라플라스 변환
$$\displaystyle F\left(s\right) = \mathcal{L}\left\{ f\right\} \left(s\right) \equiv \int_{0}^{\infty}e^{-st}f\left(t\right)dt$$[1][2]
1. 개요
라플라스 변환은 수학자 라플라스의 이름을 따서 이름지어졌다. 라플라스가 현재 Z-변환이라 불리는 비슷한 변환을 확률론에서 사용했기 때문. 현재 사용되는 라플라스 변환은 제 2차 세계대전 전후로 올리버 헤비사이드(Oliver Heaviside), 토마스 브롬위치(Thomas John I'Anson Bromwich), 구스타프 도이치(Gustav Doetsch) 등의 많은 학자들의 기여로 완성되었다.
간단하게 설명하자면 미분방정식을 다른 '공간'으로 변환시켜 더 단순하게 만든 후, 이를 풀어내는 기법. 미분방정식의 eigenvalue(고유값)만 따서 계산하는 기법이라고 할 수 있다.[3]
선형 상미분방정식을 푸는 강력한 방법이다. 심지어는 선형 편미분방정식도 풀 수 있다![4]
아무튼 선형 미분방정식에서는 가히 로피탈의 정리급 위력을 발휘하는 사기기술이다. 어지간히 손대기도 힘든 2계 미분방정식도 이녀석을 동원하고 적당히 라플라스 역변환(따로 공식이 있긴 한데 복소해석학을 배워야 하므로 좀 어렵다. 라플라스 변환 표를 보고 적당히 역변환을 추리해내자.)을 시켜주면 근을 구해낼 수 있다.
원래 라플라스 변환은 자연계의 운동들, 예를 들면 포락선(envelope)같은 감쇄 현상을 설명하기 위해 고안된 개념이다. 위 공식에서 복소수 $$s = \sigma+i\omega$$라는 걸 생각해보자. 여기에서 $$\sigma$$과 $$\omega$$는 실수이며 $$i$$는 허수단위다. $$s$$는 상수 [math(e)] 를 밑으로 한 지수인데, 지수 법칙을 이용해 이를 실수부와 허수부로 분리할 수 있다. 실수부는 감쇄를, 허수부는 오일러 공식에 의해 정현파(사인함수와 코사인함수) 형태로 표현된다. 이 둘을 곱하면 감쇄하는 진동운동이 표현된다.[5]
라플라스 변환으로 미분방정식을 푸는 과정을 개략적으로 설명하면
1. t-공간에서의 복잡한 미분방정식
2. 1.의 방정식을 적절하게 라플라스 변환
3. s-공간에서의 본래 식보다는 간단한[6] 대수방정식 혹은 미분방정식(1의 미분방정식보다는 간단하다.)
4. 3.의 해를 다시 적절하게 라플라스 '''역'''변환
5. t-공간에서의 미분방정식의 해
즉 t-공간에서의 결과물을 얻기 위해, 가상의 s-공간에서 무언가를 수행하는 방법이라 하겠다. 더 쉽게 말하면, 복잡한 녀석을 이해하기 일단 이해하기 쉬운 녀석으로 바꿔서 처리한 뒤, 그것을 다시 되돌려서 원래 의미를 알아내는 방법이라고 생각하면 된다.
하지만 이렇게 해서 풀 수 있는 것은 어디까지나 선형 미분방정식에 국한된다.[7] 비선형 방정식은 특별한 경우[8]가 아닌 이상 수치해석을 믿을 수밖에 없다.
2. 사용
미분방정식은 계수(order)가 높아질수록 해를 구하는 것은 거의 불가능하기 때문에 라플라스 변환을 사용한다. 주어진 미분방정식을 곧바로 푸는 것이 아니라 먼저 라플라스 변환한 후 대수방정식의 해를 구하고 다시 역변환하는 것이다. 이 방법을 적용하면 '일정 주기를 갖고 반복되는 함수형'(sin, cos, sinh, cosh 등)의 해를 그저 유리식의 사칙연산 수준만으로 구할 수 있어서 신호 처리 등에 유용하다. 이 목적을 위하여 원래 함수-변환된 함수를 세트로 모아놓은 표가 있다. 이름하여 라플라스 변환 표. 표 안에 세트가 수십 개 정도 있다.
주로 공과대학에서 공업수학을 통해 처음 배우며, 이후 회로이론, 제어공학, 신호 및 시스템 등의 과목에서 활용한다. 수많은 미분방정식을 풀어낼 때 유용하게 쓰이기 때문에 전자공학과 기계공학 전공자라면 어느 정도는 반드시 알아둬야 할 변환법이며, 푸는 법을 아예 모르면 막말로 병신 취급(...) 당할 정도로 중요한 위치를 차지하고 있다.
