자연수
1. 개요
$$1,\,2,\,3,\,4,\cdots$$ 와 같이 나아가는, 보통 대상의 개수를 셀 때 나오는 수를 말한다.1이라는 개념의 단순한 사고도 매우 정교한 논리적 기반을 가진다.
The simplest thought like the concept of the number one has an elaborate logical underpinning
칼 세이건 | Carl Sagan
자연수의 집합은 영어 natural number의 첫 글자를 따와 $$\mathbb{N}$$이라고 쓴다.
대상의 수를 세는 것이 수학의 출발이니만큼, 수학의 탄생을 상징하는 가장 기본적인 개념이다. 이러한 맥락에서 수학자 크로네커는 '자연수는 신의 선물, 나머지는 모두 인간의 작품[1]' 이라는 말을 남기기도 하였다.
하지만 크로네커의 말과 반대로, 이 자연수도 사실 인간의 추상화로 '발명된' 개념이다. ''두 마리의 꿩과 이틀이 자연수 $$2$$의 예들이라는 것을 발견하는 데까지는 상당한 시일이 걸렸을 것이다."라고 버트런드 러셀이 말한 것처럼[2] 자연수마저도 관념의 표상이지 실제로 존재하는 대상은 아닌 것이다. 보다 심오하게 생각한다면, 수를 세는 것은 사실 일대일대응의 개념을 담고 있고, 여기서 칸토어가 현대적 무한의 개념을 착안했다고 보아도 무리는 아닐 것이다.
중등 교과과정에서는 보통 역사적인 관습을 따라 [math(0)]을 자연수로 치지 않지만,[3] 많은 사람들이 편의성의 문제로 자연수에 [math(0)]을 포함시켜 생각하기도 한다. 폰 노이만 체계를 따르는 수학자들이나 이산수학자 등등. 물론 이는 무엇이 맞고 틀리는지보다는 서로 다른 관습에 불과하다. 사실, 현대수학적 관점에서 보면 자연수는 하나의 베이스 원소가 존재하고, 수학적 귀납법이 성립하는 '구조'에 불과하기 때문에 [math(0)]으로 시작하건 $$1$$로 시작하건 구조적으로는 차이가 없다. 물론, 여기서 말하는 구조란 집합론적 구조를 말하고, 대수적 구조로 접근하면 [math(0)]을 포함하느냐 마느냐는 덧셈과 뺄셈 연산의 항등원을 넣느냐 마느냐의 큰 차이가 생기기때문에 차이가 있다. 물론, [math(0)]을 포함하는 편이 대수적으로 더 의미있는 구조(monoid)가 되기 때문에 대부분의 경우 [math(0)]을 자연수 집합에 포함시킨다. 물론 이런다고 곱셈의 역원은 물론 덧셈의 역원조차 없다는 설움(...)이 어디 가진 않지만은. 어쨌든 이런 사소한 애매함을 피하고자 수학자들은 자연수보다는 '''양의 정수'''(positive integer, 0 미포함) 및 '''음이 아닌 정수'''(nonnegative integer, 0 포함)의 용어를 주로 사용하는 편이다.
2. 자연수의 수학적 정의
20세기 전후 수학에서는 모든 것을 기호화된 논리로 정의하는 형식주의의 흐름이 시작되었고, 자연수를 어떻게 수학적으로 정의할까 하는 질문이 나오게 되었다. 수 체계 항목을 보면 잘 알 수 있겠지만, 다른 모든 수들이 자연수를 바탕으로 만들어지므로, 자연수의 정의는 수학의 기반이 된다고 볼 수 있다. 한편 개수를 세는 것에 대한 논의는 현대적 집합론에서 무한집합의 원소의 '개수' – 정확히는 기수(cardinality)라고 한다 – 에 대한 중요한 고찰로 이어진다.
