다항식
1. 개요
'''다항식'''은 변수와 상수[1]들의 합, 차, 곱으로 이루어진 식을 말한다. 또는 -1도 상수이므로 변수와 상수들의 합과 곱으로 이루어진 식이라고 할 수도 있겠다.[2]
변수의 개수에 따라 일변수/다변수로 구분하고, 일변수 다항식의 경우 후술할 차수(degree)에 따라 일차/이차/삼차다항식 등으로 구분한다. 교과과정에서는 '고차다항식'의 경우 3차 이상의 경우를 일컫는다.
고등학교 수준에서의 다항식의 정의를 내리자면 $$\displaystyle\sum _{k=0}^{n} {a_k x^k}$$ ($$a_n$$은 복소수이며, n은 0 이상의 정수)로 표현할 수 있는 식이다.[3] 여기서 $$\displaystyle n = \deg\left(\sum _{k=0}^{n} {a_k x^k}\right)$$을 다항식의 차수#s-2라고 한다. 위 식의 또 하나의 특징은 식을 변수 x에 대해 미분하고 그 식을 다시 x에 대해 미분하는 방식으로 끊임없이 미분하면 그 값이 0이 된다는 점이다.
수학자들이 쓰는 대수학에서의 일반적인 정의도 이와 비슷하지만, 계수의 범위에 제약을 주지 않는다는 것이 차이점. 여기서는 계수가 환 $$R$$ 위에 있는 변수가 $$x$$인 다항식의 집합을 $$R[x]$$라 쓴다. 변수가 2개 이상일 때는 $$R[x,y]$$ 이런 식으로 쓴다. 중등과정 이내에선 $$\mathbb{R}[x]$$나 $$\mathbb{C}[x]$$ 을 제외하면 나오지 않지만, 대학 수학 이상에선 유한체라던가 함수라던가 별의별 희한한 계수들이 튀어나오는 것이 예삿일이다.
중학교 너머의 수학에서 방석으로 깔고 들어가는 것으로 조잡한 연산질과 계산에서 한발짝만 더 나오는 순간 당신을 대면하는 것. 사실상 문자와 식의 도입과 계산이 초등학교까지의 수학과의 차이이면서 중학교 이후의 수학의 토대가 되므로, 반드시 잘 이해하고 넘어가도록 하자. 당장에 방정식, 인수분해, 도형의 방정식(해석기하학), 이차함수, 부등식 등등 고등학교 수학 절반은 다항식과의 싸움이다.
실제 수학의 역사에서도 변수와 다항식의 도입은 산수에서 벗어나 근대 대수학을 여는 시작이 되었다. 기호가 없었을 수학의 초창기에는 모든 개념을 말로 설명했는데, 예를 들자면 $$x(ax+b)=c$$ 같은 방정식을 '어떤 수(x)의 몇(a)배에서 얼마(b)를 더한 것과 원래 그 어떤 수의 곱이 얼마(c)라고 한다' 이런 식으로 썼다. 이차방정식의 근의 공식 같은 것도 다 이런 식으로 현기증나게 설명했다는 소리다. 르네상스 때에 와서야 사칙연산의 기호가 생겨나고, 데카르트가 미지수 기호를 만들면서 표기법이 조금씩 발전해 우리가 아는 다항식 표기가 만들어졌다. 물론 다항식 이전에도 이차방정식의 근의 공식은 있었고 할건 다 했지만, 3차, 4차 등의 고차방정식을 풀고 해석기하학을 발생시키는 등 이후의 근대 대수학의 발전은 이 표기가 아니었으면 훨씬 지연되었을 것이다. 만약 다항식이 어렵다고 느껴진다면, 똑같은 짓을 다항식 없이 하려면 얼마나 더 어려울지 상상해보자.
다항식과 관련된 다음의 바리에이션들이 있다.
- 다항식의 몫, 즉 $$P(x)/Q(x)$$ 꼴을 유리식이라고 한다. 계수가 $$F$$ 위에 있는 유리식의 집합은 $$F(x)$$라 쓴다.
- 다항식으로 나타낼 수 있는 함수를 다항함수라고 한다.
- 유리식으로 나타낼 수 있는 함수를 유리함수라 하고, 그렇지 않은 함수를 무리함수라 한다.
- 다항함수를 포함한 다항방정식의 근으로 나타낼 수 있는 함수를 대수함수라 한다. 교과과정에서 배우는 제곱근 등의 무리함수들은 모두 이 대수함수의 일종이다. 대수함수가 아닌 함수를 초월함수[4]라 한다. 초월함수의 대표적 예로 소수의 개수를 세는 함수인 소수 계량 함수가 있는데, 이 함수를 정의하는 데 쓰이는 소수를 다항방정식으로 표현할 수 없다.
