합성곱

합성곱의 기하학적 표현.[1]

合成곱 / Convolution

1. 정의

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함수 $$f$$와 $$g$$의 합성곱은 $$f \ast g$$로 나타내며 다음과 같이 정의한다.

$$\displaystyle {f(t) \ast g(t)} \overset{\mathrm{def}}{=} {\int_{-\infty}^{\infty}}f(\tau)\, g(t-\tau)\,{\rm d}\tau$$

2. 정리

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합성곱은 푸리에 변환에 대하여 일반적으로 다음과 같은 성질이 성립한다.[2]

$$\displaystyle h(t) = {f(t) \ast g(t)}$$라 하면, $$H(\omega) = F(\omega)G(\omega)$$

3. 활용 사례

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합성곱 신경망 기법(CNN) 등에 응용되는 개념이다.

[1] 저 움짤이 그리는 ㅅ자 그래프는 삼각파 함수 [math({\rm tri}(x))]이다. 파란색 그래프는 구형파 함수 [math({\rm rect}(x))]이다.

[2] 참고로 라플라스 변환에 대해서도 성립한다.