망델브로 집합
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1. 개요
브누아 망델브로(Benoît B. Mandelbrot)가 고안한 프랙탈의 일종으로, 다음과 같은 점화식으로 표현되는 수열 $$\{z_n\}$$의 절대값이 무한대로 발산하지 않는[2] 복소수 c의 집합으로 정의된다.
$$ \begin{aligned} z_0 &= 0 \\ z_{n+1} &=z_n^2+c \end{aligned} $$
예를 들어 $$c=1$$이라면 수열 $$\{z_n\}$$은 $$0, 1, 2, 5, 26,\;...$$이고 $$\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left| z_n \right| = \infty $$이므로 1은 망델브로 집합에 포함되지 않는다. 한편 $$c=-1$$이라면 $$\{z_n\}$$은 $$0, -1, 0, -1, 0,\;...$$이고 음이 아닌 모든 정수 $$n$$에 대해 $$\left| z_n \right| \leq 1 $$이므로 -1은 망델브로 집합에 포함된다.이런 c의 집합을 복소평면에 나타내면 위와 같은 도형이 나타난다.
2. 그리기
실제로 망델브로 집합을 그릴 때는 실제로 무한한 항까지 계산하여 발산 여부를 확인하는 것이 어려우므로 '어떤 $$n$$에 대해 $$\left| z_n \right|>2$$일 경우 $$\{z_n\}$$은 발산한다'는 성질을 이용한다. 즉, 수열을 계산하다가 절댓값이 2를 넘는 점을 배제하고 그리면 된다. 이러한 성질을 이용하더라도 집합에 포함되는 점은 무한히 계산해도 발산하지 않기 때문에, 보통 특정한 $$n$$의 값을 정하고 그 값까지만 계산한다. 물론 $$n$$이 클수록 완성된 그림의 정확도도 높아진다.
수학적으로는 어떤 점이 망델브로 집합에 포함되거나 포함되지 않거나의 두 가지 경우밖에 없으므로 흑백으로만 그려도 상관은 없지만, 대부분의 경우 처음으로 $$\left| z_n \right|$$이 $$2$$를 넘는 $$n$$의 값에 따라 배경에 색을 칠한다.