오일러 공식
1. 개요
Euler's formula
1714년 로저 코츠가 이 공식의 양변에 자연로그를 씌운 형태의 공식을 처음으로 발견했다. 1748년에 출판된 오일러의 책 《Introduction》에 현재 알려진 것과 같은 형태로 처음 수록된 것으로, 다음과 같은 내용이다.
$$e$$는 자연로그의 밑, $$i$$는 허수단위.실수 $$ x $$에 대해 다음이 성립한다.
$$ e^{ix} \equiv \cos x + i \sin x $$
$$ x $$에 $$ \pi $$ (또는 $$ \tau / 2$$)를 대입하면 오일러 등식을 얻을 수 있다.
순허수가 아닌 일반적인 복소수에서는 다음과 같이 된다.
$$e^z = e^{\Re(z)+i\,\Im(z)} = e^{\Re(z)}e^{i\,\Im(z)} = e^{\Re(z)}((\cos \circ \Im)(z) + i\,(\sin \circ \Im)(z))$$
1.1. 함수 꼴
한편 오일러 공식 자체를 함수로 만든 것도 있는데, 함수의 이름자는 '''c'''osine, '''i'''maginary unit, '''s'''ine에서 한 글자씩 따왔다. 윌리엄 로원 해밀턴이 이 표기를 정립했다.$$\mathrm{cis}(x) \equiv e^{ix}= \cos x + i \sin x$$
$$\overline{\mathrm{cis}}(x) \equiv e^{-ix}= \cos x - i \sin x$$
이 함수에서 파생된 [math(\rm cas)]라는 함수도 있다. 위 정의식에서 $$i$$가 빠진 형태.
2. 증명
증명은 테일러 급수[1], 미분 계산[2], 미적분, 미분방정식[3], 복소평면과 함수의 극한[4] 등을 이용해서 할 수 있다.
간단한 예를 들면 양쪽을 함수로 보고 미분하되, 미분한 결과를 테일러 급수로 나타내서 비교하는 걸로 끝. 대부분은 3차항까지 전개하기 전에 규칙을 깨달을 것이다. 모르겠으면 이항정리를 다시 볼 것. $$ \Re \left( e^{ix} \right) =\cos x $$을 $$ x $$축의 실수, $$ \Im \left( e^{ix} \right) = \sin x $$을 $$ y $$축의 허수로 보면 복소평면과 관련된 공식들을 이해하기 쉬위진다.[5]
사실 증명이라고 하지만 미적분을 이용해서 복소수 지수를 정의하는 것에 가깝다.[6] 복소수의 지수가 정의되었기에 복소수의 로그 또한 정의된다.
다만 이 공식은 사실상 우연에 의해서 완성된 것에 가깝다. 애당초 결과값이 수렴하는 무한급수라도 항의 순서를 바꿔서 재정리시에는 원래 급수의 합과 일치하지 않는 경우가 있기 때문이다. 심지어 이렇게 일치하지 않는 경우라면, '''임의의 값으로 수렴하도록''' 재배열할 수 있다는 것이 증명되어 있다. 리만 재배열 정리 참조. 다행히 $$\{e^{x}\}_{x=ix}$$의 테일러 급수전개는 절대수렴하는 급수의 합[7]으로 표현되기 때문에 허수단위와 실수단위의 순서를 바꾸는 것이 허용된다. 오일러가 연구할 때만 하더라도 아직 무한급수의 절대수렴 조건이 알려지지 않았기 때문에 오일러에게 있어서는 천운에 가깝다.
3. 의의
이 식이 출현하기 전엔 애초에 실수와 순허수는 서로 계산 불가능했으며[8], 자연로그의 밑 [math(e)]은 지수함수 계산에, 원주율은 삼각함수 계산에 쓰던, 각기 독자적으로 발견, 개발되고 서로 고유의 영역을 이루고 있어서 여간해선 만날 일 없던 수들이었다. 이 식이 출현하고 나서, 실수와 순허수는 복소평면이라는 공간에서 서로 만나게 되었으며, 초월함수인 지수함수와 삼각함수가 복소평면 상에서 결국 동일한 현상이었다는 것을 밝혔다.
