고전역학
1. 개요
古典力學 / Classical Mechanics, Classical Dynamics
일반적으로 아주 작지 않고[1] 아주 무겁지 않고[2], 아주 빠르지 않은[3][4], 그야말로 일상적인 물체 간의 상호작용에 의한 물체의 운동 상태를 설명하고, 예측하는 물리학의 하위 분야. 만약 비전공자라면, 6차 교육과정의 물리1 역학의 심화버전이라고 생각하면 편하다.
좁은 의미로는 영국의 물리학자 아이작 뉴턴에 의해 만들어진 '뉴턴 역학'만을 일컫는 경우도 있지만, 넓은 의미로는 뉴턴 역학 이외에도 조제프-루이 라그랑주에 의해 발달된 '라그랑주 역학', 윌리엄 로원 해밀턴[5]에 의해 발달된 '해밀토니안 역학' 등의 해석 역학을 아우르는 현대 이전의 전반적인 역학 분야를 일컫기도 한다. 고전역학은 모든 역학의 기초를 이룬다고 할 수 있다.
문맥에 따라선 20세기 이후 등장한 양자 역학, 상대성 이론 등 이른바 현대 물리학에 대응되는 용어으로도 쓰인다. 한편 물리 전공서나 논문에서 "고전적(classical)"이라고 하면 십중팔구 비양자론적이라는 의미이다.[6]
2. 역사
고전역학의 역사는 대체로 근대 이전의 물리학의 역사와 궤를 같이 한다. 자세한 내용은 물리학/역사 참조.
3. 세부 분야
고전 역학의 역사가 긴 만큼, 다양한 접근 방식이 있다. 가장 처음 구성된 뉴턴 역학 그리고 이 뉴턴 역학을 기반으로 나중에 만들어진 라그랑주 역학과 해밀토니안 역학이 있다. 각 접근 방법은 실제 모두 같은 결과를 얻게 된다는 점에서 동등하다. 그러나 실제 적용 난도나 고전역학을 넘어서는 영역으로의 확장성은 많이 다르다. 여기서는 뉴턴 역학, 라그랑주 역학, 해밀토니안 역학의 근간이 되는 이론 체계와 주요 방정식을 알아보고자 한다.
3.1. 뉴턴 역학
아마 많은 사람들에게 가장 친숙할 고전 역학 분야. 물체들의 운동의 원인이 되는 물체간의 상호 작용을 '힘'으로 정의하고, 뉴턴의 운동 법칙이라 불리는 3개의 방정식으로 운동 상태를 기술하는 분야이다. 요약하면 초기 조건 (물체들의 위치와 속력)이 주어지면 F = ma로 이 물체들의 위치가 어떻게 시간에 대해 변하는지 계산하는 패러다임이다. 이것의 창시로 아이작 뉴턴은 고전역학의 아버지로 불리게 됐으며 이것을 시작으로 많은 우주의 진리가 밝혀졌다. 뉴턴의 운동법칙 참조.
3.2. 라그랑주 역학
조제프루이 라그랑주가 변분 원리를 연구하면서 창시해 낸 역학 체계. 뉴턴 역학과는 다르게 일반화 좌표계를 사용하며, 이 일반화 좌표계 상에서 정의되는 범함수 라그랑지언(Lagrangian, $$\mathscr{L}$$)이 라그랑주 역학의 근간이 된다. 또한, 물체 간의 '상호작용'이 아닌 운동계 전체의 작용(action)[7]'이라는 물리량을 도입해서, 이 작용이 최소가 되는 경로로 계가 운동한다는 최소 작용의 원리에 의해 기술되는 역학 체계이다. 다만 라그랑주는 이와는 약간 비슷하지만 다른 '가상일 원리(Virtual Work Principle)을 통해 라그랑주 역학을 유도해냈다. 일반적으로는 이 이론의 결과물인 라그랑주 방정식을 이용하여 에너지로부터 대상의 운동방정식을 유도해낸다.
뉴턴역학에 비해 수학적으로 복잡하다는 단점이 있지만, 이 복잡함은 다루는 계가 복잡해짐에 따라 역전된다. 벡터를 다루는 뉴턴역학에 비해 스칼라인 에너지를 주로 다루는 라그랑주 역학은 '방향'을 고려할 필요가 없다는 엄청난 메리트가 있기 때문으로, 이거 하나 때문에 계산 과정에서 '이 힘은 어느 방향으로 작용하지?' 와 같이 머리를 굴릴 필요가 상당히 줄어들고, 아무리 복잡한 계라고 하더라도 계에 작용하는 모든 에너지를 구한 후 기계적으로 방정식에 때려박기만 하면 된다. 기계적이라는 장점으로 인해 컴퓨터 시뮬레이션에서 주로 쓰이는 FEM 등의 이론들은 라그랑주 역학을 기본으로 하고 있다.