2.1. 페아노 공리계
자연수를 정의하려는 초창기의 시도 중 하나가 페아노 공리계(Peano's axioms)를 이용해 자연수를 정의하는 것이다.
다음 성질들을 만족하는 집합 $$\mathbb{N}$$을 가리켜 자연수 집합이라고 한다
- $$\mathbb{N}$$은 $$1$$이라고 불리는 특별한 한 원소를 가진다.
- $$\mathbb{N}$$의 임의의 원소 $$n$$에 대하여 그 $$n$$의 다음 수(successor)[4] $$n^+$$도 $$\mathbb{N}$$의 원소다.
- $$1$$을 다음 수로 갖는 원소는 $$\mathbb{N}$$에 존재하지 않는다.[5]
- $$\mathbb{N}$$의 두 원소가 같은 다음 수를 가진다면, 두 원소는 같다.[6]
- (자연수의 귀납적 정의) $$\mathbb{N}$$의 부분집합 $$S$$가 $$1\in S$$이며, 임의의 $$n \in S$$에 대하여 $$n^+ \in S$$라면, $$S = \mathbb{N}$$이다.
2.1.1. 범자연수(0 을 포함하는 공리계)
$$ \mathbb{N_{0}} = \{ 0,~1,~2,~3,~\cdots \}$$ Whole Numbers(범자연수)라고 한다.[7][8]
덧셈의 항등원인 0 이 자연수 체계에 빠져 있는 것은 여러모로 불편하다. 현대의 수학자들은 페아노 공리를 적당히 변형하여, 아래와 같은 0 이 포함된 자연수 체계를 만들었다.
다음 성질들을 만족하는 집합 $$\mathbb{N}$$을 가리켜 자연수 집합이라고 한다
- $$\mathbb{N}$$은 [math(0)]이라고 불리는 특별한 한 원소를 가진다.
- $$\mathbb{N}$$의 임의의 원소 $$n$$에 대하여 그 $$n$$의 다음 수(successor) $$n^+$$도 $$\mathbb{N}$$의 원소다.
- [math(0)]을 다음 수로 갖는 원소는 $$\mathbb{N}$$에 존재하지 않는다.
- $$\mathbb{N}$$의 두 원소가 같은 다음 수를 가진다면, 두 원소는 같다.
- (자연수의 귀납적 정의) $$\mathbb{N}$$의 부분집합 $$S$$가 $$0\in S$$이며, 임의의 $$n \in S$$에 포함되는 임의의 원소 $$n$$에 대하여 $$n^+ \in S$$라면, $$S = \mathbb{N}$$이다.
최초의 원소를 무엇으로 놓느냐에 대한 완전한 합의는 아직 없는 것 같아 보인다. 당장 여러 책[9]만 봐도 무슨 상황인지 알 수 있을 것이다. 실제로 0으로 시작하느냐 1로 시작하느냐에 따라 내용이 좀 바뀐다. 바로 위 공리들에서는 단순히 기호 바꿔쓰기에 불과하지만 덧셈과 곱셈의 정의로 가면 기호만 바꿔쓰기를 넘어서는 차이를 보인다. 즉, 단순히 기호만 바꿔 쓰는 것이 아니라 '''0을 우리가 아는 그 0처럼 (대수적으로) 쓰겠다고 선언하는 것이다.''' 자세한 내용은 아래에 덧셈과 곱셈의 정의를 다룰 때 서술할 것이다. 사실 페아노가 처음 이 공리를 제시했을 때에는 1로 시작하는 공리를 내세웠지만 후대에 가서 0으로 시작하는 경우를 고안해냈고, 지금과 같이 둘이 공존하게 된 상황이 된 것이다. 아무래도, 후술하겠지만, 집합론에서 자연수를 구성할 때 0부터 시작하기 때문에 페아노 공리도 0부터 시작하는 것이 더 낫다고 여겨 그런 것인 듯. 대수적으로도 이래저래 다루기 더 편리한 것도 있고.[10] 그렇다고 오해해선 안 되는 게, 페아노 공리 자체에 어떤 결함이 있다든가 하는 건 결코 아니라는 것이다. 0부터 시작하든 1부터 시작하든 사실 그 후로 전개되는 내용은 맨 처음 자잘한 것만 빼고 완전히 똑같으며, 단지 편리함 의 차이만 있을 뿐이다. '''다만 그럼에도 0부터 시작하는 자연수와 1부터 시작하는 자연수는 엄연히 다른 것이니, 주의해야 할 것이다.'''