여담으로 분할복소수(Split-Complex Number)에서도 비슷한 식이 적용되는데, $$e^{jx}=\cosh x+j\sinh x$$의 형태로 전개된다.($$j\neq\pm 1, j^{2}=1$$인 허수단위.)
재미있게도 멱영원을 대입하면 더 재미있는 결과가 발생하는데, $$e^{\epsilon x}=1+x\epsilon$$이라는 1차함수로 바뀌게 된다.
즉, 지수함수인 $$e^{x}$$가 3개의 허수단위를 통해서 삼각함수, 쌍곡선함수, 1차함수와 동일한 현상이라는 결론이 나오게 된다. 다만 이는 정확히 따지면 지수함수 $$e^{x}$$의 매클로린 급수식에 허수단위를 대입한 결과다. 복소수, 이원수, 분할복소수 모두 2행2열 실행렬로 구현이 가능한걸 안다면 눈치챌 수 있는데 정사각행렬의 지수함수도 이런식으로 정의한다.
$$e^{z}=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{z^n}{n!}} = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \cdots$$에서, z 대신 $$ix, jx, \epsilon x$$을 각각 대입하면, 다음과 같이 전개된다.
밑과 지수가 허수인 거듭 제곱을 정의할 수 있다. 예를 들어
로써 값이 하나로 정해지지 않지만, 보통 n=0, 즉 [math(\mathrm{arg}(z) \in (-\pi,\pi])]이게 정해서 값이 하나가 되도록 한다. 특이하게도 이 값은 0.20787957635... 으로 표현되는 '''실수'''이며, '''지수의 밑의 절대값이 1'''인데, 정작 그 지수함수로서의 결과물의 절대값이 1이 아니라는 특이성을 보여준다.
4. 유용성
4.1. 수학
이 식을 이용하면 $$ x^n = z $$ ($$n$$은 자연수, $$ z $$는 0이 아닌 복소수)의 $$n$$개의 복소수 해 $$x$$가 복소평면에서 정$$n$$각형을 이룬다는 걸 보이거나 $$ x^3 = \pm 1 $$의 복소수근에 관한 문제를 인수분해 없이 풀 수 있다.[9] 이 방법은 $$ x^n = \pm 1 $$의 복소수근을 구하는 데에도 그대로 사용될 수 있다.
또한 이 식을 이용하면 $$ e^x $$ ($$x$$는 순허수)의 절댓값은 항상 1이라는 것도 알 수 있다.(복소평면에서의 단위벡터)
군론에서도 자주 활용되는데 $$ z^n = 1 $$ 의 근들은 곱셈에 관해 군을 이루기 때문. 이는 드 무아브르 공식을 이용하여 간단하게 증명할 수 있다. 그리고 해당 군은 $$ Z_n $$ 형태의 순환군과 동형이다. 이는 $$ |z| = 1 $$ 들만 모아놓아도 곱셈군을 이루는데 해당 군에서는 모든 자연수에 대한 $$ Z_n $$ 부분군을 잡을 수 있으나 본래 군은 비가산개의 원소를 가지는 특이한 군의 예시가 되기도 한다. 또한 이 공식을 활용해 유리수 확대체 에서의 갈루아 군을 계산하는 등 대수학에서도 무궁무진하게 활용되는 식이다.
또한 푸리에 해석에서도 핵심이 되는 공식인데 이 공식 하나만 알고 있으면 삼각함수와 쌍곡함수의 라플라스 변환 공식은 외울 필요도 없이 그냥 지수함수로 계산하여 실수부 허수부를 취하는 것만으로 쉽게 계산할 수 있으며 푸리에 해석에서 함수공간의 기저가 되는 직교함수(Orthogonal function)를 순허수 지수를 갖는 지수함수들로 정의하여 푸리에 계수를 계산하는것이 일반적이다.
그리고 이전까지 실수 위에서 전개되던 미적분학을 복소수 범위까지 확장시켜 복소해석학이라는 분야를 개척하는데 기여한 일등공신이라 할 수 있다.
