브링 근호

'''브링 근호(Bring radical)''' 또는 초근호(Ultraradical)[1]는 특수함수의 일종으로, $$\mathrm{BR}(x)$$로 표기한다. 오차 방정식(Quintic equation)

$$x^5+x+a=0 $$

[1] 공식 역어는 아니다. 이렇게 표현한 이유는 이미 초제곱근이라고 불리는 함수($$\sqrt{x}_s = e^{(W \circ\,\ln)(x)}$$,테트레이션의 역함수)가 따로 있기 때문이다. 여기서 $$W$$는 람베르트 $$W$$ 함수이다.

의 실근을 $$\mathrm{BR}(a)$$로 표기한다. $$\mathrm{BR}(x)$$의 정의는 다음과 같다.

$$\mathrm{BR}(x) = -x \cdot {}_4{F}_3 \left(\dfrac{1}{5},\,\dfrac{2}{5},\,\dfrac{3}{5},\,\dfrac{4}{5};\,\dfrac{1}{2},\,\dfrac{3}{4},\,\dfrac{5}{4};\,-5\left(\dfrac{5x}{4}\right)^4\right)$$

여기서 $${}_4{F}_3$$은 초기하함수이다. 해당 함수의 그래프는 아래와 같다.

테일러 급수로 전개하면 다음과 같다.

$$\displaystyle \mathrm{BR}(-x) = \sum_{k=0}^{\infty} \dbinom{5k}{k}\frac{(-1)^{k} x^{4k+1}}{4x+1}$$

여기서 $$ \binom{5k}{k}$$는 조합이다.
원점 대칭인 홀함수[2]로, 다음이 성립한다.

$$\mathrm{BR}(x) = -\mathrm{BR}(-x)$$

[2] 일반적인 홀함수와는 달리 $$x > 0$$인 경우 $$\mathrm{BR}(x) < 0$$, $$x < 0$$인 경우 $$\mathrm{BR}(x) > 0$$이다.

주 활용처는 5차 이상의 고차방정식의 풀이로, 닐스 헨리크 아벨이 5차 방정식의 일반해를 구할 수 없다고 증명한 이래 뭇 수학자들이 여러 연구를 통해 찾아낸 것이다.
울프럼알파에서는 $$\mathrm{BR}$$ 대신 5를 변형한 듯한 모양의 근호를 독자적으로 만들어 쓰는 듯하다.
도함수는 역함수의 미분법 또는 음함수의 미분법을 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}\mathrm{BR}(x) =- \dfrac{1}{5[ \mathrm{BR}(x) ]^4+1}$$

[증명] --- 해당 함수의 정의에 따라 $$y^5 + y + x=0$$이다. 음함수의 미분법을 써 양변을 미분하면 $$\begin{aligned} 5y^4 \dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x} + \dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x} + 1&=0 \\ (5y^4+1)\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}&=-1 \\ \\ \therefore \dfrac{\mathrm d}{\mathrm {d} x}\mathrm{BR}(x)&=-\dfrac{1}{5y^4 +1}\\&=-\dfrac{1}{5[\mathrm{BR}(x) ]^4+1} \end{aligned}$$ [math()] [math()]