2.2. 자연수의 덧셈
이 다섯 가지 공리와 그리고 가장 간단한 형태의 덧셈, 곱셈, 그리고 대소 관계 정의를 이용하면 우리가 아는 자연수의 모든 성질들을 이끌어낼 수 있다. 자연수에서의 덧셈은 덧셈이 가지는 가장 기본적인 성질들을 추려서, 다음과 같이 귀납적으로 정의된다.
이게 끝이다. 사실 이런 식으로밖엔 자연수의 덧셈을 제대로 정의할 수 있는 방법이 사실상 없다.[11] 하지만 이런 정의와 페아노 공리, 특히 다섯 번째 공리(수학적 귀납법)가 만나면 우리가 아는 모든 게 다 튀어나온다. 일단 결합법칙, 교환법칙, 그리고 소거법칙[12]이 금방 나온다.(A1) 임의의 자연수 $$n$$에 대하여 $$n + 1 = n^+$$.
(A2) 임의의 자연수 $$m,\,n$$에 대하여 $$m + n^+ = \left(m + n\right)^+$$.
물론 $$1 + 1 = 2$$, $$2 + 3 = 5$$ 등등을 '증명'할 수도 있다! 여기선 그 유명한 $$1 + 1 = 2$$만 증명해 보겠다. 다음과 같다.
- $$1 + 1$$은 덧셈의 정의에 따라 $$1$$의 다음 수이다. ($$1 + 1=1^+$$)
- $$2$$는 $$1$$의 다음 수와 같다. ($$1^+=2$$)
- 따라서 $$1 + 1$$과 $$2$$는 같다. ($$1 + 1 = 2$$)
여기서 1 대신 0으로 시작하는 경우, (A1)은 이렇게 바꿔야 한다.
단순히 기호만 바꾸는 것으로 그치지는 않는다는 이야기이다. 전술하였듯이, 책마다 다르다. 그럼에도 수학적으로는 전혀 문제가 없는 이야기이다. 혹자는 이러면 문제가 되지 않냐고 할 수도 있겠지만 사실 0부터 시작하고 (A1) 대신 (A1')을 가정하면 (A1)이 동시에 만족된다는 것을 바로 알 수 있다. 간단히 증명하자면 $$n + 1 = n + (0^+) = (n + 0)^+ = n^+$$. (사실, 반대로 0부터 시작할 때 (A1')을 가정하지 않고 (A1)을 가정해도 $$n + 1 = n^+ , n + 0^+ = (n + 0)^+ = n^+ , n + 0 = n$$ 로 (A1')을 증명할 수 있다.)(A1') 임의의 자연수 $$ n$$에 대하여 $$n + 0 = n$$.
이 경우 1+1=2 의 증명이 약간 달라지지만 간단히 쓰면 아래와 같다.
- $$1 + 1 = 1 + (0^+) = (1 + 0)^+ = 1^+ = 2$$
2.3. 자연수의 곱셈
마찬가지로 자연수에서의 곱셈도 비슷하게 정의된다.
마찬가지로 이 정의와 페아노 공리를 통해 결합법칙, 교환법칙, 소거법칙 등등 중요한 성질들이 다 튀어나온다. 여기에 추가로 덧셈과 곱셈이 크로스!하여 분배법칙이 성립한다는 것 또한 보일 수 있다.(M1) 임의의 자연수 $$n$$에 대하여 $$n \times 1 = n$$.
