오차함수

 



1. 개요
1.1. 특성
2. 연관된 함수
2.1. 여오차함수
2.2. 정규 분포의 누적 분포 함수
2.3. 복소오차함수
3. 여담
4. 관련 문서


1. 개요

error function · 誤差函數
오차함수는 특수함수와 초월함수의 한 종류로, 아래와 같은 적분식으로 정의된다. 기호로는 $$\mathrm{erf}(x)$$를 사용하며, 이는 영문명에서 따왔다.

$$\displaystyle \mathrm{erf}(x)\equiv\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm{d}t $$
한편, 정의식 양변을 $$x$$에 대해 미분하면

$$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\frac{\sqrt{\pi}}{2}\mathrm{erf}(x)\right]=e^{-x^{2}} $$
가 된다. 따라서 다음을 얻는다.

$$\displaystyle \int e^{-x^{2}}\,\mathrm{d}x=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\mathrm{erf}(x)+C $$
즉, 가우스 함수의 역도함수는 오차함수를 상수배한 것임을 알 수 있다.
아래의 그림은 오차함수의 그래프를 나타낸 것이다.
[image]

1.1. 특성

  • $$\left|\mathrm{erf}(x)\right|<1$$을 만족한다.
  • 피적분함수가 우함수이므로, 이를 부정적분하고 적분상수를 0으로 정한 $$\mathrm{erf}(x)$$는 기함수가 된다. 이에 다음이 성립한다.

  • $$\displaystyle \lim_{x \to 0} \mathrm{erf}(x)=0$$, $$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \mathrm{erf}(x)=1$$ , $$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \mathrm{erf}(x)=-1$$이 성립한다.
  • 모든 복소수 $$z$$에 대하여 다음이 성립한다. (단, $$z^{\ast}$$는 $$z$$의 켤레 복소수이다.)

  • 오차함수를 테일러 전개하면 아래와 같다.



2. 연관된 함수


2.1. 여오차함수

Complementary error function · 餘誤差函數
여오차함수는 $$1$$에서 오차함수를 뺀 것으로 정의되는 함수로, 기호로는 $$\mathrm{erfc}(x)$$로 쓴다.

$$\displaystyle \mathrm{erfc}(x) \equiv 1-\mathrm{erf}(x) $$
식의 형태를 보면 오차함수를 $$x$$축에 대칭 이동한 후 $$y$$축 방향으로 $$+1$$만큼 이동한 것임을 알 수 있다.
한편,

$$\displaystyle \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{\infty} e^{-t^{2}}\,\mathrm{d}t=1 $$
임을 이용하면 아래와 같이 위 정의를 적분으로 표현할 수 있다.

$$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{erfc}(x)&=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\infty}e^{-t^{2}}\,\mathrm{d}t-\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm{d}t \\&=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\infty}e^{-t^{2}}\,\mathrm{d}t+\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{x}^{0}e^{-t^{2}}\,\mathrm{d}t \\&=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{x}^{\infty}e^{-t^{2}}\,\mathrm{d}t \end{aligned} $$
이상에서

$$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{erfc}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{x}^{\infty}e^{-t^{2}}\,\mathrm{d}t \end{aligned} $$
임을 얻는다.
아래의 그림은 여오차함수의 그래프를 나타낸 것이다.
[image]

2.2. 정규 분포의 누적 분포 함수



2.3. 복소오차함수

Imaginary error function · 複素誤差函數
복소오차함수는 다음과 같이 정의되는 함수로, 기호로는 $$\mathrm{erfi}(x)$$로 쓴다.

$$\displaystyle \mathrm{erfi}(x) \equiv -i\,\mathrm{erf}(ix)=-\frac{2i}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{ix} e^{-t^{2}}\,\mathrm{d}t $$
이 때, 적절한 변수 치환을 위해 $$iv \equiv t$$라 놓으면 적분은

$$\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{erfi}(x)&=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-(iv)^{2}}\,\mathrm{d}v \\&=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{v^{2}}\,\mathrm{d}v\end{aligned} $$
로 쓸 수 있고, $$t$$, $$v$$는 적분 연산 뒤 상쇄되는 더미 변수이므로 우리는 위 결과를

$$\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{erfi}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x} e^{t^{2}}\,\mathrm{d}t \end{aligned} $$
로 쓸 수 있다. 또한, 위 식의 양변을 $$x$$에 대해 미분하면

$$\displaystyle \begin{aligned}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\frac{\sqrt{\pi}}{2}\mathrm{erfi}(x)\right]&=e^{x^{2}} \\ \int e^{x^{2}}\,\mathrm{d}x&=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\mathrm{erfi}(x)+C \end{aligned} $$
임을 얻는다.
아래의 그림은 복소오차함수의 그래프를 나타낸 것이다.
[image]

2.4. 프레넬 적분 함수



3. 여담

  • 위에서 봤던 것 처럼 $$f(x)=e^{\pm x^{2}}$$ 꼴의 함수는 역도함수가 초등함수로 표현되지 않기 때문에, 역도함수를 직접 그려보지 않는 이상은 그래프의 형태와 성질 모두 추론하기 어렵다. 이와 관련된 문제가 나오면 적분 연산 자체나 보기에서 주어진 식들을 응용하여 문제를 해결해야 할 수밖에 없다. 그렇기 때문에 수능에서 미적분 파트의 상위권 변별 문제에서 간간이 등장하는 함수이다.[1]
    • 실제로 지식iN 같은 데서 미적분 관련 질문들 중 $$f(x)=e^{\pm x^{2}}$$ 꼴의 함수의 적분을 어떻게 하는지 물어보는 고등학생들의 질문이 간간이 보인다.
  • 통계학에서는 매우 중요한 함수이다. 주로 정규 분포와 엮어서 등장하게 된다. 물리학에서도 통계역학 파트에서 간간이 등장하는 함수이다.


4. 관련 문서


[1] 실제로 2016년 9월 모의수능 수학 영역 가형 21번에서 이 함수가 나왔다.