구심력
1. 명칭과 유래
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붉은 선이 구심력. 출처 정보
구심력(求心力, centripetal force)은 물체가 원 운동을 하게 만드는 힘이다. centripetal은 라틴어로 중심이란 뜻의 centrum과 갈구한다는 뜻의 petere가 결합된 단어이다. 한자어로도 공 구(球) 자가 아닌 구할 구(求) 자를 쓴다. 구심력은 항상 곡률 중심(회전 축의 중심인 경우가 많다)을 향한다는 점에서 적절한 번역인 듯.
1659년 네덜란드 물리학자인 크리스티안 하위헌스(Huygens, C. : 1629~1695)[1]가 구심력을 수식으로 기술한 적이 있다. 의외로 오래된 개념이다.
2. 설명
물체가 원운동을 하도록 방향을 바꾸는 역할을 하는 힘을 구심력 이라고 한다. 따라서 구심력의 기저에는 중력, 마찰력 등 다양한 힘이 있을 수 있다. 가상적인 힘인 관성력의 일종인 원심력과는 달리 구심력은 실재하는 힘이다.
구심력을 바탕으로 빗길에 미끄러지는 차량을 생각해 볼 수 있다. 빗길에서는 커브시 타이어의 마찰력이 감소한다. 마찰력이 구심력의 역할을 해야 하는데 이 구심력이 감소한 것이다. 수식을 보면 알겠지만, 선속도가 일정할 때, 구심력 $$F_c$$가 감소하면 반지름이 $$r$$이 증가해야 한다. 따라서 $$r$$이 증가한 만큼 회전하게 되니 가드레일로 돌진하게 되는 것이다.
수학적으로 구심력은
3. 공식
질량 $$m$$인 물체를 $$v$$의 선속력, 혹은 $$\omega$$의 각속력으로 반지름 $$r$$인 원운동을 시킬 때의 구심력의 크기 $$F_c$$는,
으로 나타낼 수 있다.
4. 유도
4.1. 원운동의 특성으로부터 유도하는 과정
원 궤도를 따라 이동한 거리 $$l$$은 중심 $$\rm O$$로부터의 반지름 $$r$$과 각변위 $$\theta$$를 이용해서 $$l = r\theta$$로 표현되며, 각속도 $$\omega$$는 $$\omega = \dfrac{{\rm d}\theta}{{\rm d}t}$$로 정의된다. 이 때 각속도 벡터 $$\bf\Omega$$의 방향은 오른손 법칙에 따라 평면상의 반시계 방향 회전에 대해 평면을 뚫고 나오는 방향이 양의 방향으로 정의되며, 선속도 벡터 $$\bf v$$는 $$\bf\Omega$$와 변위 벡터 $$\bf x$$의 벡터곱 $$\bf v = \Omega\times x$$로 나타낼 수 있다.[2] 선속도의 크기 $$v$$는 $$v = \|{\bf v}\|= \|{\bf\Omega\times x}\| = {\|\bf\Omega\|\|x\|}\sin\phi = \omega\cdot r\sin\dfrac\pi2 = r\omega$$가 된다.[3]
$$\bf v$$를 $$t$$에 대해 미분한 가속도 $$\bf a$$는 벡터곱의 분배 법칙에 따라 다음과 같이 되는데
위 식에서 제2항이 '''구심가속도''' $$\bf a_c$$를 나타낸다. 식을 잠깐 살펴보면 앞서 $$\bf v = \Omega\times x$$였고 $${\bf v} = \dfrac{{\rm d}\bf x}{{\rm d}t}$$이므로 $${\bf\Omega}\times\dfrac{{\rm d}\bf x}{{\rm d}t} = \bf\Omega\times(\Omega\times x)$$로 나타낼 수 있는데, 벡터곱의 삼중곱을 적용하면 $$\bf\Omega\times(\Omega\times x) = \Omega(\Omega\cdot x)-x(\Omega\cdot\Omega)$$가 되고 $${\bf\Omega\cdot x} = 0$$, $${\bf\Omega\cdot\Omega = \|\Omega\|}^2 = \omega^2$$이므로 $${\bf\Omega(\Omega\cdot x) - x(\Omega\cdot\Omega) = \Omega}\cdot 0-{\bf x}\cdot\omega^2 = -\omega^2{\bf x}$$. 즉 제2항은 변위 벡터와 방향이 정반대, 곧 원의 중심을 향하는 벡터임을 알 수 있고, 그 크기 $$a_c$$ 역시 $$a_c = \|-\omega^2{\bf x}\| = \omega^2r$$로 구심가속도의 특성과 정확하게 일치한다.