(M2) 임의의 자연수 $$m, n$$에 대하여 $$m \times n^+ = m \times n + m$$.
덧셈에서 그랬듯이 0부터 시작하는 경우 (M1)은 다음과 같이 바꿔야 한다.
물론 이걸 가정하면 원래 (M1)이 성립한다는 것을 바로 알 수 있다. 간단하게 증명하자면 $$n \times 1 = n \times (0^+) = (n \times 0) + n = 0 + n = n$$.[13](M1') 임의의 자연수 $$n$$에 대하여 $$n \times 0 = 0$$.
여기에 곱셈에 대한 역원을 만든 것이 유리수 $$\mathbb Q$$이다.
2.4. 자연수의 대소관계
마지막으로 대소관계가 정의된다. 이건 좀 간단(?)하다. 1부터 시작되는 자연수 체계에서는 아래와 같다.
이 대소관계를 이용해서, 집합의 모든 원소를 하나씩 '''순서대로''' 나열할 수 있게 된다. 좀더 수학적인 표현을 쓰자면 전순서 집합(totally ordered set) 이며 정렬 순서 집합(well-ordered set)이다.두 자연수 $$a, b$$에 대하여 어떤 $$c$$가 존재해 $$a = b + c$$가 성립한다면, $$a > b$$이다.
0으로 시작하는 자연수 체계에서는 약간 조건이 추가되어서
또는 이것과 조금 다르게두 자연수 $$a, b$$에 대하여 '''0이 아닌''' 어떤 $$c$$가 존재해 $$a = b + c$$가 성립한다면, $$a > b$$이다.
로 표기할 수 있으며, 이렇게도 표기할 수 있다.두 자연수 $$a, b$$에 대하여 어떤 $$c$$가 존재해 $$a = b + c^+$$가 성립한다면, $$a > b$$이다.
등호(=) 는 앞에서 정의되었기 때문에, $$ > $$ 나 $$ \ge $$ 하나만 정의되어도, 이를 조합해서, $$ > , \ge , < , \le $$ 만드는 것은 어렵지 않다.두 자연수 $$a, b$$에 대하여 어떤 $$c$$가 존재해 $$a = b + c$$가 성립한다면, $$a \ge b$$이다.
2.5. 기타
이제 위에서 얻은 덧셈과 곱셈들을 대소관계의 정의와 버무려(...) 온갖 성질들을 다 얻을 수 있다. 물론 자연수 내에선 할 수 있는 게 좀 적긴 하다.(...) 이때 자연수를 확장시켜 더 다양한 세계를, 예컨대 정수라든가 유리수, 그리고 실수까지 만들어낼 수 있다. 자세한 건 수 체계 참고.
참고로, 페아노 공리는 자연수 집합이 무한집합이라는 걸 내포한다. 무한집합의 정의를 '자기 자신과 일대일 대응을 가질 수 있는 순부분집합을 갖는 집합'으로 한다면[14] 다음 수 함수가 $$\mathbb{N}$$에서 $$\mathbb{N} - \left\{1\right\}$$로 가는 일대일대응임을 보이면 된다.[15]
2.6. 자연수 구성하기
위에서 설명한 페아노 공리는 자연수를 가장 잘 설명하는 체계이나, 두 가지 문제가 있다. 첫 번째로는, 자연수 집합이 존재한다는 걸 보장하지 못한다는 것이다. 이제까지 했던 이야기는 '만약 이러한 집합이 존재한다면 어쩌구저쩌구 해서 이런 성질들이 성립한다'에 불과하지, 과연 이런 집합이 수학적으로 정의될 수 있는지는 완전히 다른 문제이기 때문. [16] 또한, 두 번째로는 '자연수의 의미'에 맞지 않을 수도 있다는 것이다. 페아노 공리만을 보자면, 적당한 무한수열을 가져오기만 해도, 그 수열은 자연수열이라고 할수 있기 때문에 우리가 알고있던 자연수라는 개념과는 괴리감이 생긴다.[17] 따라서 올바른 수학 체계는 자연수 집합, 즉 페아노 공리를 만족하는 집합의 존재를 자체적으로 보장해야 하며, 이 집합이 자연스럽게 정의되어야만 할 것이다.[18] 이는 현대 집합론에서 중요한 요소로 자리잡고 있다.