3.3. 해밀턴 역학
윌리엄 로원 해밀턴에 의해 창시된 역학 체계. 라그랑주 역학과 비슷하게 해밀토니안(Hamiltonian, $$\mathcal{H}$$)이라는 물리량을 사용한 해밀턴 방정식을 통해 문제를 풀어낸다. 고전역학의 영역 내에서만 본다면 해밀턴 역학은 라그랑지안 역학과 큰 차이가 없으며, 한 쪽에서 다른 한 쪽으로 쉽게 오갈 수도 있다. 이는 두 역학 모두가 일반화 좌표계와 각종 '일반화된' 물리량의 개념을 사용하고 있기 때문이며 최소 작용의 원리를 기초로 하고 있기 때문이다. 실제로 최소 작용의 원리는 '해밀턴의 원리'로 불리기도 한다. 그리고 단적으로 해밀토니안과 라그랑지안은 서로가 르장드르 변환으로 연결되어 있다.
하지만 해밀턴 역학은 고전역학의 영향을 벗어날 때 비로소 위대함을 발휘한다. 많은 물리학자들이 (고전역학만이 아닌)역학의 구조를 잘 설명하는 역학으로 해밀턴 역학을 꼽는다. 이는 해밀턴 역학에서 쓰이는 해밀턴 방정식에서부터 출발하는데, 고전역학적으로는 위치(q)와 운동량(p)의 관계식으로 설명되는 식에 위치-운동량과 같은 관계를 가진 어떠한 변수의 쌍(대표적으로 시간-에너지 가 있다.)을 넣어도 성립한다는 것이 그 첫번째다. 보통 물리학에서는 이러한 (p,q)를 Conjugate variables이라 부르고, 두 좌표를 변수로 하는 공간을 위상 공간(Phase Space)로 부른다. 여기까지는 그저 그런 이론 놀음이니 싶지만...
이러한 개념들이 '''양자역학에서는 엄청나게 중요해진다!''' 해밀턴 역학에서는 역학 문제를 위상공간으로 보낸 후, 이 위상공간에서의 좌표 변환을 통해 문제를 단순하게 만들어 푸는 것이 가능하다.[8] 그리고 이 변환 방정식들 중에 '해밀턴-야코비 방정식'이라는 걸 이용하면 '해밀토니안이 0인 좌표계'로의 변환이 가능하다. 그리고 이는 슈뢰딩거 방정식의 탄생에 지대한 역할을 하게 된다.[9] 단적으로 슈뢰딩거의 양자역학에 대한 논문은 해밀턴-야코비 방정식으로 시작한다.
사실 살펴보면 해밀턴 역학이 접근하는 방향 자체가 양자역학과 매우 유사함을 알 수 있다. Conjugate Varibles의 쌍인 위치-운동량이나 시간-에너지는 불확정성 원리에서 서로 대응하는 두 변수들임을 알 수 있고, 해밀턴 역학의 출발점인 최소 작용의 원리 역시 '입자가 가능한 모든 경로를 지나간다'라는 양자역학의 이론과 일맥상통한다. 즉 해밀턴 역학은 고전역학과 양자역학을 잇는 연결고리인 셈이다.
4. 학부/대학원 과목으로서의 고전역학
학부 때 일반역학, 고전역학, 해석역학 등의 과목으로 개설되는 과목. 앞서 언급한 뉴턴의 운동 법칙을 필두로 다양한 고전역학의 주제들을 배우게 되는, (보통)물리학과 2학년에 들어서고 나서 처음 접하는 본격적인 전공 과목 되시겠다. 새내기 과정에서 일반물리학을 배웠으므로 보통 이것을 안다는 전제하에 심화된 내용이나(일반물리 과정에서는 다룰 수 없었던 수학적 테크닉이라든지) 라그랑지언 혹은 해밀토니언과 같은 내용을 배우게 된다. 내용 자체의 난해성은 양자역학보다 덜하지만, 바로 그 특성이 문제를 난해하게 꼬아서 낼 수 있다는 점이 힘들 수 도 있다. 통상적으로 2학년 때 2학기에 걸쳐 배우는데, 물리학과에서 배우는 다른 과목들과 비교해서 상대적으로 비중이 적은지라 한학기만 짧게 하고 넘어가는 학교도 있다. 그러나 명심하자. 고전역학의 중요성은 어떤 물리 현상을 기술하는 기본적인 사고와 문제풀이 방법을 터득함과 동시에, 다른 과목으로의 징검다리 역할을 한다는데서 절대로 소홀히 다뤄서는 안될 것이다.
학교마다 차이가 있겠지만, 대학원 과정에서 가르치는 고전역학은 라그랑주 및 해밀턴 역학 위주로 전개된다. 대학원 과정에서 주로 쓰는 교재인 골드슈타인 교재에서 처음 두 단원부터 라그랑주 방정식이 나오니 말 다했다. 여기서는 학부 수준에서는 시간이 부족하거나 더럽거나(...) 엄밀하지 못하게 풀었던 모델들을 제대로 풀게 되며, 학부 수준에서는 해밀턴 방정식과 일반화 좌표계 정도에서 끝나는 해밀턴 역학을 본격적으로 파고든다. 해밀턴-자코비 방정식이나 정준변환 등을 다루게 되고, 이를 이용해 슈뢰딩거 방정식 등의 현대물리로의 확장이 어떻게 자연스럽게 이루지는가를 주로 배우게 된다.
