드 무아브르 공식

1. 개요

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$$\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{n}=\cos n\theta+i\sin n\theta$$

$$[ \mathrm{cis}(x) ]^n = \mathrm{cis}(nx)$$[1]

''' ''de Moivre’s formula'' '''
오일러 공식에서 유도되는, 절대값이 1인 복소수의 '''실수지수 거듭제곱'''을 단순화시켜주는 공식이다.[2]

$$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$$이므로, 양쪽 항에 각각 $$n$$거듭제곱을 취하면 $$\left(e^{i\theta}\right)^{n}=\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{n}$$ $$e^{in\theta}=\cos \left ( n\theta \right) +i\sin \left (n\theta \right)$$

또한 이 공식에 따라 허수지수함수는 반쌍형성[3]을 띤다.

$$\overline{\rm cis}(x) = {\rm cis}(-x)$$

2. 지수의 확장에 따른 드 무아브르 공식의 증명

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증명 과정은 먼저 수학적 귀납법으로 자연수 지수에 대해서 증명한 뒤, 이를 바탕으로 정수 지수, 유리수 지수에 대해서 증명하고 마지막으로 실수의 완비성을 이용해 실수 지수에 대해서 증명한다.

'''전제'''

정수론에서, 정수의 집합 $$\mathbb{Z}$$은 다음과 같이 정의된다.

①. 자연수 집합 $$\mathbb{N}:=\{n|n\in\mathbb{N}\}=\mathbb{Z^{+}}$$

※자연수 집합은 페아노 공리계를 만족하는 최소의 집합으로 정의된다. 자세한 내용은 자연수 항목 참조.

②. 음의 정수 집합 $$\mathbb{Z^{-}}:=\{-n|n\in\mathbb{N}\}$$

※음의 정수는 덧셈에 대한 역원이 자연수 집합에 속해있는 모든 수의 집합으로 정의된다.

③. 덧셈의 항등원 집합인 $$\{0\}$$

→ 정수의 집합 $$\mathbb{Z}:=\mathbb{Z^{+}}\cup\{0\}\cup\mathbb{Z^{-}}$$

이 전제를 토대로, 수학적 귀납법을 통해 증명한다.

2.1. 정수

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2.1.1. 자연수(양의 정수)

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①. $$\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{n}=\cos \left(n\theta\right)+i\sin \left(n\theta\right)$$는 $$n=1$$일 때는 자명하다. ②. $$\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{n}=\cos \left(n\theta\right)+i\sin \left(n\theta\right)$$가 임의의 양의 정수 $$k$$에서 성립한다고 가정하자. 즉, $$\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{k}=\cos \left(k\theta\right)+i\sin \left(k\theta\right)$$가 성립한다. 이제, 양변에 $$\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)$$를 곱해보자. $$\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{k}\cdot\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)=\left \{ \cos\left ( k\theta \right )+i\sin\left ( k\theta \right ) \right \}\times\left ( \cos \theta+i\sin \theta \right )$$ 좌변은 지수의 성질에 의하여 $$\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{k+1}$$이 되고, 우변은 전개하면 다음과 같아진다. $$\cos\left ( k\theta \right )\cos \theta-\sin\left ( k\theta \right )\sin\theta+i\left \{\sin\left ( k\theta \right )\cos\theta \right \}+\cos\left ( k\theta \right ) \sin\theta$$ 이제, 삼각함수의 덧셈정리에 의하여 정리해주면, 이 식은 이렇게 단순화된다. $$\cos\left \{ \left ( k+1 \right )\theta \right \}+i\sin\left \{ \left ( k+1 \right )\theta \right \}$$

즉, $$k$$에서 성립할 때, $$\left(k+1\right)$$에서도 성립하므로, 수학적 귀납법에 의하여 이 식은 모든 자연수 $$n$$에 대해서 항상 성립한다. 이로써 자연수(=양의 정수) 지수에서 드 무아브르 공식이 성립함을 증명했다.

2.1.2. 0

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$$\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{n}=\cos \left (n\theta \right)+i\sin \left(n\theta\right)$$에서, $$n=0$$일 때

좌변은 $$\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{0}=1$$이며

우변은 $$\cos \left(0\theta\right)+i\sin \left(0\theta\right)=1+0i=1$$이므로 자명하다.

2.1.3. 음의 정수

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$$a^{-b}=\displaystyle{\frac{1}{a^{b}}}$$라는 것과 $$\cos(\theta)-\sin(\theta)=\cos(-\theta)+\sin(-\theta)$$라는 것을 기억하자.

이제, 음의 정수 $$k$$에 대해서, $$k=-t$$가 되는 양의 정수 $$t$$를 생각하면, 자연수 지수에서의 드 무아부르 정리에 의해

$$\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{k}=\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{-t}=\displaystyle{\frac{1}{\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{t}}}=\displaystyle{\frac{1}{\cos \left( t\theta \right) +i\sin \left( t\theta \right) }}$$가 된다.