집합론 초창기에 체르멜로는
$$0 = \varnothing$$, $$n^+ \left(=n+1\right) = \left\{n\right\}$$
이런 방식으로 자연수를 구성했었다. 그러나, 곧 폰 노이만이 등장하여$$0 = \varnothing$$, $$n^+ = n\cup \{n\}$$
으로 재구성하였고, 이 정의가 체르멜로의 구성에 비해 갖는 몇 가지 큰 이점[19]이 있었기때문에 오늘날 집합론에서 자연수 하면 폰 노이만식의 구성을 대부분 떠올린다. 한편 ZF 공리계 중 '자연수들을 포함하는 집합이 존재한다'는 무한 공리(axiom of infinity)에 의해, 자연수 집합의 존재성이 보장된다. [20] [21]폰 노이만의 구성이 갖는 이점은 다음과 같다. 폰 노이만식 구성에서는 $$1=\left\{0\right\}$$, $$2=\left\{0,\,1\right\}$$, $$3=\left\{0,\,1,\,2\right\}$$, ... 이런식으로 모든 자연수는 그보다 작은 자연수를 원소로 가지며, 동시에 자신보다 작거나 같은 수는 부분집합으로 갖는다. 즉, ∈ 는 < 로, ⊆ 는 ≤ 로 자유롭게 바꿔쓸 수 있었던것이다.
2.6.1. 자연수 이상의 수 구성하기
이보다 더 커다란 장점은 '''자연수 이상의 수''' 역시 쉽게 표현이 가능하다는 점이다. 이 방법을 간단하게 응용하여 '''서수'''를 만들어 낼 수 있다.
일반적으로 자연수 하면 $$0,\,1,\,2,\,3,\cdots < \infty $$ 까지만을 상상하고, Zermelo 의 방식도 여기까지 가능하지만 폰 노이만 방식에서는 $$0,\,1,\,2,\,3,\,\cdots,\,\mathbb{N},\,\mathbb{N}+1=\mathbb{N}\cup \left\{\mathbb{N}\right\},\,\mathbb{N}+2=\mathbb{N}+1\cup \left\{\mathbb{N}+1\right\},\,\cdots,\mathbb{N}\cdot 2,\,\cdots,\,\mathbb{N}\cdot \mathbb{N}=\mathbb{N}^2,\,\cdots,\,\mathbb{N}^3,\,\cdots$$ 변태적으로 하늘을 뚫고 마구 나아간다. 이런 식으로 나아가는 수를 서수(Ordinal number)라 한다.
