방멱 정리

1. 개요

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power theorem
원의 현, 할선, 접선에 관한 정리를 의미한다. 여기서 방멱이란, 어떤 한 점 $$ \rm{P} $$를 지나는 직선이 중심이 $$\rm O$$인 어떤 원 $$ O $$와 만나는 점을 $$ \rm A $$, $$ \rm B $$라 했을 때, 두 선분의 곱 $$\displaystyle \overline{\rm PA}\cdot\overline{\rm PB}$$를 가리킨다.
방멱 정리는 아래와 같이 3종류가 있다.

• 두 현에 대한 방멱
• 두 할선에 대한 방멱
• 할선과 접선에 대한 방멱

다만, 말이 3가지이지 결국 한 점 $$ \rm P $$에 대해 임의의 직선에 대한 방멱이 점 $$ \rm P $$가 반지름 $$r$$의 원의 중부인지 내부인지, 직선이 원에 접하는지 두 점에서 만나는지에 상관없이

$$\displaystyle \overline{\rm PA}\cdot\overline{\rm PB}=| {\overline{\rm PO}}^2 - r^2| $$

로 일정하다는 것이다.
이 문서는 원주각 문서의 내용을 방멱으로 모두 이해하고 있다는 가정 하에 작성되었다. 원주각 관련 정보를 모를 경우 해당 문서로 선수로 읽고 와야한다.

2. 종류

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2.1. 두 현에 대한 방멱

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<color=#000000> $$ \overline{\mathrm{PA}} \cdot \overline{\mathrm{PB}}=\overline{\mathrm{PC}} \cdot \overline{\mathrm{PD}} $$

증명은 아래와 같이 한다.

보조선으로 $$\overline{\mathrm{AC}}$$, $$\overline{\mathrm{BD}}$$를 사용한다. 이때,

$$\displaystyle \angle{\mathrm{CAB}}=\angle{\mathrm{CDB}} \quad$$(호 $$\mathrm{BC}$$에 대한 원주각)

이고,

$$\displaystyle \angle{\mathrm{APC}}=\angle{\mathrm{DPB}} \quad$$(맞꼭지각)

이므로

$$\displaystyle \triangle{\mathrm{APC}} \sim \triangle{\mathrm{DPB}} \quad$$($$\mathrm{AA}$$ 닮음)

임을 알 수 있다. 이상에서

$$\displaystyle \overline{\mathrm{PA}}:\overline{\mathrm{PD}}=\overline{\mathrm{PC}}:\overline{\mathrm{PB}} $$

이것을 정리하면,

$$\displaystyle \overline{\mathrm{PA}} \cdot \overline{\mathrm{PB}}=\overline{\mathrm{PC}} \cdot \overline{\mathrm{PD}} $$

을 얻는다.

2.2. 두 할선에 대한 방멱

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<color=#000000> $$ \overline{\mathrm{PA}} \cdot \overline{\mathrm{PB}}=\overline{\mathrm{PC}} \cdot \overline{\mathrm{PD}} $$

증명은 아래와 같이 한다.

보조선으로 $$\overline{\mathrm{AC}}$$, $$\overline{\mathrm{BD}}$$를 사용한다. 이때, $$\triangle{\mathrm{APC}}$$, $$\triangle{\mathrm{BPD}}$$에서 $$\angle{\mathrm{BPD}}$$는 공통인 각이고, $$\square \mathrm{ACDB}$$는 원에 내접하므로 $$\angle \mathrm{PAC}$$의 내대각 $$\angle \mathrm{CDB}$$는 같다. 따라서

$$\displaystyle \triangle{\mathrm{APC}} \sim \triangle{\mathrm{DPB}} \quad$$($$\mathrm{AA}$$ 닮음)

이고,

$$\displaystyle \overline{\mathrm{PA}}:\overline{\mathrm{PC}}=\overline{\mathrm{PD}}:\overline{\mathrm{PB}} $$

이 성립하므로 이것을 정리하면,

$$\displaystyle \overline{\mathrm{PA}} \cdot \overline{\mathrm{PB}}=\overline{\mathrm{PC}} \cdot \overline{\mathrm{PD}} $$

을 얻는다.

