라그랑주 보간법
1. 개요
라그랑주 보간법(Lagrangian interpolation)이란 서로 다른 $$x_{1},\cdots,x_{n+1}$$에 대하여 $$n+1$$개의 점 $$(x_{1},y_{1}),\cdots,(x_{n+1},y_{n+1})$$이 주어져 있을때, 이 점을 모두 지나는 $$n$$차 이하의 다항식을 구하는 공식을 말한다. 이름대로 조제프루이 라그랑주가 만들었다.
2. 공식
서로 다른 $$x_{1},\cdots,x_{n+1}$$에 대하여 아래의 다항식
$$p_{i}(x)=\displaystyle\prod_{j \neq i} \frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}=\frac{(x-x_{1})\cdots(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\cdots(x-x_{n+1})}{(x_{i}-x_{1})\cdots(x_{i}-x_{i-1})(x_{i}-x_{i+1})\cdots(x_{i}-x_{n+1})}$$
을 라그랑주 기저 다항식이라 한다. 또한 $$p(x)=y_{1}p_{1}(x)+\cdots+y_{n+1}p_{n+1}(x)$$
을 라그랑주 보간 다항식이라 하며, 이 다항식은 점 $$(x_{1},y_{1}),\cdots,(x_{n+1},y_{n+1})$$을 모두 지나는 유일한 $$n$$차 이하의 다항식이다.3. 선형대수학을 이용한 설명
집합 $$\mathcal{P}_{n}(F)$$을 $$n$$차 이하의 다항식 집합이라 하자. $$\mathcal{P}_{n}(F)$$가 벡터공간이므로, 쌍대공간 $$\mathcal{P}_{n}^{*}$$가 존재한다. 임의의 자연수$$i\leq n+1$$에 대하여 선형범함수(linear functional) $$L_{i}:\mathcal{P}_{n}(F)\to F$$을
$$L_{i}(p)=p(x_{i})$$
라고 정의하자. $$L_{1},\cdots,L_{n+1}$$이 $$\mathcal{P}_{n}^{*}$$의 기저가 된다는 것은 다음 두 식$$L_{j}(p_{i})=p_{i}(x_{j})=0$$ for $$i \neq j$$
$$L_{i}(p_{i})=p_{i}(x_{i})=1$$
을 만족하는 $$p_{1},\cdots,p_{n+1}\in \mathcal{P}_{n}(F)$$이 존재한다는 것을 보이면 되는데, 그 이유는, 그것이 존재한다면, $$\{L_{1},\cdots,L_{n+1}\}$$이 $$\{p_{1},\cdots,p_{n+1}\}$$의 쌍대기저가 되기 때문이다. 물론 $$p_{i}$$는 $$x_{1},\cdots, x_{i-1}, x_{i+1},\cdots,x_{n+1}$$을 근으로 가지며, $$p_{i}(x_{i})=1$$이므로,$$L_{i}(p_{i})=p_{i}(x_{i})=1$$
$$p_{i}(x)=\displaystyle\prod_{j \neq i} \frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}=\frac{(x-x_{1})\cdots(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\cdots(x-x_{n})}{(x_{i}-x_{1})\cdots(x_{i}-x_{i-1})(x_{i}-x_{i+1})\cdots(x_{i}-x_{n})}\in \mathcal{P}_{n}(F)$$
임을 쉽게 알 수 있다. 따라서, $$\{p_{1},\cdots,p_{n+1}\}$$은 $$\mathcal{P}_{n}(F)$$기저이고, 임의의 다항식 $$p \in \mathcal{P}_{n}(F)$$에 대하여, $$ p(x)=y_{1}p_{1}(x)+\cdots+y_{n+1}p_{n+1}(x)$$
인 $$y_{1} ,\cdots,y_{n+1} $$이 유일하게 존재하는데,$$ p(x_{i})=\displaystyle\sum_{j \neq i}y_{j}p_{j}(x_{i})+y_{i}p_{i}(x_{i})=y_{i}$$
가 성립함을 확인할 수 있다.4. 방데르몽드 행렬과 라그랑주 기저 다항식 간의 관계
서로 다른 $$x_{1},\cdots,x_{n+1}$$에 대하여, 다항식 $$x^{i}$$ $$(0\leq i \leq n)$$은 점 $$(x_{j},x_{j}^{i})$$를 지나므로, 라그랑주 보간법에 의해
$$ x^{i}=\displaystyle\sum_{j=1}^{n+1}x_{j}^{i}p_{j}$$
라고 쓸 수 있다. 그런데, $$\beta=\{1,x,x^{2},\cdots,x^{n}\}$$과 $$\beta^\prime=\{p_{1},\cdots,p_{n+1}\}$$이 모두 $$\mathcal{P}_{n}(F)$$의 기저이므로 방데르몽드 행렬(Vandermonde matrix)$$\begin{pmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&\cdots&x_{1}^{n}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\cdots&x_{2}^{n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&x_{n+1}&x_{n+1}^{2}&\cdots&x_{n+1}^{n} \end{pmatrix}$$
은 $$\beta$$에서 $$\beta^{\prime}$$으로의 기저변환행렬이라고 할 수 있다.