고안한 자기상사도형(
프랙탈 도형).
2. 상세
'''한 변의 길이가 1인
정삼각형'''에서 출발한다. 정삼각형의 각 변을 3등분하여 가운데의 선분을 한 변으로 하는 정삼각형을 처음 정삼각형의 바깥쪽에 그린다. 마지막으로 가운데의 선분은 지운다. 이 과정을 무한히 반복할 수 있다. 과정을 반복할수록 눈송이와 같은 모양이 나오므로 '''코흐 눈꽃, 코흐 눈송이, 눈송이 곡선'''이라고도 한다. 학술적으로는 직선이 곡선에 포함되는 것이라고 해도 일상적으로는 곡선이 직선의 반의어로 여겨짐을 생각할 때, 사실 코흐 곡선은 죄다 직선으로 이루어져 있으니 어떻게 보면 틀린 명칭이지만, 조작을 거듭할수록 꼬불거림이 심해지고 곡선과 흡사해지므로 아주 이상한 명칭도 아니다.
[image]3. 성질
아무런 조작을 하지 않은 처음의 정삼각형을 0단계라고 하자. 앞서 말한 조작을 한 번 하는 것을 하나의 '단계'로 하자. 그러면
단계
| 선분의 개수
| 한 선분의 길이
| 둘레의 길이[1]
|
[math(0)]
| $$3$$
| $$1$$
| $$3$$
|
$$1$$
| $$3×4$$
| $$\dfrac{1}{3}$$
| $$3×\dfrac{4}{3}$$
|
$$2$$
| $$3×4^2$$
| $$\dfrac{1}{3^2}$$
| $$3×\left(\dfrac{4}{3}\right)^2$$
|
$$3$$
| $$3×4^3$$
| $$\dfrac{1}{3^3}$$
| $$3×\left(\dfrac{4}{3}\right)^3$$
|
⋮
| ⋮
| ⋮
| ⋮
|
$$n$$
| $$3×4^n$$
| $$\dfrac{1}{3^n}$$
| $$3×\left(\dfrac{4}{3}\right)^n$$
|
따라서 조작을 무한히 거듭한다면, 선분의 개수는 무한히 많아지고, 한 선분의 길이는 무한히 짧아지고, 둘레의 길이는 무한히 길어진다.
한편, 코흐 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 다음과 같이 구할 수 있다. 0단계의 정삼각형에, 단계를 거듭할 때마다 추가되는 작은 삼각형들의 넓이를 합하는 아이디어이다.
어떤 단계에서, 바로 전 단계에 비해 추가되는 넓이는 합동인 정삼각형들의 넓이의 합이므로, 각 단계별로 해당 정삼각형들의 '''한 변의 길이'''와 '''개수'''를 구하고 둘을 곱하면 그것이 바로 단계당 추가되는 넓이이다.
우선, 한 변의 길이가 $$a$$'''($$a$$는 양의 실수)'''인 정삼각형의 넓이는 $$\displaystyle\frac{\sqrt3}{4}a^2$$이므로, 0단계의 정삼각형의 넓이는 $$\displaystyle\frac{\sqrt3}{4}$$이다.
0단계에 비해 1단계에서 추가되는 넓이는 길이가 $$\displaystyle\frac{1}{3}$$인 정삼각형 3개의 넓이이다.
1단계에 비해 2단계에서 추가되는 넓이는 길이가 $$\displaystyle\frac{1}{9}$$인 정삼각형 12개의 넓이이다.
2단계에 비해 3단계에서 추가되는 넓이는 길이가 $$\displaystyle\frac{1}{27}$$인 정삼각형 48개의 넓이이다.
⋮
$$(n-1)$$단계에 비해 $$n$$단계에서 추가되는 넓이는 길이가 $$\displaystyle\frac{1}{3^n}$$($$=3^{-n}$$)인 정삼각형 $$3·4^{n-1}$$개의 넓이이다. 곧, $$\displaystyle\frac{\sqrt3}{4}·(3·4^{n-1})·3^{-2n}$$이다.'''($$\displaystyle{n}$$은 자연수)'''
그러므로, $$n$$단계 코흐 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 0단계의 정삼각형의 넓이 $$\displaystyle\frac{\sqrt3}{4}$$과, 1단계부터 $$n$$단계까지 각각 추가되는 넓이의 총합이 된다. 곧,
$$\displaystyle\frac{\sqrt3}{4}+\sum_{k=1}^n\frac{\sqrt3}{4}·(3·4^{k-1})·3^{-2k}$$
$$\displaystyle=\frac{\sqrt3}{4}\left\{1+\sum_{k=1}^n(3·4^{k-1})·3^{-2k}\right\}$$
$$\displaystyle=\frac{\sqrt3}{4}\left(1+\sum_{k=1}^n\frac{4^{k-1}}{3^{2k-1}}\right)$$
$$\displaystyle=\frac{\sqrt3}{4}\left\{1+\sum_{k=1}^n\frac{3}{4}·\left(\frac{4}{9}\right)^k\right\}$$
이 되고, 이를 $$\displaystyle a_n$$이라 하자. 그러면 $$\lim\limits_{n\to\infty}a_n$$은 단계를 한없이 진행할 경우 코흐 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이의 수렴값이 된다. 이를 계산하면,
$$\lim\limits_{n\to\infty}a_n$$
$$\displaystyle=\frac{\sqrt3}{4}\left\{1+\lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{3}{4}·\left(\frac{4}{9}\right)^k\right\}$$
$$\displaystyle=\frac{\sqrt3}{4}\left(1+\frac{3}{4}·{\cfrac{\dfrac{4}{9}}{1-\dfrac{4}{9}}}\right)$$
$$\displaystyle=\frac{\sqrt3}{4}\left(1+\frac{3}{4}·\frac{4}{5}\right)$$
$$\displaystyle=\frac{2\sqrt3}{5}$$
|
따라서 조작을 무한히 거듭한다면, 코흐 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 $$\displaystyle\frac{2\sqrt3}{5}$$으로 수렴한다. 곧, 0단계의 정삼각형에 비해 넓이가 $$\displaystyle\frac{8}{5}$$배 늘어난다. 결국, 코흐 곡선은 '''둘레의 길이는 무한대로 늘어나는 반면 넓이는 유한하다'''는 특성이 있다. 사실은, 기하학적으로 '''코흐 곡선은 0단계의 정삼각형의 외접원을 벗어날 수 없'''기 때문에 아무리 조작을 거듭해도 넓이가 유한할 수밖에 없다.
코흐 곡선의
하우스도르프 차원은 다음과 같이 구할 수 있다.
[image]이것은 코흐 곡선의 일부이다. 그림에서 보듯, 가로의 폭을 세 배로 늘리면 코흐 곡선의 전체 길이는 네 배로 늘어난다. 따라서 코흐 곡선의 하우스도르프 차원은 $$\displaystyle{\log_34} (\approx 1.2618595)$$차원이 된다.