2. 용어
다항식들은 변수와 숫자들의 곱으로 나타나지는 '''단항식'''(monomial)들의 합으로 나타낼 수 있다. 각각의 단항식을 '''항'''(term)이라 부르고, 각 항의 '''계수'''(coefficient)는 문자로 구성된 부분에 곱해진 숫자이다. 항의 '''차수'''(degree)는 하나의 항에서 특정 문자가 곱해진 개수이고, 다항식의 차수는 0이 아닌 항의 차수 중 최대값으로 정의한다. 차수 0인 항을 '''상수항'''(constant term), 문자와 차수가 같은 항을 '''동류항'''(similar terms) 이라 한다.
예시) $$x^3+3x^2y-2xy-x^2y+5xy-x+6$$
이때 $$x^3, 3x^2y, -2xy, -x^2y, 5xy, -x, 6$$을 항이라고 부른다. $$x^3$$에서 $$^3$$을 $$x$$의 차수라 하며,[5] $$-2xy$$에서 $$x$$에 대한 계수는 $$-2y$$이다. 또한, $$3x^2y$$와 $$-x^2y$$ 그리고 $$-2xy$$와 $$5xy$$를 동류항이라고 한다. 그리고 6을 상수항이라고 한다.
굳이 피곤하게 따지면 교과과정의 수학개념이 다 그렇듯 나사빠진 부분이 많다. $$x$$를 상수취급하고 $$y$$만 변수로 본다면 $$x^3, -x, 6$$도 상수항이다.[6] 다변수 다항식에서는 '무엇을 변수로 보느냐'를 먼저 정해야 위의 개념들이 확실해진다. 그러므로 위와 같은 경우 $$f(x, y)$$의 꼴로 쓰는 경우가 많다. 물론 일변수 경우에 한정하면 변수가 뭔지 확실하므로 딱히 문제는 없다. 다변수 다항식의 경우 간혹 차수를 순서쌍으로 나타내어, $$5 x^2 y^3$$의 $$(x,y)$$에 대한 차수를 $$(2,3)$$으로 나타내기도 한다. 이 때는 각각의 차수들의 합을 총차수(total degree)라 부르기도 한다. x에 대한 차수 2, y에 대한 차수 3, 총차수 2+3=5 이런 셈.
0의 차수는 보통 정의하지 않지만, 가끔 편의에 따라서 -1이나 $$-\infty$$로 정의하기도 한다.
합과 곱이 뒤섞인 형태의 다항식을 전부 풀어 동류항끼리 묶어 나타내는 것을 '''전개'''(expansion)라 한다. 빠른 전개에 쓰이는 것이 바로 곱셈 공식이다.
예시) $$(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) = x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz $$
반대로 다항식을 (가능할 경우에) 다른 다항식들의 곱으로 나타내는 것을 '''인수분해'''(factorization)라 한다. 인수분해에서 곱에 쓰이는 각각의 다항식을 '''인수'''(factor)라 한다. 두 개 이상의 인수로 인수분해가 항상 가능한 것은 아니다.
예시) $$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$$
3. 대수학에서 다항식의 성질
고교과정 이내에서 쓰이는 다항식의 성질은 다음이 있다. 의외로 엄밀한 증명이 쉽지만은 않아서, 암묵적으로 사용되는 경우가 대부분이다. 다항식의 계수가 유리수, 실수, 복소수 등일 때 다음이 성립한다.
- 덧셈, 뺄셈, 곱셈에 대하여 닫혀 있고 통상적인 결합법칙, 교환법칙, 분배법칙 등을 만족한다. 나눗셈에 대해서는 닫혀 있지 않다. ('정의되어 있지 않다'가 FM이다.)
- 영인자는 존재하지 않는다. 즉 $$fg =0$$이면 $$f=0$$ 또는 $$g=0$$이다. [7]
- (이하 일변수 다항식에 한해서) 몫과 나머지가 있는 나눗셈을 할 수 있다. 고교과정에서 나눗셈 정리라는 내용으로 소개되는 내용이다.
- 인수분해를 유일하게 할 수 있다.[8]
- 두 다항식의 최대공약수와 최소공배수가 유일하게 존재한다. [9]
- 유리식의 성질인 부분분수분해도 다항식의 성질에서 파생된 것으로 볼 수 있다.