이제 이 식을 실수화 시키기 위해 분자와 분모에 $$\cos \left ( t\theta \right)-i\sin \left(t\theta \right) $$를 곱하자. 이는 $$\cos \left( t\theta\right)+i\sin \left(t\theta \right)$$의 켤레 복소수이다.

$$\displaystyle{\frac{\cos \left(t\theta\right)-i\sin \left(t\theta\right)}{\left(\cos \left(t\theta\right)+i\sin \left(t\theta\right)\right)\cdot\left(\cos \left(t\theta\right)-i\sin \left(t\theta\right)\right)}}=\displaystyle{\frac{\cos \left(t\theta\right)-i\sin \left(t\theta\right)}{\cos^{2} \left(t\theta\right)+\sin^{2} \left(t\theta\right)}}=\cos \left(t\theta\right)-i\sin \left(t\theta\right)$$가 된다.[4]

이 때, $$\cos \left(t\theta\right)-i\sin \left(t\theta\right)=\cos\left ( -t\theta \right )+i\sin\left ( -t\theta \right )=\cos \left(k\theta\right)+i\sin \left(k\theta\right)$$가 되어, 음의 정수 지수에서도 성립함을 증명했다.

이로써 자연수(=양의 정수), 0, 음의 정수 지수에서 모두 성립하므로, 정수 지수에서 드 무아브르 공식이 성립함을 증명했다.

2.2. 실수

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2.2.1. 유리수

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전제 정수지수에서 성립함을 보였기 때문에 이를 이용한다. $$\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{n}=\cos (n\theta)+i\sin(n\theta)$$가 유리수 지수 $$n=\displaystyle{\frac{a}{b}}$$ (a, b는 서로소인 정수)에서 성립한다고 하자. 즉, $$\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{\displaystyle{\left(\frac{a}{b}\right)}}=\displaystyle{\cos \left (\frac{a}{b}\theta\right)+i\sin(\frac{a}{b}\theta) }$$가 성립한다고 하자. 이제, 양 변을 $$b$$제곱하자. $$\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{\displaystyle{\left(\frac{a}{b}\right)}}\displaystyle{^{b}}=\displaystyle{(\cos (\frac{a}{b}\theta)+i\sin (\frac{a}{b}\theta))^{b}}$$ 좌변을 정리하면 $$\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{a}=\cos \left ( a\theta \right)+i\sin \left ( a\theta \right) $$가 되고, 우변도 정리하면 다음과 같다. $$\cos \left( b\cdot\frac{a}{b}\theta \right)+i\sin \left ( b\cdot\frac{a}{b}\theta \right)=\cos \left( a\theta \right )+i\sin \left ( a\theta \right) $$ 양 변의 계산값이 같으므로, 유리수 지수에서도 드 무아부르 공식이 성립함을 증명했다.

2.2.2. 무리수

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전제1. 실수의 완비성

수직선상에 위치한 어떤 수라도, 그 수를 향해 수렴하는 단조 증가, 혹은 단조 감소 유리수열을 만들 수 있다.

※예시

$$\sqrt{2}=1.414213\cdots$$라는 무리수가 존재한다면, 이런 수열을 만들 수 있다.

$$1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, 1.414213, \cdots$$

$$\displaystyle{\frac{a}{b}}$$라는 유리수가 존재한다면 이런 수열을 만들 수 있다.

$$a_{n}=\displaystyle{\frac{a}{b}-10^{-n}}$$

전제2. 지수함수의 무리수지수 정의

$$a^{b}$$라는 수가 주어졌을 시, $$b$$가 무리수라면, 이 $$b$$를 향해 수렴하는 단조증가/단조감소 수열 $$u_{n}, l_{n}$$을 만들 수 있다.

그렇다면, $$\displaystyle{\lim_{n \to \infty}a^{u_{n}}}=\displaystyle{\lim_{n \to \infty}a^{l_{n}}}$$로 극한값은 하나의 값으로 수렴하여, 이 수렴되는 극한값이 바로 $$a^{b}$$라고 정의된다.

이로써 유리수, 무리수 지수에서 모두 성립하므로, 실수 지수에서 드 무아부르 공식이 성립함을 증명했다.
즉, 실수의 완비성에 의하여 모든 실수 지수에서 성립하게 되는 것이다.
(Q.E.D)

[1] 오일러 공식을 함수꼴로 쓸 때의 형태.

[2] 지수함수의 복소수지수 거듭제곱은 다가함수가 되기 때문에, 드 무아브르 공식으로 유도되는 값은 대표값이 된다.

[3] 즉 켤레 대칭

[4] $$\displaystyle{\frac{z_1}{z_2}}=\displaystyle{\frac{z_{1}\bar{z_2}}{\left|z_2\right|^{2}}}$$라는 점을 이용해도 된다. $$z_1=1$$, $$\left|z_2\right|=1$$이므로 $$\displaystyle{\frac{1}{z_2}}=\bar{z_2}$$라고 해석할 수도 있다.