라플라스 변환의 이산 버전으로 Z-변환이라는게 있는데, 이는 계차 방정식(Difference equation)을 대수방정식으로 바꿔준다. 대부분의 성질이 라플라스 변환과 유사하며, 주로 디지털 시스템을 다루는 데 사용된다.
3. 구하는 방법
만약에 당신이 수학과라면 변환과 역변환의 과정을 직접 계산해서 보여야 할 일이 많을 것이다. 이 문단에선 라플라스 변환 및 역변환에 관한 기술을 설명한다.
3.1. 라플라스 변환 표
$$F(s) = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\}(s) = \left(\mathcal{L}f\right)(s) $$같이 다양한 표기가 통용된다.
3.2. 도함수
증명$$\mathcal{L}\left\{f'\left(t\right)\right\} = s\mathcal{L}\left\{f\left(t\right)\right\}-f\left(0\right)$$
이를 일반화한 식은 다음과 같다. 증명은 수학적 귀납법을 이용하면 할 수 있다.
$$\mathcal{L}\left\{f^{\left(n\right)}\left(t\right)\right\} = s^{n}\mathcal{L}\left\{f\left(t\right)\right\}-s^{n-1}f\left(0\right)-s^{n-2}f'\left(0\right)-\cdots-f^{\left(n-1\right)}\left(0\right)$$
3.3. 함수와 다항식의 곱
증명$$\mathcal{L}\left\{-tf\left(t\right)\right\} = F'\left(s\right)$$
예시: $$\displaystyle \mathcal{L}\left\{te^{at}\right\} = -\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s-a}\right) = \frac{1}{\left(s-a\right)^2}$$
이를 일반화한 식은 다음과 같다. 증명은 수학적 귀납법을 이용하면 할 수 있다.
$$\displaystyle \mathcal{L}\left\{t^{n} f(t)\right\} = (-1)^{n}\frac{d^{n}}{ds^{n}}F(s)$$
아래와 같이 변형할 수도 있다.
$$\displaystyle \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = f(t) = -\frac{1}{t}\mathcal{L}^{-1} \left\{ F'(s) \right\}$$
예시: $$\displaystyle \mathcal{L}^{-1}\left\{\ln\left(1-\frac{a^2}{s^2}\right)\right\} = \mathcal{L}^{-1}\left\{\ln\left(s^2-a^2\right)-2\ln s\right\} = -\frac{2}{t}-\frac{2\cosh\left(at\right)}{t}$$
3.4. 주파수 평행이동
증명$$\displaystyle \mathcal{L}\left\{e^{at}f(t)\right\} = F(s-a)$$
예시: $$\displaystyle \mathcal{L}\left\{e^{at}\sin\left(wt\right)\right\} = \frac{w}{\left(s-a\right)^2 +w^2}$$
3.5. 몫 형태
증명함수 $$f(t)$$의 라플라스 변환과 $$\displaystyle \lim_{t \to 0}\frac{f\left(t\right)}{t}$$가 존재하면
$$\displaystyle \mathcal{L}\left\{\frac{f(t)}{t} \right\} = \int_{s}^{\infty} F(u)du $$
예시: $$\displaystyle \mathcal{L}\left\{\frac{\cos(at)-1}{t} \right\} = \int_{s}^{\infty}\frac{u}{u^2+a^2}-\frac{1}{u}du = -\ln\sqrt{1+\frac{a^2}{s^2}}$$[11]
3.6. 합성곱(Convolution)
함수 $$f, g$$가 주어졌을 때, Convolution $$\left(f*g\right)\left(t\right)$$를 $$\displaystyle \int_{0}^{t}f\left(t-u\right)g\left(u\right)du$$로 정의한다.
이 convolution은 몇 가지 성질이 있는데 다음과 같다.
- $$f*0 = 0 = 0*f$$ (영원)
- $$f*g = g*f$$ (교환법칙)
- $$f*(g+h) = f*g + f*h$$ (분배법칙)
- $$f*(g*h) = (f*g)*h$$ (결합법칙)
증명정리: $$\mathcal{L}\left\{f*g\right\} = \mathcal{L}\left\{f\right\}\times \mathcal{L}\left\{g\right\}$$
예시: $$\displaystyle \frac{1}{\left(s^2+1\right)^2} = \mathcal{L}\left\{\sin t \right\}\times \mathcal{L}\left\{ \sin t \right\} = \mathcal{L}\left\{(\sin *\sin) t \right\}$$
$$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left\{\frac{1}{ \left(s^2+1\right)^2} \right\} = \int_{0}^{t}\sin\left(t-u\right)\sin u du = \frac{\sin t-t\cos t}{2}$$