이것들이 대학교 현대대수학에서 일반적인 계수로 넘어오면 다음처럼 일반화된다. 가환환 $$R$$에 대해
- $$R[x]$$는 당연히 가환환이다.
- $$R[x]$$도 정역일 필요충분조건은 $$R$$이 정역인 것이다.
- $$R$$이 체이면 $$R[x]$$에선 나눗셈을 생각할 수 있고 유클리드 정역(Euclidean domain)이 된다. 따라서 ED->PID->UFD의 상하관계에 의해서 최대공약수가 존재하고 유일인수분해가 가능하다.
- 하지만 $$R$$이 체가 아니면 $$R[x]$$는 PID도 되지 못하고, 나눗셈을 생각할 수 없다. 당장에 정수계수 위에서만 봐도 $$x^2 +1$$을 $$2x+1$$로 나눌 수는 없으니.
- $$R$$이 UFD이면 $$R[x]$$도 UFD이다. 이것 때문에 의외로 $$\mathbb{Z}[x,y]$$ 같은 애들이 나눗셈은 택도 없지만 인수분해는 유일하게 된다.
4. 다항함수
다항식으로 정의된 함수에 관한 내용은 다항함수 문서 참고 바람.
5. 기타
중학교 단골문제로 단항식은 다항식이냐는 문제가 출연한다. 참고로 단항식도 다항식이다.
미분[10]을 할 경우 차수가 계수로 넘어오고 차수는 1씩 줄어든다. 당연하지만 차수가 0인 상수항은 증발한다. 부정적분은 미분의 역연산인데, 원래의 상수항이 어떤 것이었는지를 알 길이 없으므로 C로 표기하는데 여기서의 C를 적분상수라 한다. [11]
다만, 차수가 -1인 경우는 부정적분 시 상수항이 아닌 로가리듬의 형태로 적분이 되므로 주의해야 한다.$$\displaystyle 3x^2+8x+x+5$$
$$\displaystyle {d \over dx} 3x^2+8x+x+5 = 6x + 8 + 1$$ (위 식을 미분한 꼴)
$$\displaystyle \int (6x + 8 + 1) dx = 3x^2 + 8x + x + C$$ (위 미분한 식의 부정적분)
$$\displaystyle \int (3x^2+8x+x+5) dx = x^3 + 4x^2 + {1 \over 2}x^2 + 5x + C$$ (처음 식의 부정적분)
$$\displaystyle \int x^{-1}dx = \int \frac{1}{x} dx= \ln x + C$$
6. 관련 문서
[1] 중고등학교까지는 어떤 것이 상수로 올 수 있는지 명확하게 정해져 있지는 않다. 대개 중학교까지는 a, b, c 등의 문자 또는 1, -1, 2, -2, 3, ... 등의 정수 정도를 쓰고, 고등학교쯤 되면 유리수가 꽤 보이고 무리수도 가끔씩. 학부 이후에선 '[math(\mathbb{Q})]위의 다항식 ', '[math(\mathbb{R})]위의 다항식', '[math(\mathbb{C})]위의 다항식' 과 같이 명시한다.[2] 대수학에서 환(대수학)이라고 부르는 녀석의 예시.[3] n=0일 수도 있으므로 단항식이나 상수만 딸랑 있는 식도 다항식에 포함된다.[4] 특수함수라고도 한다.[5] 삼차항이다.[6] 사실 이런 시각이 필요할 때가 있는데. 다름아닌 '''편미분'''이다.[7] 대수학에서는 이런 성질을 만족하는 집합을 정역(integral domain)이라 한다.[8] 단 여기서 '유일하게'의 기준은, 각각의 인수가 상수배만큼 차이나는 것은 같은 인수분해로 취급한다. $$-3xy$$ 같은 경우 $$(-3x) \cdot y$$로 분해하냐 $$x \cdot (-3y)$$로 분해하냐 하나로 정할 수가 없기 때문이다. 또한 다항식의 계수 범위에 따라 인수분해의 꼴이 바뀌기 때문에(실수 위에서는 $$x^2+1$$이 더 분해되지 않지만 복소수 위에서는 $$(x+i)(x-i)$$로 인수분해된다), 계수 집합을 확실히 정해 놓아야 한다.[9] 역시 상수배만큼 차이나는 건 같은 걸로 취급한다. 보통 최고차항의 계수가 1인(monic) 것으로 한정하면 유일해진다.[10] 정확히는 도함수[11] 물론 이것은 정적분을 계산할 때 부정적분을 아무거나 택해도 되기 때문에 그런 것이지 적분상수가 필요 없다는 의미는 아니다. 자세한 내용은 미적분학의 기본정리 참조.