2.3. 할선과 접선에 대한 방멱

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<color=#000000> $$ {\overline{\mathrm{PT} }}^{2}=\overline{\mathrm{PA} } \cdot \overline{\mathrm{PB}} $$

증명은 아래와 같이 한다.

보조선으로 $$\overline{\mathrm{AT}}$$, $$\overline{\mathrm{BT}}$$를 사용하자. $$\triangle{\mathrm{APT}}$$, $$\triangle{\mathrm{TPB}}$$에서 $$\angle{\mathrm{APT}}$$는 공통이고, $$\angle{\mathrm{ATP}}=\angle{\mathrm{ABT}}$$[1]가 성립하므로

$$\displaystyle \triangle{\mathrm{APT}} \sim \triangle{\mathrm{TPB}} \quad$$($$\mathrm{AA}$$ 닮음)

[1] 원주각 문서의 "접선과 현이 이루는 각" 문단 참조.

이고,

$$\displaystyle \overline{\mathrm{PT}}:\overline{\mathrm{PB}}=\overline{\mathrm{PA}}:\overline{\mathrm{PT}} $$

이 성립하므로 이것을 정리하면,

$$\displaystyle {\overline{\mathrm{PT} }}^{2}=\overline{\mathrm{PA} } \cdot \overline{\mathrm{PB}} $$

을 얻는다.

3. 방멱 정리의 역

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피타고라스 정리의 역과 비슷하게 방멱의 정리에도 역이 있다.

두 선분 $$ \overline{\rm AB} $$, $$ \overline{\rm CD} $$ 혹은 그 연장선의 교점 $$ \rm P $$에 대해서 $$ \overline{\rm PA}\cdot\overline{\rm PB}=\overline{\rm PC}\cdot\overline{\rm PD} $$가 성립하면 네 점 $$ \rm A $$, $$ \rm B $$, $$ \rm C $$, $$ \rm D $$는 원 위에 있다.

이것의 증명은 세 점 $$\rm A$$, $$\rm B$$, $$\rm C$$가 원 위에 있다고 가정하고, 선분 $$\rm CP$$의 연장선과 원이 만나는 점을 $$\rm D'$$라 하자. 방멱 정리에 의하여 $$ \overline{\rm PA}\cdot\overline{\rm PB}=\overline{\rm PC}\cdot\overline{\rm PD'} $$이 성립한다. 한편, $$ \overline{\rm PA}\cdot\overline{\rm PB}=\overline{\rm PC}\cdot\overline{\rm PD} $$ 또한 성립하는데, 두 식을 연립하면 $$\overline{\rm PD}=\overline{\rm PD'}$$이다. 그런데 두 점 $$\rm D$$, $$\rm D'$$ 모두 선분 $$\rm CP$$의 연장선(혹은 해당 선분) 상에 존재하므로 두 점은 같아야 한다는 결론을 얻는다. 따라서 $$ \overline{\rm PA}\cdot\overline{\rm PB}=\overline{\rm PC}\cdot\overline{\rm PD} $$을 만족하면, 네 점 $$\rm A$$, $$\rm B$$, $$\rm C$$, $$\rm D$$는 한 원 위에 있다.

4. 기타

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• 2009 개정 교육과정에서는 "원과 직선에 관한 성질" 혹은 "원과 비례"라는 이름으로 중3 때 다루었으나, 2015 개정 교육과정에 들어 다루지 않게 되었다. 다만 관련 문제는 계속 나온다는 게 함정.

5. 관련 문서

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• 원(도형)
• 원주각
• 오일러 삼각형 정리

[각주]