가우스 적분

 

1. 개요
2. 상세
2.1. 값 유도
2.1.1. 방법 1: 극좌표계 변환
2.1.2. 방법 2: 기하학적 방법[1]
2.3. 연관된 적분
3. 기타
4. 관련 문서


1. 개요

Gaussian integral
[image]
가우스 함수 $$f(x)=e^{-x^{2}}$$의 실수 전체값에 대한 이상적분이며, 그 값은 아래와 같다.

$$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\,{\rm d}x=\sqrt{\pi} $$
[1] 출처

2. 상세


2.1. 값 유도


2.1.1. 방법 1: 극좌표계 변환

위 적분의 값은 극좌표계를 통한 적분으로 구할 수 있다. 우선적으로 우리는 다음과 같은 중적분을 고려하자.

$$\displaystyle \biggl( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\,{\rm d}x \biggr)\biggl( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^{2}}\,{\rm d}y \biggr) =\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}e^{-y^{2}}\,{\rm d}x{\rm d}y $$
그런데, $$x$$, $$y$$는 적분 시 사라지는 더미변수로써 위 값은

$$\displaystyle \biggl( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\,{\rm d}x \biggr)\biggl( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^{2}}\,{\rm d}y \biggr)=\biggl( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\,{\rm d}x \biggr)^{2} $$
으로 생각할 수 있다. 적분을 간단히하면,

$$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^{2}+y^{2})}\,{\rm d}x{\rm d}y $$
이것을 극좌표계로 변환하면, $${\rm d}x{\rm d}y \to r\, {\rm d}r {\rm d}\theta$$, $$x^2+y^2 \to r^{2}$$으로 쓸 수 있고, 적분 구간은 $$0 \leq r \leq \infty$$, $$0 \leq \theta \leq 2\pi$$이 됨에 따라

$$\displaystyle \begin{aligned} &\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\infty} r e^{-r^{2}}\,{\rm d}r {\rm d}\theta \\&= \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{\infty} r e^{-r^{2}}\,{\rm d}r \\ &= 2\pi \biggl[ -\frac{e^{-x^2}}{2} \biggr]_{0}^{\infty} \\ &=2\pi \biggl[0-\biggl(-\frac{1}{2} \biggr) \biggr] \\&=\pi \end{aligned} $$
이상에서

$$\displaystyle \biggl( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\,{\rm d}x \biggr)^{2} =\pi $$
임에 따라

$$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\,{\rm d}x=\sqrt{\pi} $$
이 증명된다. 적분값을 양수로 취하는 것은 모든 실수 $$x$$에 대하여 $$f(x)=e^{-x^2}>0$$이어서 정적분의 값 또한 양수이어야 하기 때문이다. 직관적으로 아주 당연한 사실이다.
참고적으로 $$f(x)=e^{-x^2}$$에 대하여 $$f(x)=f(-x)$$[2]가 성립하므로

$$\displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}}\,{\rm d}x=\int_{-\infty}^{0} e^{-x^{2}}\,{\rm d}x=\frac{\sqrt{\pi}}{2} $$
[2] 즉, $$f(x)$$는 짝함수(우함수; even function)임을 알 수 있다.
임을 알 수 있다.

2.1.2. 방법 2: 기하학적 방법[3]

함수 $$f(x)=e^{-x^2}$$을 $$y$$축을 회전축으로 하여 회전하면 곡면 $$f(x,\,y)=e^{-(x^{2}+y^{2})}$$을 얻는다. 이 곡면과 $$xy$$평면으로 둘러싸인 영역의 부피를 구해보자. 이때, $$0<e^{-x^{2}} \leq 1$$임을 상기하고,

$$\displaystyle e^{-x^2}=y \to [x(y) ]^{2}=-\ln{y} $$
[3] 출처
로 부터 회전체의 부피 공식을 사용하면,

$$\displaystyle \pi \int_{0}^{1} [x(y) ]^{2}\,{\rm d}y=\pi $$
로 구해지게 된다. 한편, 곡면 $$z=f(x,\,y)$$를 평면 $$x=a$$로 잘라서 생기는 단면의 넓이를 적분해서도 구할 수 있으며, 그 단면의 넓이를 우선적으로 구하면,

$$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(y^2+a^2)}\,{\rm d}y=e^{-a^2}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}\,{\rm d}y $$
이제 이 면적을 $$a$$에 대해 적분하면,

$$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a^2} \biggl( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}\,{\rm d}y \biggr) {\rm d}a= \biggl( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a^2}\,{\rm d}a \biggr) \biggl( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}\,{\rm d}y \biggr) $$
그런데 $$y$$, $$a$$는 각각 적분 시 상쇄되는 더미변수로써 이 값을

$$\displaystyle \biggl( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a^2}\,{\rm d}a \biggr) \biggl( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}\,{\rm d}y \biggr)=\biggl( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}\,{\rm d}y \biggr)^{2} $$
으로 생각해도 무방하다.
이상에서 해당 값과 회전체의 부피 공식을 이용해서 구한 부피는 같아야 하므로

$$\displaystyle \biggl( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}\,{\rm d}y \biggr)^{2}=\pi $$
이에 방법 1과 같은 결과를 얻었음을 알 수 있다.


2.2. 오차함수(error function)

다음과 같은 함수를 고려해보도록 하자.

$$\displaystyle F(t)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-t^{2}} $$
이때,

$$\displaystyle \begin{aligned} \int_{0}^{\infty} F(t)\,{\rm d}t=1 \end{aligned} $$
으로 규격화시킬 수 있고, 이때 적분의 상한을 변수로 한 함수

$$\displaystyle \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}}\,{\rm d}t := \mathrm{erf}(x) $$
을 오차함수(error function)라 정의한다. 자세한 사항은 해당 문서를 참조하자.

2.3. 연관된 적분

가우스 적분을 통하여 유도할 수 있으므로 그 결과만을 적는다. 단, $$a>0$$인 상수이고, $$n$$은 자연수이다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}\,{\rm d}x&=\sqrt{\frac{\pi}{a}} \\ \int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2+bx}\,{\rm d}x&=e^{b^2/4a}\sqrt{\frac{\pi}{a}} \\ \int_{0}^{\infty} x^{n}e^{-ax^2}\,{\rm d}x &=\begin{cases}
\dfrac{(n-1)!!}{2^{(n+2)/2}a^{n/2}} \sqrt{\dfrac{\pi}{a}} & \text{ for } n \text{ even.} \\ \\
\dfrac{[(n-1)/2]!}{2a^{(n+1)/2}} & \text{ for } n \text{ odd.}
\end{cases} \end{aligned} )]

3. 기타


4. 관련 문서