초등함수
1. 정의
初等函數 / elementary function
다항함수, 지수함수, 로그함수와 그 합성, 사칙연산을 통해 얻는 모든 함수를 초등함수라 부른다.
초등함수와 초월함수에 걸쳐져 있는 셋의 정의를 보면 다음과 같다.
- 지수함수 : $$y = a^{x}$$ (단 $$a \neq 0$$)
- 로그함수 : $$x = a^{y}$$ (단 $$a \neq 0, x > 0$$)
- 삼각함수($$e$$는 자연로그의 밑, $$i$$는 허수단위)
- $${\displaystyle \cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}}$$
- $${\displaystyle \sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}$$
- $${\displaystyle \tan x = {\sin x \over \cos x} = -i \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{e^{ix}+e^{-ix}}}$$
오일러 공식을 보면 알겠지만 초등함수는 사실상 복소함수의 영역에서 생각하고, 복소 제곱근이나 로그에서 나올 수 있는 다가함수의 경우 어떤 분기(branch)를 택하더라도 크게 상관이 없다. 이는 초등함수가 의미를 갖는 영역이 해석학이 아니라 대수학이기 때문이다.
2. 주요 함수
3. 기타
- 미분에는 닫혀 있지만[1], 적분에는 닫혀 있지 않아[2] 초등함수의 부정적분이 반드시 초등함수가 되지는 않는다. 유리함수가 아닌 초등함수를 적분하면 대부분은 초등함수가 아닌 초월함수가 나온다.[3] 유리함수의 경우, 부분분수분해와 삼각치환을 적절히 이용하면 반드시 초등함수 꼴의 부정적분을 찾을 수 있다. 한편, 초등함수의 부정적분이 초등함수가 되는 경우에, 리시 방법이라는 것으로 항상 구할 수 있다고 한다.
- 간혹 초등함수가 무리함수[4]나 대수함수를 포함한다고 오해하는 사람들이 있는데, 초등함수는 교과나 미적분 수준에서 단순히 함수들을 분류하기 위해 만든 것이 아니다. 초등함수의 대수학적인 정의는 지수함수와 로그함수를 포함하며 합성에 닫혀 있는 가장 작은 복소수 위의 체이며, 제곱근이나 역삼각함수 등도 중요해 보인다고 껴준 게 아니라 $$x^{1/n} = e^{(\log x)/n} $$이나 $$ \displaystyle \cos^{-1}(x) = \frac{1}{2} (\log( \sqrt{1-x^2} + ix) + \log (\sqrt{1 - x^2} - ix)) $$처럼 지수, 로그의 합성으로 표현할 수 있기 때문에 들어간 것이다. 리우빌이 1833년에 부정적분을 대수학적으로 찾아내기 위해 미분 대수(differential algebra) 등의 이론을 개발하고 이를 적용할 수 있는, 유리식 다음으로 가장 기본적인 대상을 초등함수로 '정의'한 것이 초등함수 개념이 만들어진 배경이기 때문이다. Risch 알고리즘도 이 리우빌의 이론을 체계화하는 과정에서 등장한 것이다.
[1] '닫힌 연산'이라는 개념을 모르는 사람들을 위해 설명하자면, '임의의 초등함수를 미분할 때 항상 초등함수가 나온다.(Differentiation of an arbitrary elementary function guarantees an elementary function as the result.)'[2] '닫힌 연산'이라는 개념을 모르는 사람들을 위해 설명하자면, '임의의 초등함수를 적분한다고 해서 항상 초등함수가 나오는 것은 아니다.(Integration of an arbitrary elementary function doesn't guarantee an elementary function as the result.)'[3] 대표적으로 $$\displaystyle \int \ln x \cos x \, {\rm d}x = -\mathrm{Si} \left(x\right) + \ln x \sin x + C$$. $$\mathrm{Si} \left(x\right)$$는 사인 적분이라는 특수함수이다.[4] 교과과정에서 배우는 무리함수는 제곱근이 전부이긴 하지만, 일반적으로 무리함수는 초월함수를 포함해 유리함수가 아닌 모든 함수를 의미한다.