서수의 엄밀한 정의는 다음과 같은 초한 귀납법(transfinite induction)을 이용하여 이루어진다. 우선 다음 수(successor)를 이용해 $$0,\,1 = 0^+,\,2 = 1^+,\,3 = 2^+,\,\cdots$$ 등등을 정의한다. 이게 끝이 안 날 것 같으면 이제까지 서수를 모두 모은 극한(limit)을 생각해, $$\mathbb{N} = \left\{0,\,1,\,2,\,3,\,\cdots\right\}$$ 을 만든다. 다시 다음 수를 이용해 $$\mathbb{N}+1$$, $$\mathbb{N}+2$$, ..., 을 만들고, 극한 $$\mathbb{N} +\mathbb{N} = \left\{0,\,1,\,2,\,3,\cdots,\,\mathbb{N},\,\mathbb{N}+1,\,\mathbb{N}+2,\,\mathbb{N}+3,\,\cdots\right\}$$을 만들고, ..., 이렇게 $$\mathbb{N},\, \mathbb{N}\cdot 2,\,\mathbb{N}\cdot 3,\cdots$$의 극한 $$\mathbb{N} \cdot \mathbb{N} = \left\{0,\,1,\,\cdots \mathbb{N},\,\mathbb{N}+1,\,\cdots,\,\mathbb{N}\cdot 2,\,\mathbb{N}\cdot 2+1,\cdots,\,\mathbb{N}\cdot 3,\,\mathbb{N}\cdot 3+1,\,\cdots\right\},\,\cdots,\,\cdots$$ 이런 식으로 $$\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$$, 나아가서 $$\mathbb{N}^{\mathbb{N}^{\mathbb{N}^{\cdots}}}$$까지도 만들 수 있다. 이 과정은 $$\mathbb{N}^{\mathbb{N}^{\mathbb{N}^{\cdots}}}$$의 극한 $${\epsilon}_{0}$$까지 이어진다. (이때 $${\epsilon}_{0} = \mathbb{N}^{{\epsilon}_{0}}$$이다) 그러나 이렇게 극한까지 도달한 $${\epsilon}_{0}$$조차도 '셀 수 있는' 크기를 가지므로, 이보다 비교할 수 없이 큰 집합도 무한히 많이 존재한다. 보통 수리논리학에서 서수를 말할 때는 $$\mathbb{N}$$ 보다 $$\omega $$ 라는 기호를 사용하는데, 이들 모든 가산 순서수들의 집합 또한 생각할 수 있으며 그 집합을 $${\omega}_{1} $$라고 표기한다. 이는 가장 작은 비가산 무한 순서수이며, 당연히 $${\epsilon}_{0}$$보다 무한히 크다. 보다 세련된 서수의 정의는 정렬성(well-ordering)[22]이 성립하는 순서집합(ordered set)으로 정의하고, 이 중 유한한 서수만을 자연수로 생각하는 것이지만, 물론 그 서수의 존재성은 폰 노이만의 구성에 의해 보장된다.
여기까지 읽다 보면 자연수가 전혀 자연스러워 보이지 않을 것이다.
3. 실전에서 자주 쓰게 되는 자연수의 성질
비록 자연수의 정의 정립이 개념적으로는 중요하지만, 막상 실전에서는 상단에 서술한 정확한 정의까지 가야 할 경우는 드물다. 엄밀한 증명을 하는 수학전공자들도 기본적인 사칙연산의 성질에 더해, 다음의 동치인 두 가지 성질 정도만 사실상의 공리로 받아들이고 시작하는 편이 대부분이다.
- 정렬 원리(well-ordering principle)
공집합이 아닌 자연수의 부분집합은 항상 최소원을 갖는다.[23]
이라는 부분집합을 잡으면 '''최소원이 없게 된다'''. 그 외에도 하한을 갖는 집합이라 할지라도 $$\left(\sqrt{2}, \infty\right)\cap\mathbb{Q}$$라는 부분집합을 잡을 경우, '''$$\sqrt{2}$$보다 큰 유리수에서''' $$\sqrt{2}$$로 끊임없이 접근하는 유리수열을 만들 수는 있어도 $$\sqrt{2}$$는 유리수에 없어서 최소원이 존재하지 않게 된다. 이 정렬원리에 의하여 공집합이 아닌 '''임의 형태의 집합(열린집합 포함)을 잡아도 최소원을 가지는''' 부분집합은 자연수의 부분집합과 1:1 대응이 된다는 것이 확정된다.]