고등학생의 경우 이 공식을 접할 일이 없으나, 알고만 있다면 종종 강력한 무기가 되어주기도 하는데, 이유는 짜증나는 삼각함수의 미적분과 공식들을 간단한 지수함수 미적분과 곱셈으로 바꿔주기 때문. 특히 수험생들을 괴롭히는 삼각함수의 덧셈정리를 유도할 때 이 공식을 활용하면 간단한 복소수의 곱셈만으로 대부분의 공식을 유도할 수 있다.
서로 곱하면 편각이 더해진다는 점을 이용해 편각을 구하는 데에 꽤나 도움이 된다. 예를 들어, 기울기가 2인 직선과 기울기가 0.5인 직선의 사이의 각도를 구할 때, 복잡한 탄젠트 공식 쓰지 말고 그냥 (1+2i)(2-i) 해줘서 4+3i, 즉 약 37도 라는것을 쉽게 구할 수 있다.
4.2. 전자공학
전자공학에서 이 식이 없었다면, 모든 전자분야가 이 정도로 발전하긴 힘들었을지도 모른다. 간단히 말하자면 주파수에 관련하여 $$ e^{j\omega t} $$ 형태의 서술이 꼭 필요하다.[10] 이런 복소 지수 표현은 전자공학을 공부하거나, 혹은 진동에 대해서 공부한다면 페이저라는 형태로 매 강의마다 당연히 보게된다. 특히 무선통신은 이 식 없이는 '''설명이 거의 불가능하다.''' 전자기학에서도 중요한 식인데 전자기학 자체가 이 등식처럼 전기와 자기를 결합하는 이론이기 때문이다.
이해하기 힘든 위키러를 위해 간단한(...) 설명을 첨부하자면 다음과 같다:
즉 진폭과 진동수를 가지고 진동하는 모든 것들은 삼각함수를 사용하면 난해하기 때문에 삼각함수를 대체하기 위해서[11], 그리고 미분방정식을 대수적으로 쉽게 풀기 위해서 등 다양한 이유로 인해, 저런 복소 지수표현을 통해 미분이고 적분이고 지지고 볶고 계산한 후, 이후 실수부가 필요할 경우[12] $$\text{Re}\left[\cdot\right]$$[13]를 씌워 실수부를 취하는 것이다. 이것을 페이저 변환이라 부르기도 한다.
오일러의 공식과 페이저의 유용함을 확인하기 위해 페이저 사용법 중 하나를 살펴보자. $$\dfrac {\mathrm{d}} {\mathrm{d}t}e^{j\omega t}=j\omega e^{jwt}$$이므로 $$\dfrac {\mathrm{d}} {\mathrm{d}t}\equiv jw$$라는 뭔가 이상한 정의를 해보자. 이를 미분방정식에 대입해서 $$\dfrac {\mathrm{d}} {\mathrm{d}t}$$를 $$jw$$로 모조리 바꿔치기하면 미분방정식이 대수방정식으로 바뀌게 되어 해를 매우 쉽게 구할 수 있다. 예를 들어 저항, 커패시터, 인덕터가 복잡하게 들어간 회로를 정상 상태 분석(steady state analysis)하려면 연립 미분방정식을 풀어야 한다. 이때 페이저를 도입하면[14] 키르히호프의 법칙 등 DC 저항 회로를 해석하는 방식을 그대로 적용해서 대수방정식 풀이만으로 간단히 회로 해석이 가능하다. 회로이론 문서 참조. 이런 식으로 미분연산자를 치환해서 해를 구하는 방법은 당시 수학자들이 보기에 수학적 엄밀함이 황당할 정도로 부족했고 오류로 가득 차 보였으므로 올리버 헤비사이드가 이 방법을 제안했을 때 많은 수학자들의 공격을 받았다. 헤비사이드는 수학자들의 비판에 대해 "증명은 실험실에서 한다.", "나는 소화과정을 이해하지 못한다는 이유로 저녁식사를 거부하진 않는다."고 비꼬았다고 한다. 미분방정식의 풀이 방법은 이상했지만 결과는 정확하게 나왔으므로 이를 기반으로 임피던스 등의 유용한 개념이 개발되었으며, 후에 라플라스 변환과의 관련성이 밝혀지면서 수학적 엄밀함을 확보하게 되었다.
