등가속도 운동
1. 개요
'''Uniformly accelerated motion · 等加速度運動'''
가속도가 일정한 운동이다. 고전역학적으로, 계의 가속도는 곧 계가 받는 알짜힘을 질량으로 나눈 값이다. 따라서 일정한 알짜힘이 작용할 때 이 운동이 나타나게 된다.
이 운동은 초급 물리학을 논의할 때, 등속도 운동 다음으로 나오게 된다.
이 문서는 고교 수준의 물리학 보다 조금 더 수준이 높게 기술되어 있으며, 일반물리학 수준의 문제에 응용하기 위해 서술되었다. 고교 이하의 위키 유저들은 참고서를 볼 것을 권한다.
2. 분석
2.1. 1차원
가속도는 물체의 위치의 이차 시간 미분이다. 즉, 계의 위치벡터 $$\mathbf{r}$$의 이차 시간 미분인,
이고,간단한 1차원일 때를 분석해보고자 한다. 1차원은 그 특성상 벡터 표기를 무시하고 쓸 수 있다. 즉, 시간에 대한 계의 위치를 $$x$$라 놓으면,
$$\displaystyle a= \ddot{x}$$
$$\displaystyle \dot{x}=at+v_{0} \qquad \qquad x=\frac{1}{2}at^{2}+v_{0}t $$
$$\displaystyle v=at+v_{0} \qquad \qquad x=\frac{1}{2}at^{2}+v_{0}t+x_{0} $$
이 문단에선, 한 가지 유용한 식을 유도하고자 한다. 위치 식을 약간 변형하면,
$$\displaystyle x-x_{0}=\frac{1}{2}at^{2}+v_{0}t $$
$$\displaystyle t=\frac{v-v_{0}}{a} $$
$$\displaystyle \Delta x=\frac{1}{2}a \left( \frac{v-v_{0}}{a} \right)^{2}+v_{0}\left( \frac{v-v_{0}}{a} \right) $$
$$\displaystyle 2a\Delta x=(v-v_0)^2+2v_0(v-v_0) $$
$$\displaystyle 2a \Delta x =v^{2}-v_{0}^{2} $$
$$\displaystyle ma \Delta x =\frac{1}{2}m(v^{2}-v_{0}^{2}) $$
$$\displaystyle W=\Delta T $$
이상에서 아래와 같은 1차원 등가속도 운동에서 중요한 3공식을 얻었음을 알 수 있다.
$$\displaystyle \begin{aligned} v&=at+v_{0} \\ \Delta x&=\frac{1}{2}at^{2}+v_{0}t \\ 2a \Delta x &=v^{2}-v_{0}^{2} \end{aligned} $$
2.1.1. 심화 분석
어떤 시간 간격 $$t_{1} \sim t_{2}$$에서 가속도가 $$a$$인 운동을 했다고 가정하자. 해당 구간에서
$$\displaystyle a=\frac{v(t_{2})-v(t_{1})}{t_{2}-t_{1}} $$
$$\displaystyle \frac{x(t_{2})-x(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}=\frac{1}{2}a(t_{2}-t_{1})+v(t_{1}) $$
$$\displaystyle \frac{x(t_{2})-x(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}=\frac{v(t_{1})+v(t_{2})}{2} $$
$$\displaystyle \left \langle v \right \rangle=\frac{v(t_{1})+v(t_{2})}{2} $$
$$\displaystyle \frac{v(t_{1})+v(t_{2})}{2}=\frac{v(t_{2})-v(t_{1})}{t_{2}-t_{1}} (\tilde{t}-t_{1})+v(t_{1}) $$
$$\displaystyle \tilde{t}=\frac{t_{1}+t_{2}}{2}$$
$$\displaystyle x(t_{2})-x(t_{1})=\left \langle v \right \rangle (t_{2}-t_{1}) $$
[image]
2.2. 2차원 이상
2차원 이상에서 등가속도 운동을 논할 때는 벡터가 필연적이다. 직교 좌표계에 한해서 이 논의를 이어간다면, 가속도 벡터는 각 기저 벡터의 성분으로 쪼갤 수 있다. 그리고, 각 축의 성분은 1차원의 상황이라 볼 수 있고, 1차원 분석들에서 나온 변위 식과 속도 식에 만족한다 따라서 이 논의를 심층적으로 다시 할 필요없이, 다음의 결과를 얻는다.
$$\displaystyle \mathbf{r}=\frac{1}{2}\mathbf{a}t^{2}+\mathbf{v}_{0}t+\mathbf{r}_{0} \qquad \qquad \mathbf{v}=\mathbf{a}t+\mathbf{v}_{0} $$
또한, $$x_{i}$$성분에 대해 다음을 만족한다.
$$\displaystyle 2a_{i} \Delta x_{i}=v_{i}^{2}-v_{i0}^{2} $$
$$\displaystyle a_{i}=\mathbf{a} \cdot \hat{\mathbf{x}_{i}} $$
$$\displaystyle 2(\mathbf{a} \cdot \hat{\mathbf{x}_{i}}) \Delta x_{i}=v_{i}^{2}-v_{i0}^{2} $$
$$\displaystyle \sum_{i}2\mathbf{a} \cdot \Delta x_{i} \hat{\mathbf{x}_{i}} =\sum_{i} v_{i}^{2}-\sum_{i} v_{i0}^{2} $$
- $$ \displaystyle \sum_{i} \Delta x_{i} \hat{\mathbf{x}_{i}} = \Delta \mathbf{r} \equiv \mathbf{r-r}_{0} $$ : 위치 벡터의 변화량
- $$ \displaystyle \sum_{i} v_{i}^{2} = \mathbf{v \cdot v}=v^{2} $$ : 속력 제곱
- $$ \displaystyle \sum_{i} v_{0i}^{2} = \mathbf{v}_{0} \cdot \mathbf{v}_{0} =v_{0}^{2} $$ : $$t=0$$에서의 속력 제곱
$$\displaystyle 2\mathbf{a} \cdot \Delta \mathbf{r} =v^{2}-v_{0}^{2} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} \Delta \mathbf{r}&=\frac{1}{2}\mathbf{a}t^{2}+\mathbf{v}_{0}t \\ \mathbf{v}&=\mathbf{a}t+\mathbf{v}_{0} \\ 2\mathbf{a} \cdot \Delta \mathbf{r} &=v^{2}-v_{0}^{2} \end{aligned} $$
3. 여담
- 등가속도 운동처럼 보이지만 등가속도 운동이 아닌 대표적인 운동이 원운동이다. 가속도의 방향, 즉 힘의 방향이 매 시간마다 달라지므로[2] 등가속도 운동이 아니다.
- 수능에서는 난이도가 해마다 천차만별이다. 그러나 어렵게 나올 때는 굉장히 어렵게 나오며, 연립 방정식을 세워서 문제를 해결하거나 에너지를 이용하여 힌트를 얻는 문제도 출제되고 있다. 특히나 수능에서 중요한 것은 1차원 심화 분석 문단에서 언급한 평균 속도와 관련된 것이다. 또한, 수능은 식을 세워 해결하기 보다는 그래프를 그려서 해결하면 쉽게 풀리는 문제도 있으니 참고하길 바란다.
4. 관련 문서
[2] 항상 원의 중심을 향해야 하기 때문에