파울리 행렬

1. 정의

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'''파울리 행렬'''(Pauli matrix) 또는 '''파울리 스핀 행렬'''은 양자역학에서 스핀 1/2인 입자를 묘사할 때 사용되는 3개의 행렬이다. 정의는 다음과 같다.

[math(\displaystyle \sigma_1 = \sigma_x = \begin{pmatrix}

0 & 1 \\

1. & 0

\end{pmatrix} )]

[math(\displaystyle \sigma_2 = \sigma_y = \begin{pmatrix}

0 & -i \\
i & 0

\end{pmatrix} )]

[math(\displaystyle \sigma_3 = \sigma_z = \begin{pmatrix}

1. & 0 \\

0 & -1

\end{pmatrix} )]

스핀 1/2 입자의 스핀 연산자는 $$\displaystyle S_i = \frac{\hbar}{2} \sigma_i$$로 쓸 수 있다.

2. 성질

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파울리 행렬은 다음 관계식을 만족한다.

$$\displaystyle [\sigma_a , \sigma_b] = \sigma_a \sigma_b - \sigma_b \sigma_a = 2i \varepsilon_{abc} \sigma_c $$

$$\displaystyle \{ \sigma_a , \sigma_b \} = \sigma_a \sigma_b + \sigma_b \sigma_a 2 = \delta_{ab} I $$

이때 $$\varepsilon_{abc}$$는 레비치비타 기호, $$\delta_{ab}$$는 크로네커 델타 기호이고, $$I$$는 $$2 \times 2$$ 단위행렬이다.