고려대학교 최준곤 교수님이 강의한 동영상이 있다. #
4.1. 교재
- Grant R. Fowles, George L. Cassiday - Analytical Mechanics
- Jerry B. Marion, Stephen T. Thornton - Classical Dynamics of Particles and Systems
마리온 교재를 공부하며 알아둬야 할 것은 연습문제 중 수치적으로 풀어내야 하는 문제들이 어느 정도 있다는 것인데, 이들을 무작정 건너뛰기보다는 wolframalpha나 matlab을 활용하여 수치해를 구해보도록 하자. 특히 wolframalpha는 사용법이 매우 쉽기 때문에 누구나 쉽게 그래프를 찾아낼 수 있다. 난이도가 높거나 계산이 복잡한 문제들의 비중이 높은 편이기에 연습문제를 풀 때는 각오를 단단히 하자.
여담으로 마리온 교수가 작고한 후 Thornton 교수가 현시대의 시류를 반영하여 수정 및 보완하여 개정판을 출간하였다. Thornton 교수의 수정 보완 부분에 대해서는 호불호가 갈리는 편이다. 이 때문에 Thornton이 참여하기 이전의 구판을 선호하는 사람도 존재한다.
- Herbert Goldstein, Charles P. Poole, John L. Safko - Classical Mechanics
- Keith R. Symon - Mechanics
- L. D. Landau, E. M. Lifshitz - Course of Theoretical Physics: Vol.1 Mechanics
파인만 1권에서 이 고전 역학을 설명하고 있다. 관심 있는 위키러들은 한번 읽어보길 권한다.
4.2. 배우는 내용
대부분의 교재들이 그렇듯이 맨 처음에선 책 전반적으로 알아야 할 수학적 Formalism을 간략하게 설명하고 있고 그 다음부터 본격적으로 고전역학의 내용을 배우게 된다. 아래 목록은 Marion 기준이다.
- 뉴턴 역학
- 진동 운동
- 비선형 진동과 카오스
- 중력
- 변분법
- 해밀턴의 원리(라그랑지언과 해밀토니언)
- 중심장 운동
- 입자계의 운동
- 비관성계 운동
- 강체 운동
- 결합된 진동 운동(용수철이 여러개 '결합'된 운동)
- 파동
- 유체역학: 물리학과에선 고전역학의 응용으로서 조금 다루고 넘어간다. 반면 기계공학과에선 고전역학 전반보단 유체역학을 더 많이 배운다.
- 특수 상대성 이론: 간단하게 설명하고 넘어가거나 아예 배우지 않는다. 집중적으로 다루는 과목은 전자기학과 현대 물리학이다.
[1] 아주 작은 물체를 다루는 경우에는 양자 역학을 적용한다.[2] 아주 무거운 물체는 강한 중력으로 시공간이 오그라들기 때문에 일반 상대성 이론을 적용한다.[3] 광속에 가까울 정도로 빠른 물체의 운동은, 특수 상대성 이론을 적용한다.[4] 그러면 전기와 자석은 대체 무엇인가? 하는 질문이 나올 수 있는데, 전기/자석에 대한 이론(전자기학)은 고전역학과 특수 상대성 이론, 양자역학 사이에 있는 끔찍한 혼종이다(...).[5] 참고로 이 '해밀턴'이 고등학교 때 행렬 문제를 풀 때 편법(?)으로 쓰이는 케일리-해밀턴 정리에 나오는 그 해밀턴이다. 또, 이 사람은 실수/허수의 복소수 체계를 확장한 사원수군 체계도 생각해 냈다고 한다.[6] 예를 들어 란다우 시리즈의 "Classical Theory of Fields"는 비양자론적인 장 이론(전자기학, 특수상대론, 일반상대론)을 총망라한 책이다.[7] 라그랑지안의 시간적분으로 정의된다.[8] 라플라스 변환을 통해 미분방정식을 간단하게 푸는 것과 비슷한 개념이라고 생각하면 된다. 물론 수학적으로 같다는 것이 아니라, '다른 공간'으로 보내 문제를 단순화한다는 개념에서 유사하다는 것이다.[9] 실질적으로 해밀토니안만 Operator를 통해 양자화시키면 단순히 해밀턴 역학을 전개하는 것만으로 방정식이 나온다![10] 전공과목부터는 원서만을 주 교재로 삼고 공부하는 것을 당연하게 생각해야 한다.[11] 물리올림피아드나 물리인증제 등.[12] 고전역학은 직관적인 표현만으로도 충분하지만 양자역학은 비직관적인 개념을 다루기 때문에 어려운 수학적 표현법을 사용하는데, 고전역학도 그러한 논리를 적용한 것이다.