파스칼 정리
1. 요약 (원과 삼각형, 직선에 관한 정리)
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한 원 위에 있는 임의의 점 $$A$$, $$B$$, $$C$$, $$D$$, $$E$$, $$F$$를 잡자. 현 $$\overline{AB}$$와 현 $$\overline{DE}$$의 교점을 $$J$$, 현 $$\overline{BC}$$와 현 $$\overline{EF}$$의 교점을 $$L$$, 현 $$\overline{CD}$$와 현 $$\overline{AF}$$의 교점을 $$K$$라 하면, 점 $$J$$, $$K$$, $$L$$은 한 직선 위에 있다.
2. 증명
메넬라오스 정리와 방멱 정리를 사용한다.
$$\triangle{GHI}$$와 $$\overline{DKC}$$에서 메넬라오스 정리를 적용하면
$$\frac{\overline{GK}}{\overline{KH}}$$$$\frac{\overline{HD}}{\overline{DI}}$$$$\frac{\overline{IC}}{\overline{CG}}$$=1 ☞ ①
$$\triangle{GHI}$$와 $$\overline{AJB}$$에서 메넬라오스 정리를 적용하면
$$\frac{\overline{GA}}{\overline{AH}}$$$$\frac{\overline{HJ}}{\overline{JI}}$$$$\frac{\overline{IB}}{\overline{BG}}$$=1 ☞ ②
$$\triangle{GHI}$$와 $$\overline{FLE}$$에서 메넬라오스 정리를 적용하면
$$\frac{\overline{GF}}{\overline{FH}}$$$$\frac{\overline{HE}}{\overline{EI}}$$$$\frac{\overline{IL}}{\overline{LG}}$$=1 ☞ ③
방멱의 정리에 의해
$$\overline{BI}$$ $$\overline{CI}$$=$$\overline{DI}$$ $$\overline{EI}$$
$$\overline{AH}$$ $$\overline{FH}$$=$$\overline{DH}$$ $$\overline{EH}$$
$$\overline{GA}$$ $$\overline{GF}$$=$$\overline{GC}$$ $$\overline{GB}$$
위의 세 식을 ④라고 하자.
①, ②, ③을 모두 곱한다.
$$\frac{\overline{GK}}{\overline{KH}}$$$$\frac{\overline{HD}}{\overline{DI}}$$$$\frac{\overline{IC}}{\overline{CG}}$$$$\frac{\overline{GA}}{\overline{AH}}$$$$\frac{\overline{HJ}}{\overline{JI}}$$$$\frac{\overline{IB}}{\overline{BG}}$$$$\frac{\overline{GF}}{\overline{FH}}$$$$\frac{\overline{HE}}{\overline{EI}}$$$$\frac{\overline{IL}}{\overline{LG}}$$=1
그리고 식 ④를 적용해 분자의 $$\overline{BI}$$ $$\overline{CI}$$는$$\overline{DI}$$ $$\overline{EI}$$로, 분자의 $$\overline{AH}$$ $$\overline{FH}$$는$$\overline{DH}$$ $$\overline{EH}$$로, 분자의 $$\overline{GA}$$ $$\overline{GF}$$는$$\overline{GC}$$ $$\overline{GB}$$로 바꾸고, 소거시킬 수 있는 것들을 소거하면
$$\frac{\overline{GK}}{\overline{KH}}$$$$\frac{\overline{HJ}}{\overline{JI}}$$$$\frac{\overline{IL}}{\overline{LG}}$$=1이 된다.
그러므로 메넬라오스 정리의 역에 의해 세 점 $$J$$, $$K$$, $$L$$은 한 직선 위에 있다.
3. 요약 (원뿔곡선에 내접하는 육각형에 대한 정리)
원뿔곡선에 내접하는 육각형의 대변의 연장선은 한 직선 위에 있다.
4. 증명
원을 사영시키면 원뿔곡선이 된다는 것을 이용한다.