정삼각형
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1. 정의
equilateral triangle, regular triangle ・ 正三角形
세 변#s-3의 길이가 같은 삼각형. 혹은 세 각이 같은 삼각형으로 정의해도 된다. 삼각형의 내각의 합은 $$180^{\circ}$$이므로 정삼각형의 한 각은 $$60^{\circ}$$이다.
2. 성질
- 세 각이 같음
- 유일하게 내심, 외심, 수심, 무게중심이 같은 삼각형
- 모든 정삼각형은 서로 $$\rm AA$$ 닮음
- 쌍대는 닮음 관계의 자기 자신
- 슐레플리 부호는 $$\{3\}$$
- 축퇴되지 않는 최소의 단체
- 한 점을 공유하도록 6개의 정삼각형을 붙이면 정육각형이 됨
3. 다른 삼각형과의 관계
정삼각형은 세 변과 세 각이 모두 같으므로 이등변삼각형이다. 또한 모든 각이 $$60^{\circ}$$로 예각이므로 예각삼각형이다. 따라서 정삼각형은 '''예각이등변삼각형'''이다.
유클리드 공간, 쌍곡 공간에서는 모든 각이 예각이지만, 타원 공간에서는 직각이나 둔각을 가질 수 있다.
정삼각형의 각 각에서 한 점에서 만날 때까지 이등분선을 그으면 각 각이 $$30^{\circ}$$, $$30^{\circ}$$, $$120^{\circ}$$이고 합동인 둔각삼각형이자 이등변삼각형 세 개로 분할된다.
4. 복소평면
1의 세제곱근을 복소평면에 점으로 나타낸 뒤 이으면 한 변의 길이가 $$\sqrt 3$$인 정삼각형이 된다.
5. 프랙탈 이론
시어핀스키 삼각형과 코흐 곡선은 정삼각형에서 출발하는 프랙탈 도형이다.
6. 공식
정삼각형의 한 변의 길이를 $$a$$라 하자.
- 높이: $$\dfrac{\sqrt{3}}{2}a$$
- 넓이: $$\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$$
- 둘레: $$3a$$