다음은 무선 통신에서 오일러의 공식을 사용한 예인데, 무선 통신에서 안테나를 사용해 채널로 쏘아 보내는 신호를 오일러의 공식을 사용해서 $$\mathrm{Re}[s_{l}\left( t\right) e^{j2\pi f_{c}t}]$$ 이렇게 나타낼 수 있다. 음성, 영상등의 정보를 표현하는 신호인 $$s_{l}\left( t\right)$$를 원하는 주파수 대역에 통과시키기 위해 캐리어 주파수가 $$f_{c}$$인 고주파로 바꿔주는 것이다.[15] $$s_{l}\left( t\right)$$에 그냥 $$\cos \left( 2\pi f_{c}t \right)$$ 을 곱하지 않고 복잡하게 $$\mathrm{Re}[s_{l}\left( t\right) e^{j2\pi f_{c}t}]$$ 하는 식으로 나타낸 이유는 $$s_{l}\left( t\right)$$가 복소수 신호이기 때문인데, 자세한 내용은 변조(통신) 항목 참조.
5. 참조
오일러의 공식 위키백과
6. 기타
위상수학에서는 면의 수 $$f$$, 변의 수 $$e$$, 꼭지점의 수 $$v$$라고 할 때 원과 위상적으로 같은 2차원 평면도형에서 $$v-e+f=1$$, 구와 위상적으로 같은 3차원 입체도형에서 $$v-e+f=2$$라는 오일러의 공식[16]이 있다. 오일러 정리, 오일러 방정식과는 다른 것이다.
[1] $$ e^x $$의 전개식에 $$ x := ix $$를 넣으면 기적처럼 $$i \sin{ x }$$의 전개식과 $$ \cos{ x } $$의 전개식이 등장한다.[2] $$ e^{ ix } $$를 네 번 미분하면 자기 자신으로 돌아오는데 이때 이런 함수는 $$\sin{ x }, \cos{ x } $$가 대표적. 그러므로 이를 선형결합시키고 상수를 계산하면 공식이 등장한다.[3] $$ f \left( x \right)=\cos x+i\sin x $$ 으로 하면 $$ f \left( x \right) = -if' \left( x \right) $$이므로 미분방정식을 풀면 $$f \left( x \right) = e^{ ix } $$이다.[4] 네이버 캐스트 오일러의 공식참고[5] 대표적으로 두 복소수의 편각의 합이 두 복소수의 곱의 편각과 같다든가...(이 경우 삼각함수의 덧셈정리로 증명할 수 있다.)[6] 고등학생때 지수를 '유리지수'와 '실지수'로 확장시켰듯이.[7] 원래 급수도 수렴하며 각 항의 절대값에 대한 급수값도 수렴하는 급수. 절대수렴과 순서 재배치 후의 수렴값이 일치하는 성질은 유한차원 벡터공간에선 동치이다. 무한차원의 경우 조화급수를 이용한 반례가 있다.[8] 고등학교 1학년 수학에서 복소수 단원을 상기해보자. 복소수는 a+bi이며 a와 b는 실수라고 정의하고 있었다. 복소수끼리 덧셈과 뺄셈을 할 경우엔 실수부와 허수부끼리만 놀았으며 곱셉은 $$ i^2 = -1 $$을 이용하여, 나눗셈은 분모의 허수부를 곱셈공식으로 없애는 식이었다. 즉 실수와 순허수는 아예 따로 노는 놈들이었다.[9] 이 방정식 자체는 고등학교 수준이지만, 고등학교 과정에서 이 방정식의 해를 완전히 구하려면 결국 인수분해와 이차방정식의 근의 공식을 이용해야 한다. 또는 문제에 따라서는 해를 완전히 구하지 않고 해의 성질들을 이용하기도 한다. 그런데, 이 문서의 내용을 알고 삼각함수에 조금 익숙하다면, $$ x^3 = \pm 1 $$의 복소수근에 관한 문제를 머릿속으로 풀어 버린 뒤 바로 답을 적어 버리는 것이 가능하다. 