제1항은 각속도의 미분에 관련된 식으로 선가속도(접선가속도) $$\bf a_t$$를 의미하며 원운동의 가속도는 접선가속도와 구심가속도의 합임을 알 수 있다. 아울러 각 식이 의미하는 바도 유추할 수 있는데 $$\bf a_t$$는 $$\bf v$$의 각속도에 영향을 주는 물리량이며, $$\bf a_c$$는 $$\bf v$$의 방향에 영향을 주는 물리량임을 알 수 있다. 등속 원운동의 경우 각속도가 일정하기 때문에 $$\bf a_t = 0$$이 되어 구심가속도만 남은 특수한 경우로 볼 수 있다.
구심력을 $${\bf F_c}$$라고 하고 이를 운동 방정식에 적용하면
이 얻어진다.
4.2. 매개변수 함수로 유도하는 과정
중심 $$\rm O$$로부터 거리 $$r$$만큼 떨어져서 각속도 $$\omega$$로 움직이는 물체가 있다고 하면, 직교좌표계에서 이 물체의 좌표는 시간 $$t$$에 따른 함수로 결정된다. 즉
이다.[4]
이 매개변수를 $$t$$에 대해 미분하면 시간에 따른 좌표의 변화이므로 선속도가 된다.
단, 이건 시간 $$t$$에 대하여 $$x$$좌표상에 사영된 선속도와 $$y$$좌표상에 사영된 선속도이며, $$v(t)$$는 $$v_x(t)$$, $$v_y(t)$$를 성분으로 갖는 벡터가 되므로 선속도의 크기 $$v$$를 구하기 위해 각 성분의 제곱의 합의 제곱근 즉,
로 $$v$$를 구할 수 있다.
마찬가지 방법으로 $$x'(t)$$와 $$y'(t)$$를 $$t$$에 대해 한 번 더 미분하면 구심 가속도의 크기 $$a_c$$를 구할 수 있으며, 계산하면 $$a_c = r\omega^2$$이 된다.
$$v = r \omega$$에서 $$\omega = \dfrac vr$$이므로 $$a_c$$에 대입하면 $$a_c = r\omega^2 = r\left(\dfrac vr\right)^2 = \dfrac{v^2}r$$이 된다.
각 식을 운동 방정식 $$F_c = ma_c$$에 대입하면 $$F = mr\omega^2 = \dfrac{mv^2}r$$가 된다.
전자는 각속도와 반지름이 주어졌을 때 구심력을 구하는 식이며, 후자는 각속도가 아닌 반지름과 선속도가 주어졌을 때 구심력을 구하는 공식이다.
[1] 과거엔 '호이겐스'라고 했는데 이 표기는 일본식 표기 ホイゲンス(호이겐스)에서 유래한 것이다. 네덜란드어 발음 기호로는 /ɦœyɣə(n)s/이므로 이를 그대로 받아적으면 '회위헌스' 정도로 나타낼 수 있는데 /œy/는 실제로 '아위'에 가깝게 들린다. 영어권에서도 이를 발음하듯 '하이겐스'(/ˈhaɪɡəns/라고 발음한다.[2] 간단하게 $${\bf\Omega} = (0,\,0,\,\omega)$$, $${\bf x} = r(\cos\omega t,\,\sin\omega t,\,0)$$으로 놓고 $$\bf\Omega\times x$$롤 계산하면 $${\bf v} = r\omega(-\sin\omega t,\,\cos\omega t,\,0)$$이 얻어지는데, 이는 $$\bf x$$를 $$t$$에 대해 미분한 식 $$\dfrac{{\rm d}\bf x}{{\rm d}t}$$과 동치이다.[3] 단순히 선속도의 크기만 구하는 것이라면 이동 거리 $$l = r\theta$$를 시간 $$t$$로 미분한 식에서 $$r$$이 일정하므로 $$v = \dfrac{{\rm d}l}{{\rm d}t} = \dfrac{{\rm d}(r\theta)}{{\rm d}t} = r\dfrac{{\rm d}\theta}{{\rm d}t} = r\omega$$와 같이 구할 수도 있다.[4] 계산의 간편함을 위하여 $$t=0$$일 때의 좌표를 $$(r,\,0)$$으로 둔다. 꼭 $$(r,\,0)$$일 필요는 없고, $$(x_0,\,y_0)$$여도 문제는 없지만, 이 경우는 $$r = \sqrt{{x_0}^2 + {y_0}^2}$$로 두고 이를 만족시키는 $$t_0$$를 구해야 한다.