대개의 정수론 및 대수학 교재에서는 이 셋을 기반으로 해서, 나눗셈 정리부터 시작해서 산술의 기본정리, 최대공약수 등등 정수론의 주요 정리들을 따라가게 된다. 여러 자연수의 성질들은 이들을 주로 탐구하는 정수론과 관련해서 다양하게 찾아볼 수 있다.자연수(양의 정수)의 부분집합 $$A$$가 두 성질 (1) $$1 \in A$$ (2) $$n \in A \Rightarrow (n+1) \in A$$ 을 만족한다면, $$A$$는 자연수 집합 전체가 되어야 한다.
4. 기타
자연수는 인류 역사상 어디서나 매우 자연스럽게 여겨졌지만[25], 이에 단순히 음부호만 붙인 음수 (혹은 음의 정수), 심지어 0을 받아들이는 데에도 훨씬 많은 시간이 걸렸다.
피타고라스 학파가 모든 만물은 자연수(와 그 비인 양의 유리수)로 이루어져 있다고 믿다가 무리수 2의 제곱근을 만나 데꿀멍한 것은 잘 알려진 이야기.
5. 제목이 자연수로만 된 문서
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- 8492 - 에이스 컴뱃 5의 미션
- 16383 - 리듬 게임 Dynamix의 수록곡.
- 24601 - 장 발장의 죄수번호이자 리다이렉트.
- 39420 - 파이어로의 리다이렉트.
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- 0과 1 사이의 수
6. 닫혀 있는 연산
[1] Natural numbers were created by God. All else is the work of men.[2] <수리철학의 기초>, 버트런드 러셀 저, 임정대 옮김. 경문사, p.3[3] 유럽에서는 [math(0)]을 인정하는 데에 16세기나 걸렸음에 유의하자.[4] 프로그래머라면 C++;로 친숙한 바로 그 연산.[5] 다음 수는 '사실상' $$+1$$ 이라고 생각해도 되고, 그렇게 생각하는 편이 직관적으로 이해하기 쉽다. 굳이 $$+1$$이 아니더라도 적당한 '$$\mathbb{N}$$에서 $$\mathbb{N}$$으로 가는 함수'면 어느 것이든 상관없다.[6] '특정 다음 수를 가지는 수는 유일하다'와 동치이다.[7] 어디까지나 비공식적으로 널리 쓰일 뿐이지, 대한수학회 확인 결과 정식적으로 번역된 용어가 없으므로 유의할 것.[8] 컴퓨터과학에서는 unsigned integer라는 표현을 쓴다. 말 그대로 '부호가 없는 정수'.[9] 예를 들어 영문 위키백과 28번 주석만 봐도 상황을 알 수 있다. 이 주석에서는 0부터 시작하는 걸 다루는 책으로 Halmos, Paul (1960), Naive Set Theory와 Hamilton, A. G. (1988), Logic for Mathematician을 들고 있고 1부터 시작하는 걸 다루는 책으로 Morash, Ronald P. (1991), Bridge to Abstract Mathematics: Mathematical Proof and Structures를 들고 있다. 참고로 영문 위키에서는 0부터 시작한다.[10] 어떤 연산에 대한 항등원이 있느냐 없느냐 하는 차이가 해당 연산을 다룰 때 매우 큰 차이를 만든다.[11] 그런데 여기서 이렇게 정의하는 방법이 과연 올바른 것인가 하는 의문을 가질 수 있다. 덧셈도 어떤 연산 혹은 사상, 즉 $$+: \mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \mathbb{N}$$으로 잘 정의되어야 하는 것인데, 저런 식의 정의가 '''잘 정의된''' 사상 $$+: \mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \mathbb{N}$$을 만들 수 있느냐는 것이다. 