조금 예를 들면 $$ x^3 = \pm 1 $$을 읽자마자 바로 이 방정식의 세 근을 완전하게 적어 내려갈 수 있다든지.[10] $$ \omega $$는 각주파수, $$ j $$는 허수 단위. 전류가 이미 i를 먹어버린 전자공학에서는 허수 단위를 i 대신 j로 표기한다.[11] 삼각함수의 지저분한 공식들을 생각해보자. 그에 비하면 지수함수의 계산은 매우 간단하다. 따라서 지수함수와 오일러의 공식을 이용한 복소 지수 표현으로 삼각함수를 대체하면 식의 전개가 매우 간단해진다. 페이저는 여기서 한발짝 더 나가 선형 변환에서 주파수는 변하지 않으므로 복소 지수 표현에서 주파수를 뻬고 크기와 위상만 표기해서 더 쓰기 편하게 만든다는 개념이 포함되어 있다.[12] 예를 들면 입출력 함수를 t(시간)에 관한 식으로 표현하는 경우[13] 순수수학에서는 $$\Re(\cdot)$$로 쓰기도 한다. 자매품으로 허수부만을 취하는 $$\Im(\cdot)$$ / $$\mathrm{Im} \left[ \cdot \right]$$ 이 있다.[14] 입력 신호가 교류 사인곡선 형태라면 페이저를 바로 도입할 수 있다. 입력 신호가 사인곡선이 아닌 다른 형태여도 푸리에 해석에 의해 신호를 삼각함수의 합으로 표현하는게 가능하므로 페이저를 도입하는게 가능하다.[15] $$\mathrm{Re}[s_{l}\left( t\right) e^{j2\pi f_{c}t}]$$를 푸리에 변환하면 $$\dfrac {1} {2}S_{l}\left( f-f_{c}\right) +\dfrac {1} {2}S_{l}^{\ast }\left( -f-f_{c}\right)$$가 되는데 $$s_{l}\left( t\right)$$의 스팩트럼이 고주파 대역으로 이동한 모습이다. 참고로 라디오에서 원하는 채널의 방송을 듣기 위해 주파수를 맞춰줘야 하는데, 이때 맞춰주는 주파수가 듣고자 하는 라디오 채널의 캐리어 주파수 $$f_{c}$$이다.[16] 이쪽은 주로 오일러 지표(Euler Characteristic)라고 불리며, 이 값 자체를 $$\chi(M)$$라고 표기한다. 위상적 불변량인데, 엄밀히는 입체도형의 구멍 수인 $$h$$를 정의하면 $$\chi(M)=v-e+f=2-2h$$로 일반화시킬 수 있다. 즉 원환면(토러스)의 경우는 구멍이 하나니까 $$v-e+f=0$$이 되는 것. 또한 가우스 곡률과도 관계가 있는데, 컴팩트 곡면 $$M$$ 상에서 가우스 곡률 $$K$$ 사이에는 다음과 같은 관계가 존재한다.
$$\displaystyle\iint_{M}KdM=2\pi\chi(M)$$. 이를 가우스-보네 정리(Gauss-Bonnet Theory)라고 한다. 여담으로 컴팩트 곡면이 아닌 경우. 즉 경계가 있는 곡면의 경우는 공식이 조금 바뀌는데, 경계선을 $$\partial M$$이라 하고 측지곡률 $$k_g$$을 정의하면 $$\displaystyle\iint_{M}KdM+\int_{\partial M}k_{g}ds=2\pi\chi(M)$$가 된다.
$$\displaystyle\iint_{M}KdM=2\pi\chi(M)$$. 이를 가우스-보네 정리(Gauss-Bonnet Theory)라고 한다. 여담으로 컴팩트 곡면이 아닌 경우. 즉 경계가 있는 곡면의 경우는 공식이 조금 바뀌는데, 경계선을 $$\partial M$$이라 하고 측지곡률 $$k_g$$을 정의하면 $$\displaystyle\iint_{M}KdM+\int_{\partial M}k_{g}ds=2\pi\chi(M)$$가 된다.