다르게 말하자면 저 조건을 만족하는 사상 $$+: \mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \mathbb{N}$$이 존재하긴 하는지, 그리고 유일한 건지 모른다는 것이다. 다행스럽게도 이에 대한 답은 recursion theorem으로 충분히 설명이 가능하다. 물론 아래에 소개되는 곱셈도 이 정리로 잘 정의가 된다. 여담으로, 이 정리를 이용해서 자연수의 유일성(up to isomorphism)도 증명 가능하다.[12] $$a + c = b + c$$ 이면 $$a = b$$ 가 성립한다는 것[13] '''덧셈과 달리 곱셈은 (M1)을 가정했을 때 $$n \times 1 = n , n \times 0^+ = n \times 0 + n = n$$로 (M1')을 증명할 수 없다. n과 더해서 n이 되는 수 즉, 덧셈에 대한 항등원이 0으로 유일하다는 공리가 없기 때문이다.'''[14] 무한집합의 정의는 이것 말고도 또 있다. 이는 자연수 집합을 직접 이용하는 방법이 있는데, 이에 대해선 더 이상의 자세한 설명은 생략한다.[15] 어려운 부분은 다음 수 함수가 전사함수임을 보이는 것이다. 먼저 자연수 집합의 부분집합 $$A$$를 다음과 같이 정의한다: $$A$$는 일단 $$1$$을 포함하며, 그리고 자신이 어떤 다른 원소의 다음 수인 모든 자연수들을 포함한다고 하자. 그러면 만약 $$n$$이 $$A$$에 포함된다면, $$n^+$$가 $$n$$의 다음 수이므로 $$A$$에 포함되고, 이는 맨 처음 $$A$$가 $$1$$을 포함한다는 조건과 함께 다섯 번째 공리의 조건과 일치하게 된다. 따라서$$ A = \mathbb{N}$$이고, 여기서 잠깐 쓰였던 $$1$$을 갖다 버리면(...) $$1$$을 뺀 나머지 모든 자연수들에 대하여 자신을 다음 수로 갖는 자연수가 존재함을 밝힐 수 있다.[16] 애초에 이름이 '공리'라는 것부터 그 한계를 짐작할 수 있다.[17] 예를 들어, 1의 후임자는 3이고, 3의 후임자는 2이고, 2의 후임자는 4라고 정의된 수열이라도 페아노 공리계의 조건을 만족할 수 있다. 하지만 알다시피 이 수열은 우리의 상식과는 거리가 멀다.[18] 만약 자연스럽지 않고, 생각도 못한 집합이거나 한다고 하면 이 집합은 아무런 쓸모가 없는 것이다.[19] 예를들어, 노이만의 정의에서는 자연수 자체가 일종의 서수(ordinal)가 된다.[20] 이 공리가 필요한 이유는 공리적 집합론(axiomatic set theory)의 관점에서 보면 대상을 모았다고 무조건 집합으로 생각될 수 없기 때문이다. 아주 간단히 말하자면 공리적 집합론에서는 대상을 모은 것을 '류(class)'이라 하고, 이 모임이 다른 모임의 원소가 될 때만 '집합(set)'으로 불린다. 그리고 집합에 대해서만 우리가 생각하는 수학을 전개하게 된다. 이는 모든 모임을 집합으로 인정한다면 러셀의 패러독스 같은 안 좋은 일들이 마구마구 일어나기 때문.[21] 거의 공리로 보장된 것만 집합으로 인정하는 공리적 집합론의 이러한 관점에서는, 자연수 전체의 모임이 집합이 되는지 이렇게 공리로 보장해 주지 않으면 무한집합 자체를 생각할 수가 없는 상황이 되어 버린다.[22] 공집합이 아닌 임의의 부분집합에 대해 최소원이 존재한다는 성질로 자연수 집합은 이 성질을 가진다.[23] '''자연수의 부분집합'''이라는 부분이 중요한 이유는 실수나 유리수의 부분집합을 예시로 들 경우, 먼저 상한만을 갖는 집합을 따져서 [math(\left(-\infty, 0\right]\cap\mathbb{R, Q})[24] 역설적으로 보이지만 이 명제는 리만 가설을 필두로 한 해석적 정수론에서 꽤 중요한 내용이다.[25] 당장 수사라는 품사가 전부 자연수로 이뤄져 있다.